资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数分别是
A．3， B．3，1 C．，1 D．3，6
2．在同一平面直角坐标系中，函数y=x﹣1与函数的图象可能是
A． B． C． D．
3．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E；B、E是半圆弧的三等分点，的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．在奔驰、宝马、丰田、三菱等汽车标志图形中，为中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列事件中为必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放茂名新闻 B．早晨的太阳从东方升起
C．随机掷一枚硬币，落地后正面朝上 D．下雨后，天空出现彩虹
6．如图，直线a∥b∥c，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若AB＝3，BC＝5，DF＝12，则DE的值为（ ）
A． B．4 C． D．
7．如图，小明将一个含有角的直角三角板绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成一个几何体，将这个几何体的侧面展开，得到的大致图形是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，点D，E分别在△ABC的AB，AC边上，增加下列哪些条件，①∠AED=∠B，②，③，使△ADE与△ACB一定相似（ ）
A．①② B．② C．①③ D．①②③
9．如图，的半径为5，的内接于，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图所示，在半径为10cm的⊙O中，弦AB＝16cm，OC⊥AB于点C，则OC等于（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，P是反比例函数y＝的图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线，得图中阴影部分的面积为3，则这个反比例函数的比例系数是_____．
12．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0），则方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解是_____．
13．数据2，3，5，5，4的众数是____．
14．若一个反比例函数的图像经过点和，则这个反比例函数的表达式为__________．
15．若函数是反比例函数，则________．
16．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为_____．
17．如图，在矩形中，，点在边上，，则BE=__________；若交于点，则的长度为________．
18．如图所示，某河堤的横断面是梯形，，迎水坡长26米，且斜坡的坡度为，则河堤的高为 米．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，已知直线AB与轴交于点C，与双曲线交于A（3，）、B（-5，）两点.AD⊥轴于点D，BE∥轴且与轴交于点E.
（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；
（2）判断四边形CBED的形状，并说明理由.
20．（6分）如图，已知直线的函数表达式为，它与轴、轴的交点分别为两点．
（1）若的半径为2，说明直线与的位置关系；
（2）若的半径为2，经过点且与轴相切于点，求圆心的坐标；
（3）若的内切圆圆心是点，外接圆圆心是点，请直接写出的长度．
21．（6分）参照学习函数的过程方法，探究函数的图像与性质，因为，即，所以我们对比函数来探究列表：
…
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
…
…
1
2
4
-4
-2
-1
…
…
2
3
5
-3
-2
0
…
描点：在平面直角坐标系中以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示：
（1）请把轴左边各点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；
（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：
①当时，随的增大而______；（“增大”或“减小”）
②的图象是由的图象向______平移______个单位而得到的；
③图象关于点______中心对称.（填点的坐标）
（3）函数与直线交于点，，求的面积.
22．（8分）在平面直角坐标系中，直线y＝x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A．
（1）直接写出：b的值为 ；c的值为 ；点A的坐标为 ；
（2）点M是线段BC上的一动点，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．设点D的横坐标为m．
①如图1，过点D作DM⊥BC于点M，求线段DM关于m的函数关系式，并求线段DM的最大值；
②若△CDM为等腰直角三角形，直接写出点M的坐标 ．
23．（8分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA＝x．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在线段AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件： ．
24．（8分）如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P在上运动（点P不与点A、B重合），且∠APB＝30°，设图中阴影部分的面积为y．
（1）⊙O的半径为 ；
（2）若点P到直线AB的距离为x，求y关于x的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．
25．（10分）如图，是的直径，点，是上两点，且，连接，，过点作交延长线于点，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径．
26．（10分）在正方形和等腰直角中，，是的中点，连接、.
（1）如图1，当点在边上时，延长交于点.求证：；
（2）如图2，当点在的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请证明你的结论；
（3）如图3，若四边形为菱形，且，为等边三角形，点在的延长线上时，线段、又有怎样的数量关系，请直接写出你的结论，并画出论证过程中需要添加的辅助线.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
【详解】3x2−6x+1=0的二次项系数是3，一次项系数是−6，常数项是1.
故答案选A.
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程的一般形式，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的一般形式.
