资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
请考生注意：
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（ ）
A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定
2．下列计算，正确的是（ ）
A．a2·a3=a6 B．3a2-a2=2 C．a8÷a2=a4 D．(a2)3=a6
3．将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为（ ）.
A．； B．；
C．； D．.
4．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ）
A．且 B． C． D．
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，若AC=3，AB=5，则CE的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是圆内接四边形的一条对角线，点关于的对称点在边上，连接．若，则的度数为（ ）
A．106° B．116° C．126° D．136°
7．下列说法正确的是( )
A．对应边都成比例的多边形相似 B．对应角都相等的多边形相似
C．边数相同的正多边形相似 D．矩形都相似
8．下列事件是必然事件的是( )
A．打开电视播放建国70周年国庆阅兵式
B．任意翻开初中数学书一页，内容是实数练习
C．去领奖的三位同学中，其中有两位性别相同
D．食用保健品后长生不老
9．如图，从一张腰长为，顶角为的等腰三角形铁皮中剪出一个最大的扇形，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
10．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是( )
A．4 B．5 C．6 D．8
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．若，则______.
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若∠CDB＝30°，⊙O的半径为5cm则圆心O到弦CD的距离为_____．
13．如图，正方形中，点为射线上一点，，交的延长线于点，若，则______
14．在一个不透明的袋子中只装有n个白球和2个红球，这些球除颜色外其他均相同．如果从袋子中随机摸出一个球，摸到红球的概率是，那么n的值为___．
15．方程的解是________．
16．将抛物线向左平移3个单位，再向下平移2个单位，则得到的抛物线解析式是________.（结果写成顶点式）
17．已知一个圆锥底面圆的半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为_____cm1．（结果保留π）
18．已知﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c=0的一个根，则方程的另一个根是_____
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD．已知∠CAD=∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线．
（2）若BC=8，tanB=，求CD的长．
20．（6分）一位橄榄球选手掷球时，橄榄球从出手开始行进的高度与水平距离之间的关系如图所示，已知橄榄球在距离原点时，达到最大高度，橄榄球在距离原点13米处落地，请根据所给条件解决下面问题：
（1）求出与之间的函数关系式；
（2）求运动员出手时橄榄球的高度．
21．（6分）已知关于的一元二次方程．
（1）请判断是否可为此方程的根，说明理由．
（2）是否存在实数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
22．（8分）在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于，两点，点坐标为(－3，2)，点坐标为(n，－3).
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)如果点是轴上一点，且的面积是5，求点的坐标.
(3)利用函数图象直接写出关于x的不等式的解集．
23．（8分）解答下列各题：
（1）计算：2cos31°﹣tan45°﹣；
（2）解方程：x2﹣11x+9＝1．
24．（8分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x（2x﹣5）＝4x﹣1．
（2）x2+5x﹣4＝2．
25．（10分）在平面直角坐标系中，己知，．点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边内点以的速度移动．如果、同时出发，用表示移动的时间．
（1）用含的代数式表示：线段_______；______；
（2）当为何值时，四边形的面积为．
（3）当与相似时，求出的值．
26．（10分）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO=，BO：CO=1：3，求AB的长．
经过社团成员讨论发现，过点B作BD∥AC，交AO的延长线于点D，通过构造△ABD就可以解决问题（如图2）．
请回答：∠ADB= °，AB= ．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图3，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥AD，AO=，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求DC的长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】试题分析：设ax2+bx+c=1（a≠1）的两根为x1，x2，由二次函数的图象可知x1+x2＞1，a＞1，设方程ax2+（b﹣）x+c=1（a≠1）的两根为a，b再根据根与系数的关系即可得出结论．
设ax2+bx+c=1（a≠1）的两根为x1，x2， ∵由二次函数的图象可知x1+x2＞1，a＞1， ∴﹣＞1．
设方程ax2+（b﹣）x+c=1（a≠1）的两根为a，b，则a+b=﹣=﹣+， ∵a＞1， ∴＞1，
∴a+b＞1．
考点：抛物线与x轴的交点
2、D
【分析】按照整式乘法、合并同类项、整式除法、幂的乘方依次化简即可得到答案.
