资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是( )
A．3(x＋1)2＝2(x＋1) B．＋－2＝0
C．ax2＋bx＋c＝0 D．x2＋2x＝x2－1
2．已知一组数据共有个数，前面个数的平均数是，后面个数的平均数是，则这个数的平均数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图为二次函数的图象，在下列说法中:
①；②方程的根是③ ；④当时，随的增大而增大；⑤；⑥，正确的说法有（ ）
A． B． C． D．
4．计算的结果是
A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9
5．如图,学校的保管室有一架5m长的梯子斜靠在墙上,此时梯子与地面所成的角为45°如果梯子底端O固定不变,顶端靠到对面墙上,此时梯子与地面所成的角为60°,则此保管室的宽度AB为( )
A．(+1 ) m B．(+3 ) m C．( ) m D．(+1 ) m
6．已知一个正多边形的一个外角为锐角，且其余弦值为，那么它是正（ ）边形．
A．六 B．八 C．十 D．十二
7．如图，将绕点旋转得到，设点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则t
anC的值是（ ）
A．2 B． C．1 D．
9．如图，等腰直角三角形的顶点A、C分别在直线a、b上，若a∥b，∠1=30°，则∠2的度数为（ ）
A．30° B．15° C．10° D．20°
10．如果二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列不等式成立的是（）
A．a>0 B．b<0
C．ac<0 D．bc<0
11．sin65°与cos26°之间的关系为（ ）
A．sin65°＜cos26° B．sin65°＞cos26°
C．sin65°=cos26° D．sin65°+cos26°=1
12．如图，某中学计划靠墙围建一个面积为的矩形花圃（墙长为），围栏总长度为，则与墙垂直的边为（ ）
A．或 B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．某班主任将其班上学生上学方式（乘公汽、骑自行车、坐小轿车、步行共4种）的调查结果绘制成下图所示的不完整的统计图，已知乘坐公汽上学的有12人，骑自行车上学的有24人，乘家长小轿车上学的有4人，则步行上学的学生人数在扇形统计图对应的扇形所占的圆心角的度数为_____．
14．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2020＝0有一根为x＝﹣1，则a+b＝_____．
15．如图，用长的铝合金条制成使窗户的透光面积最大的矩形窗框，那么这个窗户的最大透光面积是___________．(中间横框所占的面积忽略不计)
16．若是方程的一个根，则代数式的值是______.
17．点M（3，）与点N（）关于原点对称，则________.
18．如图，旗杆高AB＝8m，某一时刻，旗杆影子长BC＝16m，则tanC＝_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）某校为了解每天的用电情况，抽查了该校某月10天的用电量，统计如下（单位：度）：
用电量
90
93
102
113
114
120
天数
1
1
2
3
1
2
（1）该校这10天用电量的众数是 度，中位数是 度；
（2）估计该校这个月的用电量（用30天计算）.
20．（8分）专卖店销售一种陈醋礼盒，成本价为每盒40元．如果按每盒50元销售，每月可售出500盒；若销售单价每上涨1元，每月的销售量就减少10盒．设此种礼盒每盒的售价为x元（50＜x＜75），专卖店每月销售此种礼盒获得的利润为y元．
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）专卖店计划下月销售此种礼盒获得8000元的利润，每盒的售价应为多少元？
（3）专卖店每月销售此种礼盒的利润能达到10000元吗？说明理由．
21．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B(-4，2)，BA⊥轴于A．
(1)画出将△OAB绕原点旋转180°后所得的 △OA1B1 ，并写出点B1 的坐标；
(2)将△OAB平移得到△O2A2B2，点A的对应点是 A2 （-2，4），点B的对应点B2 ，在坐标系中画出 △O2A2B2 ；并写出B2的坐标；
(3)△OA1B1与△O2A2B2成中心对称吗？若是， 请直接写出对称中心点P的坐标．
22．（10分）（定义）在平面直角坐标系中，对于函数图象的横宽、纵高给出如下定义：当自变量x在范围内时，函数值y满足．那么我们称b-a为这段函数图象的横宽，称d-c为这段函数图象的纵高．纵高与横宽的比值记为k即：．
（示例）如图1，当时；函数值y满足，那么该段函数图象的横宽为2-（-1）=1，纵高为4-1=1．则．
（应用）（1）当时，函数的图象横宽为 ，纵高为 ；
（2）已知反比例函数，当点M(1，4)和点N在该函数图象上，且MN段函数图象的纵高为2时，求k的值．
（1）已知二次函数的图象与x轴交于A点，B点．
①若m=1，是否存在这样的抛物线段，当()时，函数值满足若存在，请求出这段函数图象的k值；若不存在，请说明理由．
②如图2，若点P在直线y=x上运动，以点P为圆心，为半径作圆，当AB段函数图象的k=1时，抛物线顶点恰好落在上，请直接写出此时点P的坐标．
23．（10分）如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，AD是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线，交DA的延长线于点E，连接BD，且∠E＝∠DBC．
（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）若CD＝9，tan∠ABE＝，求⊙O的半径．
24．（10分）如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F．
(1)求证：△ABC∽△FCD；
(2)若S△ABC＝20，BC＝10，求DE的长．
25．（12分）已知，，，（如图），点，分别为射线上的动点（点C、E都不与点B重合），连接AC、AE使得，射线交射线于点，设，.
