一维双原子链.ppt

5.1.3一维双原子链，光学支 实际应用的晶体材料大多是复式晶格，由于原子的多实际应用的晶体材料大多是复式晶格，由于原子的多样性或原子之间相互作用的多样性必然会导致晶体中原子样性或原子之间相互作用的多样性必然会导致晶体中原子振动的多样性，因此这种多样性应该会在晶格振动中表现振动的多样性，因此这种多样性应该会在晶格振动中表现出来，从而使得复式晶格振动的规律和特征与出来，从而使得复式晶格振动的规律和特征与Bravais晶晶格存在重大差别。所以，有必要进一步研究复式晶格中的格存在重大差别。所以，有必要进一步研究复式晶格中的晶格振动，以便揭示出晶格振动的普遍规律和特征。晶格振动，以便揭示出晶格振动的普遍规律和特征。下面，仍以一维为例，来进一步研究最简单的双原子下面，仍以一维为例，来进一步研究最简单的双原子复式晶格的振动。复式晶格的振动。1.运动方程与格波运动方程与格波 一维双原子复式晶格：一维双原子复式晶格：个由相距为个由相距为d d、质量分别为、质量分别为1 1和和2 2的两的两个原子所组成的基元以个原子所组成的基元以a a的间距周期性地排列在一条长为的间距周期性地排列在一条长为L=NaL=Na的直的直线段上线段上 作为初步研究的起点，采用作为初步研究的起点，采用相邻作用近似相邻作用近似和和简谐近似简谐近似，将一维，将一维双原子复式晶格中的原子双原子复式晶格中的原子简化为用原长分别为简化为用原长分别为d和和a-d、弹性系数分、弹性系数分别为别为 、数目各、数目各N个的两个的两种小球相间地逐个串结成直线段种小球相间地逐个串结成直线段，如下图所示，如下图所示的两种弹簧把质量分别为的两种弹簧把质量分别为第第n个初基元胞个初基元胞 平衡位置为平衡位置为t时刻偏离平衡位置的位移为时刻偏离平衡位置的位移为 所受力为所受力为 平衡位置为平衡位置为所受力为所受力为 t时刻偏离平衡位置的位移为时刻偏离平衡位置的位移为 运用运用Newton第二定律，可得在相邻作用近似和简谐近似下一维第二定律，可得在相邻作用近似和简谐近似下一维双原子复式晶格的双原子复式晶格的晶格振动方程晶格振动方程 一维双原子复式晶格所具有的一维双原子复式晶格所具有的平移对称性平移对称性,使得晶体中使得晶体中一个原子一个原子的振动位移与平衡位置相距为的振动位移与平衡位置相距为na的其它等同原子的振动位移以一系的其它等同原子的振动位移以一系列特定的用简约波矢来标记的可能相位因子彼此关联列特定的用简约波矢来标记的可能相位因子彼此关联：若一维双原子复式晶格中第若一维双原子复式晶格中第n个初基元胞内平衡位置为个初基元胞内平衡位置为 的原子的振动位移与其它等同原子的振动位移以一个用特定波矢的原子的振动位移与其它等同原子的振动位移以一个用特定波矢 标记的确定相位因子相关联，则将其振动位移函数表示成标记的确定相位因子相关联，则将其振动位移函数表示成 于是有：于是有：代入晶格振动方程代入晶格振动方程，可得，可得为了解为了解 得得可设可设 即即 于是得到于是得到 可转化为可转化为一个二阶常微分方程一个二阶常微分方程和和一个齐次代数方程组一个齐次代数方程组先求解齐次代数方程组：先求解齐次代数方程组：必有非零解，故系数行列式应为零必有非零解，故系数行列式应为零 由此可得由此可得和和表明：表明：相应于一维双原子复式晶格中两种不同的原子和原子之间相相应于一维双原子复式晶格中两种不同的原子和原子之间相互作用的两种不同情况互作用的两种不同情况，晶体中的原子振动呈现出两种不同的色散，晶体中的原子振动呈现出两种不同的色散关系关系。代入齐次代数方程组，代入齐次代数方程组，表明：表明：原子的振动可以有任意的复振幅，但同一初基元胞中两种原原子的振动可以有任意的复振幅，但同一初基元胞中两种原子的复振幅比值是确定的，即振幅比和相位差是确定的子的复振幅比值是确定的，即振幅比和相位差是确定的。