资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，已知AD＝2，BC＝5，则AB＋CD的值是
A．14 B．12 C．9 D．7
2．如图，交于点，切于点，点在上. 若，则为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，二次函数的图象经过点，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．图象的对称轴是直线
4．在x2□2xy□y2的空格□中,分别填上“+”或“-”,在所得的代数式中,能构成完全平方式的概率是( )
A．1 B． C． D．
5．对于实数，定义运算“*”；关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．关于的一元二次方程有一个根是﹣1，若二次函数的图象的顶点在第一象限，设，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．一元二次方程x2－8x－1=0配方后为( )
A．(x－4)2=17 B．(x＋4)2=15
C．(x＋4)2=17 D．(x－4)2=17或(x＋4)2=17
8．如图，等边△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC中点，点M在CB的延长线上，△DMN为等边三角形，且EN经过F点.下列结论：①EN=MF ②MB=FN ③MP·DP=NP·FP ④MB·BP=PF·FC，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．若将抛物线y＝2（x+4）2﹣1平移后其顶点落y在轴上，则下面平移正确的是（ ）
A．向左平移4个单位 B．向右平移4个单位
C．向上平移1个单位 D．向下平移1个单位
10．下列函数是二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝ C．y＝（x﹣1）（x+3） D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴相交于点，其顶点为，将这条抛物线绕点旋转后得到的抛物线与轴的负半轴相交于点，其顶点为，连接，，，，则四边形的面积为__________；
12．抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标为_____．
13．若是方程的一个根．则的值是________．
14．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90º，∠BAC=30º，BC=4，将Rt△ABC绕A点顺时针旋转90º得到Rt△ADE，则BC扫过的阴影面积为___．
15．已知某二次函数图像的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：_______．
16．如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 (结果保留π).
17．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD＝4，BC＝8，BD：DC＝5：3，则DE的长等于__________________．
18．如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，将△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到△ADE，当点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是圆周上一点，连接AC、BC，以点C为端点作射线CD、CP分别交线段AB所在直线于点D、P，使∠1＝∠2＝∠A．
（1）求证：直线PC是⊙O的切线；
（2）若CD＝4，BD＝2，求线段BP的长．
20．（6分）已知二次函数y＝2x2+4x+3，当﹣2≤x≤﹣1时，求函数y的最小值和最大值，如图是小明同学的解答过程．你认为他做得正确吗？如果正确，请说明解答依据，如果不正确，请写出你得解答过程．
21．（6分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD⊥DC于D，且AC平分∠DAB．延长DC交AB的延长线于点P．
（1）求证：PC2＝PA•PB；
（2）若3AC＝4BC，⊙O的直径为7，求线段PC的长．
22．（8分）大学生小李和同学一起自主创业开办了一家公司，公司对经营的盈亏情况在每月的最后一天结算一次.在1－12月份中，该公司前x个月累计获得的总利润y（万元）与销售时间x（月）之间满足二次函数关系.
（1）求y与x函数关系式.
（2）该公司从哪个月开始“扭亏为盈”（当月盈利）? 直接写出9月份一个月内所获得的利润.
（3）在前12 个月中，哪个月该公司所获得利润最大？最大利润为多少？
23．（8分）富平因取“富庶太平”之意而得名，是华夏文明重要发祥地之一.某班举行关于“美丽的富平”的演讲活动.小明和小丽都想第一个演讲，于是他们通过做游戏来决定谁第一个来演.讲游戏规则是：在一个不透明的袋子中有一个黑球a和两个白球b、c，(除颜色外其它均相同)，小丽从袋子中摸出一个球，放回后搅匀，小明再从袋子中摸出一个球，若两次摸到的球颜色相同，则小丽获胜，否则小明获胜，请你用树状图或列表的方法分别求出小丽与小明获胜的概率，并说明这个游戏规则对双方公平吗？
24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（3，3），点B（4，0），点C（0，﹣1）．
（1）以点C为中心，把△ABC逆时针旋转90°，请在图中画出旋转后的图形△A′B′C，点B′的坐标为________；
（2）在（1）的条件下，求出点A经过的路径的长（结果保留π）．
25．（10分）计算：
26．（10分）如图1，点A(0，8)、点B(2，a)在直线y＝﹣2x+b上，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点B．
(1)求a和k的值；
(2)将线段AB向右平移m个单位长度(m＞0)，得到对应线段CD，连接AC、BD．
①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求E点的坐标；
②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是等腰三形，求所有满足条件的m的值.