（1）如图1，当时，求AF的长.
（2）当点在点的右侧时，求关于的函数关系式，并写出函数的定义域.
（3）连接交于点，若是等腰三角形，直接写出的值.
26．如图，点E，F，G，H分别位于边长为a的正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，AG＝x，正方形EFGH的面积为y．
（1）当a＝2，y＝3时，求x的值；
（2）当x为何值时，y的值最小？最小值是多少？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【分析】依据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】A. 3(x+1)2=2(x+1)是一元二次方程，故A正确；
B. ＋－2＝0是分式方程，故B错误；
C. 当a=0时,方程ax2+bx+c=0不是一元二次方程，故C错误；
D. x2+2x=x2-1，整理得2x=-1是一元一次方程，故D错误；
故选A.
【点睛】
此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于掌握其定义.
2、C
【分析】由题意可以求出前14个数的和，后6个数的和，进而得到20个数的总和，从而求出20个数的平均数．
【详解】解：由题意得：（10×14+15×6）÷20=11.5，
故选：C．
【点睛】
此题考查平均数的意义和求法，求出这些数的总和，再除以总个数即可.
．
3、D
【分析】根据抛物线开口向上得出a＞1，根据抛物线和y轴的交点在y轴的负半轴上得出c＜1，根据图象与x轴的交点坐标得出方程ax2+bx+c=1的根，把x=1代入y=ax2+bx+c求出a+b+c＜1，根据抛物线的对称轴和图象得出当x＞1时，y随x的增大而增大，2a=-b，根据图象和x轴有两个交点得出b2-4ac＞1．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴a＞1，
∵抛物线和y轴的交点在y轴的负半轴上，
∴c＜1，
∴ac＜1，∴①正确；
∵图象与x轴的交点坐标是（-1，1），（3，1），
∴方程ax2+bx+c=1的根是x1=-1，x2=3，∴②正确；
把x=1代入y=ax2+bx+c得：a+b+c＜1，∴③错误；
根据图象可知：当x＞1时，y随x的增大而增大，∴④正确；
∵-=1，
∴2a=-b，
∴2a+b=1，不是2a-b=1，∴⑤错误；
∵图象和x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞1，∴⑥正确；
正确的说法有：①②④⑥．
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了二次函数与系数的关系的应用，主要考查学生对二次函数的图象与系数的关系的理解和运用，同时也考查了学生观察图象的能力，本题是一道比较典型的题目，具有一定的代表性．
4、B
【分析】利用二次根式的性质进行化简即可.
【详解】=|﹣3|=3.
故选B.
5、A
【分析】根据锐角三角函数分别求出OB和OA，即可求出AB.
【详解】解：如下图所示，OD=OC=5m，∠DOB=60°，∠COA=45°，
在Rt△OBD中，OB=OD·cos∠DOB=m
在Rt△OAC中，OA=OC·cos∠COA=m
∴AB=OA+OB=(+1 )m
故选：A.
【点睛】
此题考查的是解直角三角形，掌握用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.
6、B
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出答案．
【详解】∵一个外角为锐角，且其余弦值为，
∴外角＝45°，
∴360÷45＝1．
故它是正八边形．
故选：B．
【点睛】
本题考查根据正多边形的外角判断边数，根据余弦值得到外角度数是解题的关键．
7、B
【分析】由题意可知，点C为线段A的中点，故可根据中点坐标公式求解．对本题而言，旋转后的纵坐标与旋转前的纵坐标互为相反数，（旋转后的横坐标+旋转前的横坐标）÷2=－1，据此求解即可.
【详解】解：∵绕点旋转得到，点的坐标为，
∴旋转后点A的对应点的横坐标为：，纵坐标为－b，所以旋转后点的坐标为：．
故选：B．
【点睛】
本题考查了旋转变换后点的坐标规律探求，属于常见题型，掌握求解的方法是解题的关键.