2、C
【解析】试题分析：一次函数的图象有四种情况：
①当，时，函数的图象经过第一、二、三象限；
②当，时，函数的图象经过第一、三、四象限；
③当，时，函数的图象经过第一、二、四象限；
④当，时，函数的图象经过第二、三、四象限．
因此，∵函数y=x﹣1的，，∴它的图象经过第一、三、四象限．
根据反比例函数的性质：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限．
∵反比例函数的系数，∴图象两个分支分别位于第一、三象限．
综上所述，符合上述条件的选项是C．故选C．
3、D
【分析】连接BD，BE，BO，EO，先根据B、E是半圆弧的三等分点求出圆心角∠BOD的度数，再利用弧长公式求出半圆的半径R，再利用圆周角定理求出各边长，通过转化将阴影部分的面积转化为S△ABC﹣S扇形BOE，然后分别求出面积相减即可得出答案.
【详解】解：连接BD，BE，BO，EO，
∵B，E是半圆弧的三等分点，
∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，
∴∠BAD＝∠EBA＝30°，
∴BE∥AD，
∵ 的长为 ，
∴
解得：R＝4，
∴AB＝ADcos30°＝ ，
∴BC＝AB＝，
∴AC＝BC＝6，
∴S△ABC＝×BC×AC＝××6＝，
∵△BOE和△ABE同底等高，
∴△BOE和△ABE面积相等，
∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE＝
故选：D．
【点睛】
本题主要考查弧长公式，扇形面积公式，圆周角定理等，掌握圆的相关性质是解题的关键.
4、B
【解析】试题分析：根据中心对称图形的概念， A、C、D都不是中心对称图形，是中心对称图形的只有B．
故选B．
考点：中心对称图形
5、B
【解析】分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件：
A、打开电视机，正在播放茂名新闻，可能发生，也可能不发生，是随机事件，故本选项错误；
B、早晨的太阳从东方升起，是必然事件，故本选项正确；
C、随机掷一枚硬币，落地后可能正面朝上，也可能背面朝上，故本选项错误；
D、下雨后，天空出现彩虹，可能发生，也可能不发生，故本选项错误．
故选B．
6、C
【分析】由，利用平行线分线段成比例可得DE与EF之比，再根据DF＝12，可得答案．
【详解】，
，
，
，
，
，
故选C.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，牢记平行线分线段成比例定理及推论是解题的关键．
7、C
【分析】先根据面动成体得到圆锥，进而可知其侧面展开图是扇形，根据扇形的弧长公式求得扇形的圆心角，即可判别．
【详解】设含有角的直角三角板的直角边长为1，则斜边长为，
将一个含有角的直角三角板绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成一个几何体是圆锥，
此圆锥的底面周长为：，
圆锥的侧面展开图是扇形，
，即，
∴，
∵，
∴图C符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查了点、线、面、体中的面动成体，解题关键是根据扇形的弧长公式求得扇形的圆心角．
8、C
【分析】根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
【详解】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，
∴△AED∽△ABC，故①正确，
∵∠A=∠A， ，
∴△AED∽△ABC，故③正确，
由②无法判定△ADE与△ACB相似，
故选C．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
9、C
【分析】连接OA、OB，作OH⊥AB，利用垂径定理和勾股定理求出OH的长，再根据圆周角定理求出∠ACB=∠AOH，即可利用等角的余弦值相等求得结果.
【详解】如图，连接OA、OB，作OH⊥AB，
∵AB=8，OH⊥AB，
∴AH=AB=4，∠AOB=2∠AOH,
∵OA=5，
∴OH=,
∵∠AOB=2∠ACB,
∴∠ACB=∠AOH,
∴=cos∠AOH=,
故选：C.
【点睛】
此题考查圆的性质，垂径定理，勾股定理，三角函数，圆周角定理，利用圆周角定理求得∠ACB=∠AOH，由此利用等角的函数值相等解决问题.