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据切线长定理，可以证明圆的外切四边形的对边和相等，由此即可解决问题．
【详解】∵AB、BC、CD、DA都是⊙O的切线，
∴可以假设切点分别为E、H、G、F，
∴AF＝AE，BE＝BH，CH＝CG，DG＝DF，
∴AD＋BC＝AF＋DF＋BH＋CH＝AE＋BE＋DG＋CG＝AB＋CD，
∵AD＝2，BC＝5，
∴AB＋CD＝AD＋BC＝7，
故选D.
【点睛】
本题考查切线的性质、切线长定理等知识，解题的关键是证明圆的外切四边形的对边和相等，属于中考常考题型．
2、B
【分析】根据切线的性质得到∠ODA=90，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．
【详解】∵AD切⊙O于点D，
∴OD⊥AD，
∴∠ODA=90，
∵∠A=40，
∴∠DOA=90-40=50，
由圆周角定理得，∠BCD=∠DOA=25°，
故选：B．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
3、D
【分析】根据二次函数的图像与性质即可求解.
【详解】由图象可知图象与y轴交点位于y轴正半轴，故c>0. A选项错误；
函数图象与x轴有两个交点，所以＞0，B选项错误；
观察图象可知x＝－1时y=a－b＋c＞0，所以a－b＋c＞0，C选项错误；
根据图象与x轴交点可知，对称轴是（1,0）.（5,0）两点的中垂线，，
x＝3即为函数对称轴，D选项正确；
故选D
【点睛】
此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数的图像.
4、C
【解析】能够凑成完全平方公式，则2xy前可是“－”，也可以是“＋”，但y2前面的符号一定是：“＋”，此题总共有(－，－)、(＋，＋)、(＋，－)、(－，＋)四种情况，能构成完全平方公式的有2种，所以概率为： .
故答案为C
点睛：让填上“＋”或“－”后成为完全平方公式的情况数除以总情况数即为所求的概率.
此题考查完全平方公式与概率的综合应用，注意完全平方公式的形式.用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比.
5、C
【分析】设，根据定义得到函数解析式，由方程的有三个不同的解去掉函数图象与直线y=t的交点有三个，即可确定t的取值范围.
【详解】设，由定义得到
，
∵方程恰好有三个不相等的实数根，
∴函数的图象与直线y=t有三个不同的交点，
∵的最大值是
∴若方程恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是，
故选：C.
【点睛】
此题考查新定义的公式，抛物线与直线的交点与方程的解的关系，正确理解抛物线与直线的交点与方程的解的关系是解题的关键.
6、D
【分析】二次函数的图象过点，则，而，则，，二次函数的图象的顶点在第一象限，则，，即可求解．
【详解】∵关于的一元二次方程有一个根是﹣1，
∴二次函数的图象过点，
∴，
∴，，
则，，
∵二次函数的图象的顶点在第一象限，
∴，，
将，代入上式得：
，解得：，
，解得：或，
故：，
故选D．
【点睛】
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用
7、A
【解析】x2－8x－1=0，移项，得x2－8x=1，配方，得x2－8x+42=1+42，即（x－4）2=17.
故选A.
点睛：配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
8、C
【分析】①连接DE、DF，根据等边三角形的性质得到∠MDF=∠NDE，证明△DMF≌△DNE，根据全等三角形的性质证明；
②根据①的结论结合点D、E、F分别是AB、AC、BC中点，即可得证；
③根据题目中的条件易证得，即可得证；
④根据题目中的条件易证得，再则等量代换，即可得证．
【详解】连接，
∵和为等边三角形，
∴，，
∵点分别为边的中点，
∴是等边三角形，
∴，，
∵
∴，
在和中，，
∴，
∴，
故①正确；
∵点分别为等边三角形三边的中点，
∴四边形为菱形，
∴，
∵，
∴，
故②正确；
∵点分别为等边三角形三边的中点，
∴∥，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故③错误；
∵点分别为等边三角形三边的中点，
∴∥，，
∴，
∴，
由②得，
∴，
∴，
故④正确；
综上：①②④共3个正确.
故选：C
【点睛】
本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理结合等量代换是解题的关键．
9、B
【分析】抛物线y＝2（x+4）2﹣1的顶点坐标为（﹣4，﹣1），使平移后的函数图象顶点落在y轴上，则原抛物线向右平移4个单位即可．
【详解】依题意可知，原抛物线顶点坐标为（﹣4，﹣1），平移后抛物线顶点坐标为（0，t）（t为常数），则原抛物线向右平移4个单位即可．
故选：B．
【点睛】
此题考察抛物线的平移规律，根据规律“自变量左加右减，函数值上加下减”得到答案.