8、B
【分析】在直角三角形ACD中，根据正切的意义可求解．
【详解】如图：
在RtACD中，tanC．
故选B．
【点睛】
本题考查了锐角三角比的意义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．
9、B
【解析】分析：由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD=60°，即可得出∠2的度数．
详解：如图所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，
∴∠1+∠BAC=30°+90°=120°，
∵a∥b，
∴∠ACD=180°-120°=60°，
∴∠2=∠ACD-∠ACB=60°-45°=15°；
故选B．
点睛：本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，由平行线的性质求出∠ACD的度数是解决问题的关键．
10、C
【解析】试题解析：由函数图象可得各项的系数:
故选C.
11、B
【分析】首先要将它们转换为同一种锐角三角函数，再根据函数的增减性进行分析．
【详解】∵cos26°=sin64°，正弦值随着角的增大而增大，
∴sin65°＞cos26°．
故选：B．
【点睛】
掌握正余弦的转换方法，了解锐角三角函数的增减性是解答本题的关键．
12、C
【分析】设与墙相对的边长为（28-2x）m，根据题意列出方程x（28-2x）=80，求解即可.
【详解】设与墙相对的边长为（28-2x）m，则0＜28-2x≤12，解得8≤x＜14，
根据题意列出方程x（28-2x）=80，
解得x1=4，x2=10
因为8≤x＜14
∴与墙垂直的边为10m
故答案为C.
【点睛】
本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程并求解是解题的关键，注意题中限制条件，选取适合的x值.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、90°
【分析】先根据骑自行车上学的学生有12人占25%，求出总人数，再根据步行上学的学生人数所对应的圆心角的度数为所占的比例乘以360度，即可求出答案．
【详解】解：根据题意得：
总人数是：12÷25%＝48人，
所以乘车部分所对应的圆心角的度数为360°×＝90°；
故答案为：90°．
【点睛】
此题主要考查了扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息，列出算式是解决问题的关键．
14、1
【分析】由方程有一根为﹣1，将x＝﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．
【详解】解：把x＝﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣1＝0得：a+b﹣1＝0，
即a+b＝1．
故答案为：1．
【点睛】
此题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．
15、
【分析】设窗的高度为xm，宽为m，根据矩形面积公式列出二次函数求函数值的最大值即可．
【详解】解：设窗的高度为xm，宽为．
所以，即，
当x=2m时，S最大值为．
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次函数的应用．能熟练将二次函数化为顶点式，并据此求出函数的最值是解决此题的关键．
16、9
【分析】根据方程解的定义，将a代入方程得到含a的等式，将其变形，整体代入所求的代数式.
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴2a2=a+3,
∴2a2-a=3,
∴.
故答案为：9.
【点睛】
本题考查方程解的定义及代数式求值问题，理解方程解的定义和整体代入思想是解答此题的关键.
17、-6
【分析】根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，列方程求解即可.
【详解】解：根据平面内两点关于关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，
∴b+3=0，a-1+4=0，
即：a=﹣3且b=﹣3，
∴a+b=﹣6
【点睛】
本题考查 关于原点对称的点的坐标，掌握坐标变化规律是本题的解题关键.
18、．
【分析】根据直角三角形的性质解答即可．
【详解】∵旗杆高AB=8m，旗杆影子长BC=16m，
∴tanC=＝＝，
故答案为
【点睛】
此题考查解直角三角形的应用，关键是根据正切值是对边与邻边的比值解答．
三、解答题（共78分）
19、（1）113；113；（2）3240度.