10、D
【分析】根据垂径定理可知AC的长，再根据勾股定理即可求出OC的长．
【详解】解：连接OA，如图：
∵AB＝16cm，OC⊥AB，
∴AC＝AB＝8cm，
在RtOAC中，OC＝＝＝6（cm），
故选：D．
【点睛】
本题考查的是垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理，构造出直角三角形是解答此题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、-1．
【分析】设出点P的坐标，阴影部分面积等于点P的横纵坐标的积的绝对值，把相关数值代入即可．
【详解】解：设点P的坐标为（x，y）．
∵P（x，y）在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝xy，
∴|xy|＝1，
∵点P在第二象限，
∴k＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【点睛】
此题考查的是已知反比例函数与矩形的面积关系，掌握反比例函数图象上一点作x轴、y轴的垂线与坐标轴围成的矩形的面积与反比例函数的比例系数的关系是解决此题的关键．
12、.x1＝－3，x2＝2
【详解】解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(−3,0)，(2,0)，
∴当x=−3或x=2时，y=0，
即方程的解为
故答案为：
13、1
【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．
【详解】解：∵1是这组数据中出现次数最多的数据，
∴这组数据的众数为1．
故答案为：1．
【点睛】
本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．
14、
【分析】这个反比例函数的表达式为，将A、B两点坐标代入，列出方程即可求出k的值，从而求出反比例函数的表达式．
【详解】解：设这个反比例函数的表达式为
将点和代入，得
化简，得
解得：（反比例函数与坐标轴无交点，故舍去）
解得：
∴这个反比例函数的表达式为
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是求反比例函数的表达式，掌握待定系数法是解决此题的关键．
15、-1
【分析】根据反比例函数的定义可求出m的值．
【详解】解：∵函数是反比例函数
∴
解得，．
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数的定义，比较基础，易于掌握．
16、（ ，2）．
【解析】由题意得：
，即点P的坐标.
17、5
【分析】根据矩形的性质得出∠DAE=∠AEB，再由AB和∠DAE的正切值可求出BE，利用勾股定理计算出AE的长，再证明△ABE∽△FEA，根据相似三角形的性质可得，代入相应线段的长可得EF的长，再在在Rt△AEF中里利用勾股定理即可算出AF的长，进而得到DF的长．
【详解】解：∵点在矩形的边上，
∴，
∴.
在中，，
∴，
∴.
∵
∴△ABE∽△FEA，
∴，即，解得.
∵.
∴.
【点睛】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握相似三角形的判定方法和性质定理．相似三角形对应边的比相等，两个角对应相等的三角形相似．
18、24
【解析】试题分析：因为斜坡的坡度为，所以BE:AE=，设BE=12x，则AE=5x；在Rt△ABE中，由勾股定理知：即：解得：x=2或-2（负值舍去）；所以BE=12x=24（米）．
考点：解直角三角形的应用．
三、解答题(共66分)
19、（1）点B的坐标是（-5，-4）；直线AB的解析式为：
（2）四边形CBED是菱形.理由见解析
【解析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A代入双曲线方程求得k值，即利用待定系数法求得双曲线方程；然后将B点代入其中，从而求得a值；设直线AB的解析式为y=mx+n，将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法解答；
（2）由点C、D的坐标、已知条件“BE∥x轴”及两点间的距离公式求得，CD=5，BE=5，且BE∥CD，从而可以证明四边形CBED是平行四边形；然后在Rt△OED中根据勾股定理求得ED=5，所以ED=CD，从而证明四边形CBED是菱形．
【详解】解：（1）∵双曲线过A（3，），∴.把B（-5，）代入,
得. ∴点B的坐标是（-5，-4）
设直线AB的解析式为，
将 A（3，）、B（-5，-4）代入得，
， 解得：.
∴直线AB的解析式为：
（2）四边形CBED是菱形.理由如下:
点D的坐标是（3,0），点C的坐标是（-2,0）.
∵ BE∥轴， ∴点E的坐标是（0,-4）.
而CD =5， BE=5，且BE∥CD.
∴四边形CBED是平行四边形
在Rt△OED中，ED2＝OE2＋OD2，∴ ED＝＝5，∴ED＝CD.
