宁波市十五中八年级上册期末数学试卷.doc

宁波市十五中八年级上册期末数学试卷
一、选择题
1、下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ）
A． B． C． D．
2、某红外线遥控器发出的红外线波长为，用科学记数法表示这个数是（       ）
A． B． C． D．
3、已知：，，则的值是（       ）
A． B． C．4 D．
4、函数=中自变量的取值范围为（   ）
A．＞0 B．≥0 C．≠0 D．≥0且≠1
5、下列等式从左到右的变形，属于因式分解正确的是（       ）
A． B．
C． D．
6、下列各式变形一定正确的是（       ）
A． B． C． D．
7、如图，已知AB＝CD，若使△ABC≌△DCB，则不能添加下列选项中的（       ）

A．∠ABC＝∠DCB B．BO＝CO
C．AO＝DO D．∠A＝∠D
8、若关于x的方程有增根，则m的值为（     ）
A．3 B．0 C．1 D．任意实数
9、如图，，，则下列结论错误的是（       ）

A． B． C． D．
二、填空题
10、如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）．

A．4 B．3 C．2 D．1
11、若分式值为，则的值为______．
12、已知点与点关于x轴对称，则的值为________________．
13、式子称为二阶行列式，规定它的运算法则为，则二阶行列式 ___________ ．
14、若，则__________．
15、在菱形 中， ，为中点，为对角线上一动点，连结和，则的值最小为_______．
16、若是一个完全平方式，则的值是 ___________．
17、（1）已知x+y＝4，xy＝3，则x2+y2的值为 _____．
（2）已知（x+y）2＝25，x2+y2＝17，则（x﹣y）2的值为 _____．
（3）已知x满足（x﹣2020）2+（2022﹣x）2＝12，则（x﹣2021）2的值为 _____．
18、如图，等边△ABC边长为12cm，BD＝4cm，点P在线段BC上以每秒2cm的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为每秒 _____cm时，能够在某一时刻使得△BPD与△CQP全等．

三、解答题
19、因式分解
(1)
(2)
20、解分式方程：
(1)；
(2)．
21、如图，是的平分线，点是线段上的一点，，．

求证：．
22、如图，在中，，，AE平分∠BAC．

(1)计算：若，，求∠DAE的度数；
(2)猜想：若，则______；
(3)探究：请直接写出∠DAE，∠C，∠B之间的数量关系．
23、为了落实“双减”政策措施，增强学生的体质，西安市某中学决定购买一些篮球和足球来促进学生的体育锻炼，已知每个篮球的售价比每个足球的售价多20元，购买篮球花费7000元，购买足球花费2500元，篮球是足球数量的2倍．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元？
(2)根据学校的实际需求，需要一次性购买篮球和足球共200个，并且要求购买篮球和足球的总费用不超过12000元，那么学校最少购入多少个足球？
24、阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式变形为的形式，我们把这种变形方法，叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：根据以上材料，解答下列问题：
（1）用配方法将化成的形式，则 ________；
（2）用配方法和平方差公式把多项式进行因式分解；
（3）对于任意实数x，y，多项式的值总为______（填序号）．
①正数②非负数 ③ 0
25、如图①，直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A（a，0）、B(0，b)两点．

(1)若＋b2－10b＋25＝0，判断△AOB的形状，并说明理由；
(2)如图②，在（1）的条件下，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，MN=7，求BN的长；
(3)如图③，若即点A不变，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为直角边在第一、第二象限作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，问当点B在y轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请求其取值范围．
一、选择题
1、B
【解析】B
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2、B
【解析】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：=9.4×10-7m，
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
3、D
【解析】D
【分析】结合幂的乘方的运算法则，得到，然后结合同底数幂的乘除法法则即可计算．
【详解】
∴= =4÷8×9=
故选：D
【点睛】本题涉及同底数幂的运算，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．
4、D
【解析】D
【分析】根据分式及二次根式有意义的条件进行计算即可．
【详解】解：由题可知，且，
∴且．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求解，熟练掌握分式及二次根式有意义的条件是解题的关键．
5、C
【解析】C
【分析】对每个选项进行分析，选出符合题意的选项即可．
【详解】解：A、属于单项式乘多项式，与题意不符；
B、，故错误，与题意不符；
C、是逆用完全平方差公式进行因式分解，故正确，符合题意；
D、属于多项式乘多项式，与题意不符；
故选：C．
【点睛】本题考查公式法进行因式分解和因式分解的定义，能够熟练辨别等式是否属于因式分解是解决本题的关键．
6、C
【解析】C
【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：只有当且时，，故A选项不一定正确，不合题意；
只有当且时，，故B选项不一定正确，不合题意；
分子和分母同时乘以，分式值不变，因此，故C选项一定正确，符合题意；
，故D选项不正确，不合题意；
故选C．
【点睛】本题考查分式的基本性质，掌握“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变”是解题的关键．
7、D
【解析】D
【分析】根据三角形全等的判定条件对各选项进行判断即可．
【详解】解：由题意知，，，
A中，根据边角边，得到，故不符合题意；
B中，则由等边对等角可得，根据边角边，得到，故不符合题意；
C中AO＝DO，则，由等边对等角可得，根据边角边，得到，故不符合题意；
D中无法证明，故符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定．解题的关键在于熟练掌握三角形全等的判定条件．
8、C
【解析】C
【分析】根据题意可得x=3，然后把x的值代入整式方程中进行计算即可解答．
【详解】解：，
去分母得x-4+m=2（x-3），
∵方程有增根，
∴x=3，
把x=3代入x-4+m=2（x-3）中得：
3-4+m=0，
∴m=1，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的增根，根据题意求出x的值后代入整式方程中进行计算是解题的关键．
9、C
【解析】C
【分析】先证明可判断A，结合平行线的性质可判断B，再利用三角形的外角的性质可判断C，结合邻补角的定义可判断D，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴ 故A不符合题意；