【分析】（1）分别利用众数、中位数的定义求解即可；
（2）根据平均数的计算方法计算出平均用电量，再乘以总用电天数即可得解．
【详解】解：（1）113度出现了3此,出现的次数最多，故众数为113度；
将数据按从小到大的顺序排列，共10个数据，位于第5,6的数均为113，故中位数为113度；
（2）（度）．
答：估计该校该月的用电量为3240度．
【点睛】
本题考查的知识点是中位数、众数的概念定义以及算数平均线的计算方法，属于基础题目，易于理解掌握．
20、（1）y=－11x2＋1411x－41111；（2）销售价应定为61元/盒．（3）不可能达到11111元．理由见解析
【分析】（1）根据题意用x表示销售商品的件数，则利润等于单价利润乘以件数．
（2）根据此种礼盒获得8111元的利润列出一元二次方程求解，再进行取舍即可；
（3）得出相应的一元二次方程，判断出所列方程是否有解即可．
【详解】解：（1）y=(x－41)[511－11(x－51)]，
整理，得y=－11x2＋1411x－41111；
（2）由题意得y=8111，即－11x2＋1411x－41111=8111，
化简，得x2－141x＋4811=1．
解得，x1＝61，x2＝81（不符合题意，舍去）．
∴x＝61．
答：销售价应定为61元/盒．
（3）不可能达到11111元．理由如下：
当y=11111时，得－11x2＋1411x－41111=11111．
化简，得x2－141x＋5111=1．
△＝（-141）2-4×1×5111＜1，原方程无实数解．
∴该专卖店每月销售此种礼盒的利润不可能达到11111元．
【点睛】
解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．注意售价、进价、利润、销售量之间的数量关系．
21、（1）图见解析，B1（4，-2）；（2）△图见解析，B2（-2，6）（3）△OA1B1与△O2A2B2成中心对称，对称中心P的坐标是（1，2）．
【分析】（1）找出点A，点B关于原点O的对称点A1，B1，顺次连接起来即可；
（2）找出点A，点B，点O的对应点，顺次连接起来即可；
（3）根据中心对称图形的性质，找出对称中心P，写出坐标，即可．
【详解】（1）△OA1B1如图所示；B1（4，-2）；
（2）△OA2B2如图所示；B2（-2，6）；
（3）△OA1B1与△O2A2B2成中心对称，对称中心P的坐标是（1，2）
【点睛】
本题主要考查图形变换和坐标，熟练掌握平变换和旋转变换的性质，是解题的关键．
22、（1）2，4；（2），2；（1）①存在，k=1；② 或或
【分析】（1）当时，函数的函数值y满足
从而可以得出横宽和纵高；
（2）由题中MN段函数图象的纵高为2，进而进行分类讨论N的y值为2以及6的情况，再根据题中对k值定义的公式进行计算即可；
（1）①先求出函数的解析式及对称轴及最大值，根据函数值满足确定b的取值范围，并判断此时函数的增减性，确定两个端点的坐标，代入函数解析式求解即可；
②先求出A、B的坐标及顶点坐标，根据k=1求出m的值，分两种情况讨论即可．
【详解】（1）当时，函数的函数值y满足，
从而可以得出横宽为，纵高为
故答案为：2，4；
（2）将M（1，4）代入，得n=12，
纵高为2，
令y=2，得x=6；令y=6，x=2，
，
.
（1）①存在，
，
解析式可化为，
当x=2时，y最大值为4，
，解得，
当时，图像在对称轴左侧，
y随x的增大而增大，
当x=a时，y=2a；当x=b时，y=1b，将分别代入函数解析式，
解得(舍)，(舍)，，
②，，，理由是：
A（0，0），B（4，0），顶点K（2，4m），
AB段函数图像的k=1，
，
m=1或-1，
二次函数为或，过顶点K和P点分别作x轴、y轴的垂线，交点为H.
i)若二次函数为，
如图1，设P的坐标为（x，x），则KH=，PH=，
在中，，
即
解得，
ii)若二次函数为，
如图2，设P的坐标为（x，x），则，
在中，
，解得x=-1，
【点睛】
本题考查的是新定义问题，是中考热门题型，解题关键在于结合抛物线的图像性质、直角三角形的勾股定理以及题中对于k值的定义进行求解．
23、（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接，证明，可得，则；
（2）证明，，则，可求出，则答案可求出．
【详解】解：（1）证明：连接OB，
∵BE为⊙O的切线，
∴OB⊥BE，
∴∠OBE＝90°，
∴∠ABE+∠OBA＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
∴∠ABE+∠OAB＝90°，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠OAB+∠ADB＝90°，
∴∠ABE＝∠ADB，
∵四边形ABCD的外接圆为⊙O，
∴∠EAB＝∠C，
∵∠E＝∠DBC，
∴∠ABE＝∠BDC，
∴∠ADB＝∠BDC，
即DB平分∠ADC；
（2）解：∵tan∠ABE＝，
∴设AB＝x，则BD＝2x，
AD＝＝x，
∵∠E＝∠E，∠ABE＝∠BDE，
∴△AEB∽△BED，
∴BE2＝AE•DE，且＝＝，
设AE＝a，则BE＝2a，
∴4a2＝a（a+x），
∴a＝x，
∵∠BAE＝∠C，∠ABE＝∠BDC，
∴△AEB∽△CBD，
∴，
∴＝，
解得＝3，
∴AD＝x＝15，
∴OA＝．
【点睛】
本题考查切线的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．
24、（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据题目条件证明和，利用两组对应角相等的三角形相似，证明；
（2）过点A作于点M，先通过的面积求出AM的长，根据得到，再算出DE的长．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵D是BC边上的中点且
∴，
∴，
∴；
（2）如图，过点A作于点M，
∵，
∴，解得，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定定理．
25、（1）；（2）；（3）或或.