∴□CBED是菱形
20、（1）直线AB与⊙O的位置关系是相离；（2）（，2）或（-，2）；（3）
【分析】（1）由直线解析式求出A（-4，0），B（0，3），得出OB=3，OA=4，由勾股定理得出AB==5，过点O作OC⊥AB于C，由三角函数定义求出OC=＞2，即可得出结论；
（2）分两种情况：①当点P在第一象限，连接PB、PF，作PC⊥OB于C，则四边形OCPF是矩形，得出OC=PF=BP=2，BC=OB-OC=1，由勾股定理得出PC=，即可得出答案；②当点P在的第二象限，根据对称性可得出此时点P的坐标；
（3）设⊙M分别与OA、OB、AB相切于C、D、E，连接MC、MD、ME、BM，则四边形OCMD是正方形，DE⊥AB，BE=BD，得出MC=MD=ME=OD=（OA+OB-AB）=1，求出BE=BD=OB-OD=2，由直角三角形的性质得出△ABO外接圆圆心N在AB上，得出AN=BN=AB=，NE=BN-BE=，在Rt△MEN中，由勾股定理即可得出答案．
【详解】解：（1）∵直线l的函数表达式为y=x+3，
∴当x=0时，y=3；当y=0时，x=4；
∴A（﹣4，0），B（0，3），
∴OB=3，OA=4，
AB==5，
过点O作OC⊥AB于C，如图1所示：
∵sin∠BAO=，
∴，
∴OC=＞2，
∴直线AB与⊙O的位置关系是相离；
（2）如图2所示，分两种情况：
①当点P在第一象限时，连接PB、PF，作PC⊥OB于C，
则四边形OCPF是矩形，
∴OC=PF=BP=2，
∴BC=OB﹣OC=3﹣2=1，
∴PC=，
∴圆心P的坐标为：（，2）；
②当点P在第二象限时，
由对称性可知，在第二象限圆心P的坐标为：（-，2）．
综上所知，圆心P的坐标为（，2）或（-，2）．
（3）设⊙M分别与OA、OB、AB相切于C、D、E，连接MC、MD、ME、BM，如图3所示：
则四边形OCMD是正方形，DE⊥AB，BE=BD，
∴MC=MD=ME=OD=（OA+OB﹣AB）=×（4+3﹣5）=1，
∴BE=BD=OB﹣OD=3﹣1=2，
∵∠AOB=90°，∴△ABO外接圆圆心N在AB上，
∴AN=BN=AB=，∴NE=BN﹣BE=﹣2=，
在Rt△MEN中，
MN=．
【点睛】
本题是圆的综合题目，考查了直线与圆的位置关系、直角三角形的内切圆与外接圆、勾股定理、切线长定理、正方形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握直线与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键．
21、（1）如图所示，见解析；（2）①增大；②上，1；③；（3）1.
【分析】（1）按要求把轴左边点和右边各点分别用一条光滑曲线顺次连接起来即可；
（2）①观察图像可得出函数增减性；②由表格数据及图像可得出平移方式；③由图像可知对称中心；
（3）将与联立求解，得到A、B两点坐标，将△AOB分为△AOC与△BOC计算面积即可.
【详解】（1）如图所示：
（2）①由图像可知：当时，随的增大而增大，故答案为增大；
②由表格数据及图像可知，的图象是由的图象向上平移1个单位而得到的，故答案为上，1；
③由图像可知图像关于点（0,1）中心对称.
（3），解得：或
∴A点坐标为（-1,3），B点坐标为（1，-1）
设直线与y轴交于点C，当x=0时，y=1，
所以C点坐标为（0,1），如图所示，
S△AOB= S△AOC+ S△BOC
=
=
=
所以△AOB的面积为1.
【点睛】
本题考查反比例函数的图像与性质，描点作函数图像，掌握反比例函数的图像与性质是关键.
22、（1）﹣；﹣1；（﹣1，0）；（1）①MD＝（﹣m1+4m），DM最大值；②（，﹣）或（，﹣）．
【分析】（1）直线yx﹣1与x轴交于点B，与y轴交于点C，则点B、C的坐标为：(4，0)、(0，﹣1)，即可求解；
（1）①MD=DHcos∠MDH(m﹣1m1m+1)(﹣m1+4m)，即可求解；②分∠CDM=90、∠MDC=90°、∠MCD=90°三种情况，分别求解即可．
【详解】（1）直线yx﹣1与x轴交于点B，与y轴交于点C，
则点B、C的坐标为：(4，0)、(0，﹣1)．
将点B、C的坐标代入抛物线表达式并解得：b，c=﹣1．
故抛物线的表达式为：…①，点A(﹣1，0)．
故答案为：，﹣1，(﹣1，0)；
（1）①如图1，过点D作y轴的平行线交BC于点H交x轴于点E．
设点D(m，m1m﹣1)，点H(m，m﹣1)．
∵∠MDH+∠MHD=90°，∠OBC+∠BHE=90°，∠MHD=∠EHB，
∴∠MDH=∠OBC=α．
∵OC=1，OB=4，
∴BC=，
∴cos∠OBC=，则cos；
MD=DHcos∠MDH(m﹣1m1m+1)(﹣m1+4m)．
∵0，故DM有最大值；
②设点M、D的坐标分别为：(s，s﹣1)，(m，n)，nm1m﹣1；分三种情况讨论：
(Ⅰ)当∠CDM=90°时，如图1，
过点M作x轴的平行线交过点D与x轴的垂线于点F，交y轴于点E．
易证△MEC≌△DFM，
∴ME=FD，MF=CE，
即s﹣1﹣1=m﹣s，ss﹣1﹣n，
解得：s，或s=8(舍去)．
故点M(，)；
(Ⅱ)当∠MDC=90°时，如图3，过D作直线DE⊥y轴于E，MF⊥DE于F．
同理可得：s，或s=0(舍去)．
故点M(，)；
(Ⅲ)当∠MCD=90°时，
则直线CD的表达式为：y=﹣1x﹣1…②，
解方程组：
得：(舍去)或，
故点D(﹣1，0)，不在线段BC的下方，舍去．
综上所述：点M坐标为：(，)或(，)．
【点睛】
本题是二次函数的综合题．主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
23、（1）证明见解析；（2）3或．（3）或0＜