可得可得代入二阶常微分方程代入二阶常微分方程，若简谐振动采用复指数函数的形式则得若简谐振动采用复指数函数的形式则得 因此，一维双原子复式晶格中相应于波矢因此，一维双原子复式晶格中相应于波矢 的原子振动位移函数为的原子振动位移函数为 表明：表明：一维双原子复式晶格中共同参与一个频率为一维双原子复式晶格中共同参与一个频率为 的简正的简正振动的所有等价原子，由于晶体所具有的平移对称性，使得他们的振动的所有等价原子，由于晶体所具有的平移对称性，使得他们的简谐振动彼此以波矢为简谐振动彼此以波矢为、频率为、频率为 的平面简谐波相关联。的平面简谐波相关联。这个平面简谐波，就是一维双原子复式晶格振动的一个这个平面简谐波，就是一维双原子复式晶格振动的一个格波格波。2.声学支格波和光学支格波声学支格波和光学支格波由于存在着两种不同的原子和两种由于存在着两种不同的原子和两种不同的原子之间相互作用，一维双不同的原子之间相互作用，一维双原子复式晶格振动呈现出两种不同原子复式晶格振动呈现出两种不同的色散关系的色散关系 与一维与一维Bravais 晶格振动不同的是，晶格振动不同的是，格波的频率或者说原子做简正振动的频率局限在两个频率范围内格波的频率或者说原子做简正振动的频率局限在两个频率范围内或或 表明：一维双原子复式晶格有一种表明：一维双原子复式晶格有一种带通滤波带通滤波的作用，频率不在这两的作用，频率不在这两个频率范围内的机械波将剧烈衰减很快消失，只有频率在这两个频个频率范围内的机械波将剧烈衰减很快消失，只有频率在这两个频率范围内的机械波才能通过晶体传播。率范围内的机械波才能通过晶体传播。相应于两种不同的色散关系，一维双原子复式晶格中分成了两支不相应于两种不同的色散关系，一维双原子复式晶格中分成了两支不同的格波，每支格波由同的格波，每支格波由N个波矢（指简约波矢）不同的格波所成。个波矢（指简约波矢）不同的格波所成。在长波情况下（在长波情况下（），这两支格波分别有着不同的重要作用。），这两支格波分别有着不同的重要作用。长波极限长波极限：即得一级近似式为即得一级近似式为质量密度为质量密度为 弹性模量为弹性模量为 由此可见由此可见 此时格波的频率很低，可以用超声波来激发。因此，由此时格波的频率很低，可以用超声波来激发。因此，由N个波矢不个波矢不同的格波所组成的这支格波，通常称为同的格波所组成的这支格波，通常称为声学支格波声学支格波或或声学波声学波，其色，其色散关系常常记为散关系常常记为，即，即 ，对应，对应于远红外光波。实验中发现，于远红外光波。实验中发现，离子晶体离子晶体中此频率的格波能与入射的中此频率的格波能与入射的远红外光波共振而导致对远红外光波的强烈吸收远红外光波共振而导致对远红外光波的强烈吸收。或或即一级近似式为即一级近似式为在实际晶体材料中，在实际晶体材料中，值的量级约为值的量级约为 因此，因此，由由N个波个波矢不同的格波所组成的这支格波，通常称为矢不同的格波所组成的这支格波，通常称为光学支格波光学支格波或或光学波光学波，其色散关系常常记为其色散关系常常记为，即，即 综上所述，综上所述，相应于两种格波色散关系，一维双原子复式晶格中相应于两种格波色散关系，一维双原子复式晶格中分成了声学支格波和光学支格波，每支格波均由分成了声学支格波和光学支格波，每支格波均由N个波矢不同的格个波矢不同的格波所组成。波所组成。因此有因此有 3.格波与原子振动格波与原子振动曾经指出：同一初基元胞中两种原子的振幅比和相位差是确定的曾经指出：同一初基元胞中两种原子的振幅比和相位差是确定的 显然，这种振幅比值及相位差值，对于声学支格波和光学支格显然，这种振幅比值及相位差值，对于声学支格波和光学支格波是不相同的。波是不相同的。这表明：这表明：对于这两支不同的格波，同一初基元胞中对于这两支不同的格波，同一初基元胞中两种原子运动的相对情况是不一样的两种原子运动的相对情况是不一样的。下面，就通过长波极限这一极端情况来初步认识相应于这两支下面，就通过长波极限这一极端情况来初步认识相应于这两支不同的格波同一初基元胞中两种原子运动的相对情况。不同的格波同一初基元胞中两种原子运动的相对情况。