【分析】过点作于N，利用∠B的余弦值可求出BN的长，利用勾股定理即可求出AN的长，根据线段的和差关系可得CN的长，利用勾股定理可求出AC的长，根据AD//BC，AD=BC即可证明四边形ABCD是平行四边形，可得∠B=∠D，进而可证明△ABC∽△ADF，根据相似三角形的性质即可求出AF的长；（2）根据平行线的性质可得，根据等量代换可得，进而可证明△ABC∽△ABE，根据相似三角形的性质可得，可用x表示出BE、CE的长，根据平行线分线段成比例定理可用x表示出的值，根据可得y与x的关系式，根据x>0，CE>0即可确定x的取值范围；（3）分PA=PD、AP=AD和AD=PD三种情况，根据BE=及线段的和差关系，分别利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案.
【详解】（1）如图，过点作于N，
∵AB=5，，
∴在中，=5×=3，
∴AN===4，
∵BC=x=4，
∴CN=BC-BN=4-3=1，
在中，，
∵AD=4，BC=x=4，
∴AD=BC，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
又∵，
∴△ABC∽△ADF，
∴，
∴
解得：，
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
又∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△ABE，
∴，
∴，
∵AD//BC，
∴，
∴，
∵x>0，CE=>0，
∴0<x<5，
∴，
（3）①如图，当PA=PD时，作AH⊥BM于H，PG⊥AD于G，延长GP交BM于N，
∵PA=PD，AD=4，
∴AG=DG=2，∠ADB=∠DAE，
∵AD//BE，
∴GN⊥BE，∠DAE=∠AEB，∠ADB=∠DBE，
∴∠DBE=∠AEB，
∴PB=PE，
∴BN=EN=BE=，
∵，AB=5，
∴BH=AB·cos∠ABH=3，
∵AH⊥BM，GN⊥MB，GN⊥AD，
∴∠AHN=∠GNH=∠NGA=90°，
∴四边形AHNG是矩形，
∴HN=AG=2，
∴BN=BH+HN=3+2=5，
∴=5，
解得：x=.
②如图，当AP=AD=4时，作AH⊥BM于H，
∴∠ADB=∠APD，
∵AD//BM，
∴∠ADB=∠DBC，
∵∠APD=∠BPE，
∴∠DBC=∠BPE，
∴BE=PE=，
∵cos∠ABC=，AB=5，
∴BH=3，AH=4，
∴在Rt△AEH中，(4+)2=42+(3-)2，
解得：x=，
③如图，当AD=PD=4时，作AH⊥BM于H，DN⊥BM于N，
∴∠DAP=∠DPA，
∵AD//BM，
∴∠DAP=∠AEB，
∵∠APD=∠BPE，
∴∠BPE=∠AEB，
∴BP=BE=，
∵cos∠ABC=，AB=5，
∴BH=3，AH=4，
∵AD//BM，AH⊥BM，DN⊥BM，
∴四边形AHND是矩形，
∴DN=AH=4，HN=AD=4，
中Rt△BND中，(4+)2=42+(4+3)2，
解得：x=，
综上所述：x的值为或或.
【点睛】
本题考查相似三角形的综合，熟练掌握锐角三角函数的定义、平行线的性质、等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质，灵活运用分类讨论的思想是解题关键.
26、（1）x＝；（1）当x＝a（即E在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最小，最小的面积为a1．
【分析】（1）设正方形ABCD的边长为a，AE＝x，则BE＝a﹣x，易证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，再利用勾股定理求出EF的长，进而得到正方形EFGH的面积；
（1）利用二次函数的性质即可求出面积的最小值．
【详解】解：设正方形ABCD的边长为a，AE＝x，则BE＝a﹣x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH＝EF，∠HEF＝90°，
∴∠AEH+∠BEF＝90°，
∵∠AEH+∠AHE＝90°，
∴∠AHE＝∠BEF，
在△AHE和△BEF中，，
∴△AHE≌△BEF（AAS），
同理可证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DHG，
∴AE＝BF＝CG＝DH＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝a﹣x
∴EF1＝BE1+BF1＝（a﹣x）1+x1＝1x1﹣1ax+a1，
∴正方形EFGH的面积y＝EF1＝1x1﹣1ax+a1，
当a＝1，y＝3时，1x1﹣4x+4＝3，
解得：x＝；
（1）∵y＝1x1﹣1ax+a1＝1（x﹣a）1+a1，
即：当x＝a（即E在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最小，最小的面积为a1．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，正方形的性质、全等三角形的判定和性质以及二次函数的性质，题目的综合性较强，难度中等．
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