∵，
故B不符合题意；

故C符合题意；
故D不符合题意；
故选C
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，三角形的外角的性质，证明是解本题的关键．
二、填空题
10、B
【解析】B
【分析】根据题意逐个证明即可，①只要证明，即可证明;
②利用三角形的外角性质即可证明; ④作于，于,再证明即可证明平分.
【详解】解：∵，
∴，
即，
在和中，，
∴，
∴，①正确；
∴，
由三角形的外角性质得：
∴°，②正确；
作于，于，如图所示：

则°，
在和中，，
∴，
∴，
∴平分，④正确；
正确的个数有3个；
故选B．
【点睛】本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，角相等.
11、2
【分析】根据分式值为零及分式有意义的条件列方程及不等式求解．
【详解】解：由题意可得，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查分式值为零的条件，理解当分子为零且分母不等于零时分式的值为零是解题关键．
12、A
【解析】1
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得a、b的值，进而可得答案．
【详解】解：∵点A（a，2021）与点B（2022，b）关于x轴对称，
∴a=2022，b=-2021，
∴a+b=1，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标的特征，掌握关于坐标轴对称点的坐标的特征是解题的关键．
13、
【分析】根据二阶行列式的定义及分式的运算可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
；
故答案为．
【点睛】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
14、8
【分析】首先将化为，再根据同底数幂的除法，得出，即，再将等式代入即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：7、
【点睛】本题主要考查了同底数幂的除法和幂的乘方，解题关键是熟练掌握同底数幂的除法和幂的乘方的计算公式．同底数幂的除法计算公式：，幂的乘方计算公式：．
15、2
【分析】根据轴对称的性质，作点E′和E关于BD对称．则连接AE′交BD于点P，P即为所求作的点．PE+PA的最小值即为AE′的长．
【详解】作点E′和E关于BD对称．则连接AE′交BD于点P，
【解析】2
【分析】根据轴对称的性质，作点E′和E关于BD对称．则连接AE′交BD于点P，P即为所求作的点．PE+PA的最小值即为AE′的长．
【详解】作点E′和E关于BD对称．则连接AE′交BD于点P，
∵四边形ABCD是菱形，AB=4，E为AD中点，