10、C
【分析】根据二次函数的定义作出判断．
【详解】解：A、该函数属于一次函数，故本选项错误；
B、该函数未知数在分母位置，不符合二次函数的定义，故本选项错误；
C、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确；
D、该函数只有一个变量不符合二次函数的定义，故本选项错误；
故选：C．
【点睛】
此题考查的是二次函数的判断,掌握二次函数的定义是解决此题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、32
【分析】利用抛物线的解析式算出M的坐标和A的坐标,根据对称算出B和N的坐标,再利用两个三角形的面积公式计算和即可.
【详解】∵,
∴M(2,-4),
令,解得x1=0,x2=4,
∴A(0,4),
∵B,N分别关于原点O的对称点是A,M,
∴B(-4,-0),N(-2,4),
∴AB=8,
∴四边形AMBN的面积为:2S△ABM=,
故答案为:32.
【点睛】
本题考查二次函数的性质,关键在于利用对称性得出坐标点.
12、（﹣2，1）
【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
【详解】由抛物线的顶点坐标可知，抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（﹣2，1）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标．
13、
【解析】根据一元二次方程的解的定义,将x=2代入已知方程,列出关于q的新方程,通过解该方程即可求得q的值.
【详解】∵x=2是方程x²-3x+q=0的一个根,
∴x=2满足该方程,
∴2²-3×2+q=0,
解得,q=2.
故答案为2.
【点睛】
本题考查了方程的解的定义.一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立.
14、4π
【分析】先利用含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=8，AC=BC=，再根据旋转的性质得到∠CAE=∠BAD=90°，然后根据扇形的面积公式，利用BC扫过的阴影面积=S扇形BAD-S△CAE进行计算．
【详解】解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=8，AC=BC=4，
∵Rt△ABC绕A点顺时针旋转90°得到Rt△ADE，
∴∠CAE=∠BAD=90°，
∴BC扫过的阴影面积=S扇形BAD-S△CAE
=．
故答案为：4π．
【点睛】
本题考查了扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=或S扇形=（其中l为扇形的弧长）；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了旋转的性质．
15、等
【解析】根据二次函数的图象最高点是坐标原点，可以得到a＜0，b=0，c=0，所以解析式满足a＜0，b=0，c=0即可．
【详解】解：根据二次函数的图象最高点是坐标原点，可以得到a＜0，b=0，c=0，
例如：.
【点睛】
此题是开放性试题，考查函数图象及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义.
16、
【解析】试题分析：将左下阴影部分对称移到右上角，则阴影部分面积的和为一个900角的扇形面积与一个450角的扇形面积的和：．
17、
【解析】试题分析：∵∠ADC=∠BDE，∠C=∠E，∴△ADC∽△BDE，∴，
∵AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，∴BD=5，DC=3，∴DE=．故选B．
考点：相似三角形的判定与性质．
18、3
【解析】试题解析: 由旋转的性质可得：AD=AB，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB，
∵AB=4，BC=7，
∴CD=BC−BD=7−4=3.
故答案为3.
三、解答题(共66分)
19、（1）详见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，由AB是⊙O的直径证得∠ACO+∠BCO＝90°，由OA=OC证得∠2＝∠A=∠ACO，由此得到∠PCO＝90°，即证得直线PC是⊙O的切线；
（2）利用∠1＝∠A证得∠CDB＝90°，得到CD2＝AD•BD，求出AD,由此求得AB=10，OB=5;在由∠OCP＝90°推出OC2＝OD•OP，求出OP＝，由此求得线段BP的长.
【详解】（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠A＝∠1＝∠2，
∴∠2＝∠ACO，
∴∠2+∠BCO＝90°，
∴∠PCO＝90°，
∴OC⊥PC，
∴直线PC是⊙O的切线；
（2）∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°
∴∠1＝∠A，
∴∠1+∠ABC＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∴CD2＝AD•BD，
∵CD＝4，BD＝2，
∴AD＝8，
∴AB＝10，
∴OC＝OB＝5，
∵∠OCP＝90°，CD⊥OP，
∴OC2＝OD•OP，
∴52＝（5﹣2）×OP，
∴OP＝，
∴PB＝OP﹣OB＝．
【点睛】
此题是圆的综合题，考查圆的切线的判定定理，圆中射影定理的判定及性质，（2）中求出∠CDB＝90°是此题解题的关键，由此运用射影定理求出线段的长度.