【详解】A. a2·a3=a5，故该项错误；
B. 3a2-a2=2a2，故该项错误；
C. a8÷a2=a6，故该项错误；
D. (a2)3=a6正确，
故选：D.
【点睛】
此题考查整式的化简计算，熟记整式乘法、合并同类项、整式除法、幂的乘方的计算方法即可正确解答.
3、B
【分析】根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式.
【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为，
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键.
4、A
【分析】根据题意可得k满足两个条件，一是此方程是一元二次方程，所以二次项系数k不等于0，二是方程有两个不相等的实数根，所以b2-4ac>0，根据这两点列式求解即可.
【详解】解：根据题意得，
k≠0,且(-6)2-36k>0,
解得，且.
故选：A.
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义及利用一元二次方程根的情况确定字母系数的取值范围，根据需满足定义及根的情况列式求解是解答此题的重要思路.
5、A
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【详解】过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴，∵FC=FG，∴，解得：FC=，即CE的长为．故选A．
【点睛】
本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出∠CEF=∠CFE．
6、B
【解析】根据圆的内接四边形对角互补，得出∠D的度数，再由轴对称的性质得出∠AEC的度数即可．
【详解】解：∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠D=180°-∠ABC=180°-64°=116°，
∵点D关于的对称点在边上，
∴∠D=∠AEC=116°，
故答案为B．
【点睛】
本题考查了圆的内接四边形的性质及轴对称的性质，解题的关键是熟知圆的内接四边形对角互补及轴对称性质．
7、C
【解析】试题分析：根据相似图形的定义，对选项一一分析，排除错误答案．
解：A、对应边都成比例的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；
B、对应角都相等的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；
C、边数相同的正多边形，形状相同，但大小不一定相同，故正确；
D、矩形属于形状不唯一确定的图形，故错误．
故选C．
考点：相似图形．
点评：本题考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形．
8、C
【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可．
【详解】A. 打开电视播放建国70周年国庆阅兵式是随机事件，故不符合题意；
B. 任意翻开初中数学书一页，内容是实数练习是随机事件，故不符合题意；
C. 去领奖的三位同学中，其中有两位性别相同是必然事件，符合题意；
D. 食用保健品后长生不老是不可能事件，故不符合题意；
故选C.
【点睛】
本题考查的是事件的分类，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件．
9、A
【分析】根据等腰三角形的性质得到的长，再利用弧长公式计算出弧的长，设圆锥的底面圆半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长可得到．
【详解】过作于，
，
，
，
弧的长，
设圆锥的底面圆的半径为，则，解得．
故选A．
【点睛】
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
10、C
【分析】根据垂径定理得出BC=AB，再根据勾股定理求出OC的长：
【详解】∵OC⊥AB，AB=16，∴BC=AB=1．
在Rt△BOC中，OB=10，BC=1，
∴．故选C．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】利用“设法”表示出，然后代入等式，计算即可．
【详解】设，
则：，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了比例的性质，利用“设法”表示出是解题的关键．
12、2.5cm．
【分析】根据圆周角定理得到∠COB=2∠CDB=60°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出OE即可．
【详解】∵CD⊥AB，
∴∠OEC＝90°，
∵∠COB＝2∠CDB＝2×30°＝60°，
∴OE＝OC＝×5＝2.5，
即圆心O到弦CD的距离为2.5cm．
故答案为2.5cm．
【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
13、
【分析】连接AC交BD于O，作FG⊥BE于G，证出△BFG是等腰直角三角形，得出BG=FG=BF=，由三角形的外角性质得出∠AED=30°，由直角三角形的性质得出OE=OA，求出∠FEG=60°，∠EFG=30°,进而求出OA的值，即可得出答案.
【详解】连接AC交BD于O，作FG⊥BE于G，如图所示
则∠BGF=∠EGF=90°
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，∠ADB=∠CBG=45°
∴△BFG是等腰直角三角形
∴BG=FG=BF=
∵∠ADB=∠EAD+∠AED，∠EAD=15°
∴∠AED=30°
∴OE=OA
∵EF⊥AE
∴∠FEG=60°
∴∠EFG=30°
∴EG=FG=
∴BE=BG+EG=
∵OA+AO=
解得：OA=
∴AB=OA=
故答案为
【点睛】
本题考查了正方形和等腰直角三角形的性质，综合性较强，需要熟练掌握相关性质.