∴点E′是CD的中点，
∴DE′=DC=×4=2，AE′⊥DC，
∴AE′=．
故答案为1、
【点睛】此题考查轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解题的关键．
16、±4
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去他们乘积的倍，就构成一个
【解析】±4
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到k的值．
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查了完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去他们乘积的倍，就构成一个完全平方式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键．
17、10     9     5
【分析】（1）根据完全平方公式（x+y）2＝x2+2xy+y2，把原式变形后求值；
（2）先求出xy，再根据完全平方公式变形后求值；
（3）先变形为[（x﹣2
【解析】     10     9     5
【分析】（1）根据完全平方公式（x+y）2＝x2+2xy+y2，把原式变形后求值；
（2）先求出xy，再根据完全平方公式变形后求值；
（3）先变形为[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝12，然后利用完全平方公式展开即可得到（x﹣2021）2的值．
【详解】解：（1）∵x+y＝4，xy＝3，
∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝16﹣6＝9、
故答案为：10；
（2）∵（x+y）2＝25，x2+y2＝17，
∴x2+y2+2xy﹣（x2+y2）＝8，
∴xy＝4，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝17﹣8＝8、
故答案为：9；
（3）∵（x﹣2020）2+（x﹣2022）2＝12，
∴[（x﹣2021）+1]2+[（x﹣2021）﹣1]2＝12，
∴（x﹣2021）2+2（x﹣2021）+1+（x﹣2021）2﹣2（x﹣2021）+1＝12，
∴（x﹣2021）2＝4、
故答案为：4、
【点睛】本题考查了完全平方公式，解题关键是通过对公式的变形，求出代数式的值．
18、2cm或cm
【分析】先表示出BD=4cm，BP=2t，CP=12-2t，利用等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°，讨论：当BP=CQ，BD=CP时，根据“SAS”可判断△BPD≌△CQP，即CQ
【解析】2cm或cm
【分析】先表示出BD=4cm，BP=2t，CP=12-2t，利用等边三角形的性质得到∠B=∠C=60°，讨论：当BP=CQ，BD=CP时，根据“SAS”可判断△BPD≌△CQP，即CQ=2t，12-2t=4；当BP=CP，BD=CQ时可判断△BPD≌△CPQ，即2t=12-2t，CQ=BD=4，然后分别求出t和CQ的长度，从而得到点Q运动的速度．
【详解】解：设点Q的运动速度为每秒xcm，点Q的运动时间为t秒，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C，BC＝12，
∴当BD＝CQ，BP＝CP时，根据“SAS”可判断△BPD≌△CPQ，
即4＝xt，2t＝12﹣2t，
即得t＝3，x＝；
当BD＝CP，BP＝CQ时，根据“SAS”可判断△BPD≌△CPQ，
即4＝12﹣2t，2t＝tx，
即得t＝4，x＝2；
综上所述，当点Q的运动速度为每秒2cm或cm时，能够在某一时刻使得△BPD与△CQP全等．
故答案为2cm或cm．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．也考查了等边三角形的性质．
三、解答题
19、(1)
(2)
【分析】（1）根据提公因式法因式分解，再利用平方差公式因式分解即可得到答案；
（2）先根据平方差公式因式分解，再根据完全平方公式因式分解即可得到答案．
（1）
解：
；
（2）
解
【解析】(1)
(2)
【分析】（1）根据提公因式法因式分解，再利用平方差公式因式分解即可得到答案；
（2）先根据平方差公式因式分解，再根据完全平方公式因式分解即可得到答案．
（1）
解：

；
（2）
解：

．
【点睛】本题考查因式分解，涉及到提公因式法、公式法分解因式，熟练掌握平方差公式及完全平分公式是解决问题的关键．
20、(1)
(2)原方程的无解
【分析】（1）先把分式方程化为整式方程求解，最后检验即可；
（2）先把分式方程化为整式方程求解，最后检验即可．
(1)
解：
去分母得：，
移项得：，
合并得：，
系数化
【解析】(1)
(2)原方程的无解
【分析】（1）先把分式方程化为整式方程求解，最后检验即可；
（2）先把分式方程化为整式方程求解，最后检验即可．
(1)
解：
去分母得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：，
经检验是原方程的解；
(2)
解：
去分母得：，
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：，
经检验是增根，
∴原方程的无解．
【点睛】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键．
21、见解析．
【分析】由是的平分线可知，再根据题意利用“角角边”易证．
【详解】∵是的平分线，
∴，
，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定．由角平分线的性质得出和熟练掌握三角形全等的判定条件是
【解析】见解析．
【分析】由是的平分线可知，再根据题意利用“角角边”易证．
【详解】∵是的平分线，
∴，