长波极限：长波极限：对于声学支格波有对于声学支格波有 则可得则可得表明：表明：相应于声学支格波同一初基元胞中两种原子的振动相位相同，相应于声学支格波同一初基元胞中两种原子的振动相位相同，声学支格波反映初基元胞中两种原子的质心运动声学支格波反映初基元胞中两种原子的质心运动，如，如a图。图。对于光学支格波有：对于光学支格波有：则可得则可得即即 即即 表明：表明：相应于光学支格波同一初基元胞中两种原子的振动相位相反相应于光学支格波同一初基元胞中两种原子的振动相位相反且质心静止不动，光学支格波反映了初基元胞中两种原子的相对运且质心静止不动，光学支格波反映了初基元胞中两种原子的相对运动动，如图，如图b图所示图所示 一维双原子复式晶格中一维双原子复式晶格中2N个原子的振动，在相邻作用近似和简谐近个原子的振动，在相邻作用近似和简谐近似下可等效为由似下可等效为由2N个简正坐标所描述的个简正坐标所描述的2N个简正振动。个简正振动。的简正振动的所有等同原子的简谐振动彼此以一个波矢为的简正振动的所有等同原子的简谐振动彼此以一个波矢为一维双原子复式晶格具有的平移对称性一维双原子复式晶格具有的平移对称性,使得共同参与一个频率使得共同参与一个频率 为为 综上所述综上所述：频率为频率为 的格波相关联的格波相关联 2N个不同的简正振动，对应于个不同的简正振动，对应于2N个不同的格波个不同的格波一维双原子复式晶格中存在着两种不同的原子和两种不同的原子之一维双原子复式晶格中存在着两种不同的原子和两种不同的原子之间相互作用，使得一维双原子复式晶格中的间相互作用，使得一维双原子复式晶格中的2N个格波分成声学支格个格波分成声学支格波和光学支格波这两支不同的格波，每支格波均由具有相同色散关波和光学支格波这两支不同的格波，每支格波均由具有相同色散关系的系的N个波矢不同的格波所组成。声学支格波反映了初基元胞中两个波矢不同的格波所组成。声学支格波反映了初基元胞中两种原子的质心运动，光学支格波反映了初基元胞中两种原子的相对种原子的质心运动，光学支格波反映了初基元胞中两种原子的相对运动。运动。每一个原子同时参与这每一个原子同时参与这2N个简正振动，原子的实际振动位移是其所个简正振动，原子的实际振动位移是其所参与的所有简正振动的振动位移的叠加参与的所有简正振动的振动位移的叠加 这对一维双原子复式晶格中所有这对一维双原子复式晶格中所有2N个原子而言，相当于晶体中所有个原子而言，相当于晶体中所有2N个格波的叠加。个格波的叠加。动画动画5.1.31 一维双原子复式晶格中的原子振动与格波一维双原子复式晶格中的原子振动与格波例题例题 一维复式格子中，如果一维复式格子中，如果计算计算1)光光学学波波频频率率的的最最大大值值 和和最最小小值值 ，声声学学波波频频率率的的最最大值大值 ；2)相应声子的能量相应声子的能量 ,和和 ；3)在在T=300K下，三种声子数目各为多少？下，三种声子数目各为多少？4)如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波波长在如果用电磁波激发光学波，要激发的声子所用的电磁波波长在什么波段？什么波段？1)声学波的最大频率声学波的最大频率光学波的最大频率光学波的最大频率光学波的最小频率光学波的最小频率2 2）相应声子的能量）相应声子的能量3)3)某一特定谐振子具有激发能某一特定谐振子具有激发能的几率的几率根据归一化条件根据归一化条件归一化常数归一化常数频率为频率为 谐振子的平均能量谐振子的平均能量频率为频率为 谐振子的能量谐振子的能量第第i i个个q q态的平均数声子态的平均数声子光学波频率的声子数目光学波频率的声子数目声学波频率的声子数目声学波频率的声子数目4）如如果果用用电电磁磁波波激激发发光光学学波波，要要激激发发 的的声声子子所所用用的的电电磁磁波波波波长在什么波段？长在什么波段？对应电磁波的能量和波长对应电磁波的能量和波长 要激发的声子所用的电磁波波长在近红外线波段要激发的声子所用的电磁波波长在近红外线波段（Near Infrared）(NIR)此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！