14、1．
【分析】根据概率公式得到 ，然后利用比例性质求出n即可．
【详解】根据题意得，
解得n＝1，
经检验：n＝1是分式方程的解，
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
15、 .
【分析】方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验得到分式方程的解.
【详解】去分母得：，
解得:，
经检验是的根，
所以，原方程的解是：.
故答案是为：
【点睛】
本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
16、
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线y=x2向左平移3个单位后所得直线解析式为：y=(x+3)2；
再向下平移2个单位为：．
故答案为：
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
17、60π
【解析】试题分析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.
由题意得圆锥的母线长
∴圆锥的侧面积．
考点：勾股定理，圆锥的侧面积
点评：解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积底面半径×母线.
18、2．
【解析】设另一个根为t，根据根与系数的关系得到3+t=4，然后解一次方程即可．
【详解】设另一个根为t，
根据题意得3+t=4，
解得t=2，
则方程的另一个根为2．
故答案为2．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x2，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x2+x2=-，x2x2=．
三、解答题(共66分)
19、（1）详见解析；（2）2
【分析】（1）连接OD，证明∠ODB+∠ADC=90°，即可得到结论；
（2）利用锐角三角函数求出AC=4，再利用锐角三角函数求出CD.
【详解】（1）连接OD，
∵∠C=90°，∠CAD=∠B，
∴∠CAD+∠ADC=∠B+∠ADC=90°，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠B，
∴∠ODB+∠ADC=90°，
∴∠ADO=90°，
即OD⊥AD，
∴AD是⊙O的切线；
（2）在Rt△ABC中，BC=8，tanB=，
∴AC==4，
∵∠CAD=∠B，
∴，
∴CD=2.
【点睛】
此题考查同圆的半径相等的性质，圆的切线的判定定理，利用锐角三角函数解直角三角形，正确理解题意是解题的关键.
20、（1）（2）
【分析】（1）由题意知：抛物线的顶点坐标设二次函数的解析式为
把代入即可得到答案，
（2）令求解的值即可．
【详解】解：（1）由题意知：抛物线的顶点为：
设二次函数的解析式为
把代入
解得：
则二次函数的解析式为：
（2）由题意可得：当
运动员出手时橄榄球的高度米．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握顶点式法求函数解析式是解题的关键．
21、（1）不是此方程的根，理由见解析；（2）存在，或
【分析】（1）将代入一元二次方程中，得到一个关于p的一元二次方程，然后用根的判别式验证关于p的一元二次方程是否存在实数根即可得出答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可知，，然后代入到中，解一元二次方程，若有解，则存在这样的p,反之则不存在．
【详解】（1）若是方程的根，
则．
，
∴不是此方程的根．
（2）存在实数，使得成立．
∵,且．
∴即．
∴
∴存在实数，当或时，成立
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
22、（1）一次函数表达式为y＝－x－1；反比例函数表达式为y＝－；（2）点P的坐标是(－3，0)或(1，0)；（3）-3＜x＜0或x＞0
【分析】(1)将A坐标代入双曲线解析式中求出m的值，确定出双曲线的解析式，再将A与B坐标代入一次函数解析式中求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）求得直线与x轴的交点是(－1，0)，设点P的坐标是(a，0)，则的底为|a＋1|，利用三角形面积公式即可求得点P的坐标；
(3)根据一次函数与反比例函数的两交点A与B的横坐标以及0，将x轴分为四个范围，找出反比例图象在一次函数图象上方时x的范围即可．
【详解】(1)∵双曲线 (m≠0)过点A(－3，2)，
∴m＝－3×2＝－6，
∴反比例函数表达式为.
∵点B(n，－3)在反比例函数的图象上，
∴n＝2，B(2，－3).