，
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定．由角平分线的性质得出和熟练掌握三角形全等的判定条件是解答本题的关键．
22、(1)
(2)25°
(3)
【分析】（1）先根据三角形内角和定理可计算出∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，再利用角平分线定义得∠CAE=∠BAC=30°，接着由AD⊥BC得∠ADC=90°，
【解析】(1)
(2)25°
(3)
【分析】（1）先根据三角形内角和定理可计算出∠BAC=180°-∠B-∠C=60°，再利用角平分线定义得∠CAE=∠BAC=30°，接着由AD⊥BC得∠ADC=90°，根据三角形内角和得到∠CAD，然后利用∠EAD=∠CAE-∠CAD进行计算；
（2）由三角形内角和定理得∠BAC=180°-∠B-∠C，再根据角平分线定义得∠CAE=∠BAC=90°-∠B-∠C，接着利用互余得到∠CAD=90°-∠C，所以∠EAD=∠CAE-∠CAD=90°-∠B-∠C-（90°-∠C），然后整理得出，把代入计算即可．
（3）同（2）得出∠EAD=（∠C-∠B），即可得到结论．
（1）解：∵∠B=30°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=90°，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC=45°，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C=30°，∴∠EAD=∠CAE-∠CAD=45°-30°=15°；
（2）解：∵∠BAC=180°-∠B-∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-∠B-∠C，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C，∴∠EAD=∠CAE-∠CAD=90°-∠B-∠C-（90°-∠C）=（∠C-∠B），∵∠C-∠B=50°，∴∠DAE=25°，故答案为：25°；
（3）解：∵∠BAC=180°-∠B-∠C，∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=∠BAC=（180°-∠B-∠C）=90°-∠B-∠C，∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°-∠C，∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=90°-∠B-∠C-（90°-∠C）=（∠C-∠B），即∠DAE=（∠C-∠B）．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，角平分线定义．注意从特殊到一般，（3）中的结论为一般性结论．
23、(1)每个足球的售价为50元，每个篮球的售价为70元；
(2)学校最少购入100个足球．
【分析】（1）设每个足球的售价为x元，则每个篮球的售价为（x＋20）元．由题意：花费7000元购买篮球的数量
【解析】(1)每个足球的售价为50元，每个篮球的售价为70元；
(2)学校最少购入100个足球．
【分析】（1）设每个足球的售价为x元，则每个篮球的售价为（x＋20）元．由题意：花费7000元购买篮球的数量是花费2500元购买足球数量的2倍．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购入m个足球，则购入（200−m）个篮球．由题意：购买篮球和足球的总费用不超过12000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
（1）
解：设每个足球的售价为x元，则每个篮球的售价为（x＋20）元，
由题意得：，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是所列方程的解且符合题意，
∴x＋20＝70，
答：每个足球的售价为50元，每个篮球的售价为70元；
（2）
设购入m个足球，则购入（200−m）个篮球，
由题意得：50m＋70（200−m）≤12000，
解得：m≥100，
答：学校最少购入100个足球．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24、（1）；（2）；（3）①
【分析】（1）根据材料所给方法解答即可；
（2）材料所给方法进行解答即可；
（3）局部进行因式分解，最后写成非负数的积的形式即可完成解答.
【详解】解：（1）
=
.
（2
【解析】（1）；（2）；（3）①
【分析】（1）根据材料所给方法解答即可；
（2）材料所给方法进行解答即可；
（3）局部进行因式分解，最后写成非负数的积的形式即可完成解答.
【详解】解：（1）
=
.
（2）原式=
=
=
=．
（3）
=
=
＞11
故答案为①.
【点睛】本题考查了配方法，根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键.
25、(1)△AOB为等腰直角三角形；理由见解析
(2)BN=3
(3)PB的长为定值；
【分析】（1）根据题意求出a、b的值，即可得出A与B坐标，根据OA＝OB，即可确定△AOB的形状；
（2）由OA＝
【解析】(1)△AOB为等腰直角三角形；理由见解析
(2)BN=3
(3)PB的长为定值；
【分析】（1）根据题意求出a、b的值，即可得出A与B坐标，根据OA＝OB，即可确定△AOB的形状；
（2）由OA＝OB，利用AAS得到△AMO≌△ONB，用对应线段相等求长度；
（3）如图，作EK⊥y轴于K点，利用AAS得到△AOB≌△BKE，利用全等三角形对应边相等得到OA＝BK，EK＝OB，再利用AAS得到△PBF≌△PKE，寻找相等线段，并进行转化，求PB的长．
(1)
解：结论：△OAB是等腰直角三角形；理由如下：
∵＋b2－10b＋25＝0，即，
∴，解得：，
∴A（−5，0），B（0，5），
∴OA＝OB＝5，
∴△AOB是等腰直角三角形．
(2)
解：∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，
∴，
，
∴，
∴，
∵在△AMO与△ONB中，
∴△AMO≌△ONB（AAS），
∴AM＝ON＝4，BN＝OM，
∵MN＝7，
∴OM＝3，
∴BN＝OM＝2、
(3)
解：结论：PB的长为定值．理由如下，
作EK⊥y轴于K点，如图所示：

∵△ABE为等腰直角三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝90°，
∴∠EBK＋∠ABO＝90°，
∵∠EBK＋∠BEK＝90°，
∴∠ABO＝∠BEK，
∵在△AOB和△BKE中，
∴△AOB≌△BKE（AAS），
∴OA＝BK，EK＝OB，
∵△OBF为等腰直角三角形，
∴OB＝BF，
∴EK＝BF，
∵在△EKP和△FBP中，
∴△PBF≌△PKE（AAS），
∴PK＝PB，
∴PB＝BK＝OA＝．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查非负数的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．