【分析】（1）根据矩形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；
（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：当 时，则得到四边形为矩形，从而求得的值；当时，再结合（1）中的结论，得到等腰．再根据等腰三角形的三线合一得到是的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．
（3）此题首先应针对点的位置分为两种大情况：①与AE相切，② 与线段只有一个公共点，不一定必须相切，只要保证和线段只有一个公共点即可．故求得相切时的情况和相交，但其中一个交点在线段外的情况即是的取值范围．
【详解】(1)证明：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC.
∴∠PAF=∠AEB.
又∵PF⊥AE，
∴△PFA∽△ABE.
(2)情况1,当△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB时，
则有PE∥AB
∴四边形ABEP为矩形，
∴PA=EB=3，即x=3.
情况2,当△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB时，
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF.
∴PE=PA.
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点，
即
∴满足条件的x的值为3或
(3) 或
【点睛】
两组角对应相等，两三角形相似.
24、（1）4；（2）y=2x＋π－4 (0＜x≤2＋4)
【分析】（1）根据圆周角定理得到△AOB是等边三角形，求出⊙O的半径；
（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H,先求出AH=BH=AB=2，再利用勾股定理得出OH的值，进而求解.
【详解】（1）解：（1）∵∠APB=30°，
∴∠AOB=60°，又OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴⊙O的半径是4；
（2）解：过点O作OH⊥AB，垂足为H
则∠OHA＝∠OHB＝90°
∵∠APB＝30°
∴∠AOB＝2∠APB＝60°
∵OA=OB，OH⊥AB
∴AH=BH=AB=2
在Rt△AHO中，∠AHO＝90°，AO＝4，AH＝2
∴OH＝＝2
∴y＝×16 π－×4×2＋×4×x
=2x＋π－4 (0＜x≤2＋4).
【点睛】
本题考查了圆周角定理，勾股定理、掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
25、（1）见解析；（2）圆O 的半径为1
【分析】（1）连结OC，由根据圆周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，则∠FAC=∠OCA，可判断OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到CD是⊙O的切线；
（2）连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得，在Rt△ACB中，利用含30度的直角三角形三边的关系得 AB=2BC=1，从而求出⊙O的半径．
【详解】解：（1）证明：连结OC，如图
∵弧FC=弧BC
∴∠FAC=∠BAC,
∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，
∴∠FAC=∠OCA，∴0C // AF，
∵CD⊥AF，∴0C⊥CD，
∴CD是圆O的切线；
（2）连结BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，∵，
∴∠BOC= ×110°=60°，∴∠BAC=30˚，
∴∠DAC=30˚，在RtΔADC中，CD=，
∴AC=2CD=，在RtΔACB中,BC=AC==1,
∴AB=2BC=16,∴圆O 的半径为1．
【点睛】
本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系．
26、（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3），图详见解析.
【分析】（1）利用已知条件易证，则有，，从而有，再利用直角三角形的斜边中线的性质即可得出结论；
（2）由已知条件易证，由全等三角形的性质证明，最后利用直角三角形的斜边中线的性质即可得出结论；
（3）由已知条件易证，由全等三角形的性质证明，最后利用等腰三角形的性质和特殊角的三角函数值即可求出答案.
【详解】（1）证明：，
又，
(ASA)
，
又，，
在中，
（2）成立，证明如下：
延长到，使，连接、、.
，，
、、
，，
，
在中，
（3）
论证过程中需要的辅助线如图所示
证明：延长GP到点E，使,连接DE，CE,CG,
∵
∴
∴
∵为等边三角形
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】
本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，解直角三角形等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
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