∵点A(－3，2)与点B(2，－3)在直线y＝kx＋b上，
∴解得
∴一次函数表达式为y＝－x－1；
(2)如解图，在x轴上任取一点P，连接AP，BP，由(1)知点B的坐标是(2，－3).
在y＝－x－1中令y＝0，解得x＝－1，则直线与x轴的交点是(－1，0).
设点P的坐标是(a，0).
∵△ABP的面积是5，
∴·|a＋1|·(2＋3)＝5，
则|a＋1|＝2，
解得a＝－3或1.
则点P的坐标是(－3，0)或(1，0).
(3) 根据图象得： -3＜x＜0或x＞0
【点睛】
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用了待定系数法及数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
23、（1）1；（2）x1=1，x2=2．
【分析】（1）利用特殊角的三角函数值得到原式=2×﹣1﹣（﹣1），然后进行二次根式的混合运算；
（2）利用因式分解法解方程．
【详解】（1）原式=2×﹣1﹣（﹣1）
=﹣1﹣+1
=1；
（2）（x﹣1）（x﹣2）=1，
x﹣1=1或x﹣2=1，
∴方程的解为x1=1，x2=2．
【点睛】
此题主要考查锐角三角函数相关计算以及一元二次方程的求解，熟练掌握，即可解题.
24、（1）x＝2.5或x＝2；（2）x＝．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用公式法求解可得．
【详解】解：（1）∵x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝2，
∴（2x﹣5）（x﹣2）＝2，
则2x﹣5＝2或x﹣2＝2，
解得x＝2.5或x＝2；
（2）∵a＝1，b＝5，c＝﹣4，
∴△＝52﹣4×1×（﹣4）＝41＞2，
则x＝．
【点睛】
本题考查因式分解法、公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握因式分解法、公式法解一元二次方程.
25、（1）2t，(5﹣t)；（2）t=2或3；（3）t或1．
【分析】（1）根据路程=速度×时间可求解；
（2）根据S四边形PABQ=S△ABO﹣S△PQO列出方程求解；
（3）分或两种情形列出方程即可解决问题．
【详解】（1）OP=2tcm，OQ=(5﹣t)cm．
故答案为：2t，(5﹣t)．
（2）∵S四边形PABQ=S△ABO﹣S△PQO，
∴1910×52t×(5﹣t)，
解得：t=2或3，
∴当t=2或3时，四边形PABQ的面积为19cm2．
（3）∵△POQ与△AOB相似，∠POQ=∠AOB=90°，
∴或．
①当，则，
∴t，
②当时，则，
∴t=1．
综上所述：当t或1时，△POQ与△AOB相似．
【点睛】
本题是相似综合题，考查相似三角形的判定和性质、坐标与图形的性质、三角形的面积等知识，解答本题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26、（1）75；4；（2）CD=4．
【分析】（1）根据平行线的性质可得出∠ADB=∠OAC=75°，结合∠BOD=∠COA可得出△BOD∽△COA，利用相似三角形的性质可求出OD的值，进而可得出AD的值，由三角形内角和定理可得出∠ABD=75°=∠ADB，由等角对等边可得出AB=AD=4，此题得解；
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，同（1）可得出AE=4，在Rt△AEB中，利用勾股定理可求出BE的长度，再在Rt△CAD中，利用勾股定理可求出DC的长，此题得解．
【详解】解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB=∠OAC=75°．
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴．
又∵AO=3，
∴OD=AO=，
∴AD=AO+OD=4．
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，
∴AB=AD=4．
（2）过点B作BE∥AD交AC于点E，如图所示．
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC=∠BEA=90°．
∵∠AOD=∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴．
∵BO：OD=1：3，
∴．
∵AO=3，
∴EO=，
∴AE=4．
∵∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，AB=AC，
∴AB=2BE．
在Rt△AEB中，BE2+AE2=AB2，即（4）2+BE2=（2BE）2，
解得：BE=4，
∴AB=AC=8，AD=1．
在Rt△CAD中，AC2+AD2=CD2，即82+12=CD2，
解得：CD=4．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质求出OD的值；（2）利用勾股定理求出BE、CD的长度．
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