20、错误，见解析
【分析】根据二次函数的性质和小明的做法，可以判断小明的做法是否正确，然后根据二次函数的性质即可解答本题．
【详解】解：小明的做法是错误的，
正确的做法如下：
∵二次函数y＝2x2+4x+1＝2（x+1）2+1，
∴该函数图象开口向上，该函数的对称轴是直线x＝﹣1，当x＝﹣1时取得最小值，最小值是1，
∵﹣2≤x≤﹣1，
∴当x＝﹣2时取得最大值，此时y＝1，
当x＝﹣1时取得最小值，最小值是y＝1，
由上可得，当﹣2≤x≤﹣1时，函数y的最小值是1，最大值是1．
【点睛】
本题考查二次函数的性质,关键在于熟记性质.
21、（1）见解析；（2）PC＝1．
【分析】（1）证明△PAC∽△PCB，可得，即可证明PC2=PA•PB；
（2）若3AC=4BC，则，由（1）可求线段PC的长．
【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵AD⊥DC于D，且AC平分∠DAB，
∴∠PDA=90°，∠DAC=∠BAC．
∵∠PCA=∠PDA+∠DAC，∠PBC=∠ACB+∠BAC，
∴∠PCA=∠PBC．
∵∠BPC=∠CPA，
∴△PAC∽△PCB，
∴，
∴PC2=PA•PB；
（2）∵3AC=4BC，
∴．
设PC=4k，则PB=3k，PA=3k+7，
∴(4k)2=3k(3k+7)，
∴k=3或k=0(舍去)，
∴PC=1．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定与性质，圆周角定理，解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
22、（1） ；（2）从4月份起扭亏为盈； 9月份一个月利润为11万元 ；（3）12，17万元.
【分析】（1）根据题意此抛物线的顶点坐标为，设出抛物线的顶点式，把代入即可求出的值，把的值代入抛物线的顶点式中即可确定出抛物线的解析式；
（2）由图可解答；求8、9两个月份的总利润的差即为9月的利润；
（3）根据前个月内所获得的利润减去前个月内所获得的利润，即可表示出第个月内所获得的利润，为关于的一次函数，且为增函数，得到取最大为12时，把代入即可求出最多的利润．
【详解】（1）根据题意可设：，
∵点在抛物线上，
∴，
解得：，
∴即 ；
（2）∵，对称轴为直线，
∴当时y随x的增大而增大，
∴从4月份起扭亏为盈；
8月份前的总利润为：万元,
9月份前的总利润为：万元,
∴9月份一个月利润为：万元；
（3）设单月利润为W万元，
依题意得：，
整理得：，
∵，
∴W随增大而增大，
∴当x＝12时，利润最大，最大利润为17万元
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，主要考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题，认真审题很重要．
23、小丽为，小军为，这个游戏不公平，见解析
【分析】画出树状图，得出总情况数及两次模到的球颜色相同和不同的情况数，即可得小丽与小明获胜的概率，根据概率即可得游戏是否公平.
【详解】根据题意两图如下：
共有种等情况数，其中两次模到的球颜色相同的情况数有种，不同的有种，
小丽获胜的概率是
小军获胜的概率是，所以这个游戏不公平.
【点睛】
本题考查游戏公平性的判断，判断游戏的公平性要计算每个参与者获胜的概率，概率相等则游戏公平，否则游戏不公平，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.
24、（1）图见解析；B′的坐标为（﹣1，3）；（2）.
【分析】（1）过点C作B′C⊥BC，根据网格特征使B′C=BC，作A′C⊥AC，使A′C=AC，连接A′B′，△A′B′C即为所求，根据B′位置得出B′坐标即可；
（2）根据旋转的性质可得∠ACA′=90°，利用勾股定理可求出AC的长，利用弧长公式求出的长即可.
【详解】（1）如图所示，△A′B′C即为所求；
B′的坐标为（﹣1，3）．
（2）∵A（3，3），C（0，﹣1）．
∴AC＝＝5，
∵∠ACA′＝90°，
∴点A经过的路径的长为：＝.
【点睛】
本题考查旋转的性质及弧长公式，正确得出旋转后的对应边和旋转角是解题关键.
25、1
【分析】先计算特殊的三角函数值和去绝对值，再从左至右计算即可.
【详解】解：原式=
【点睛】
本题考查的是实数与特殊角的三角函数值的混合运算，能够熟知特殊角的三角函数值是解题的关键.
26、 (1)a＝4，k=8；(2)①E(5，)；②满足条件的m的值为4或5或2.
【分析】(1)把点A坐标代入直线AB的解析式中，求出a，求出点B坐标，再将点B坐标代入反比例函数解析式中求出k；
(2)①确定出点D(5，4)，得到求出点E坐标；
②先表示出点C，D坐标，再分三种情况：当BC＝CD时，判断出点B在AC的垂直平分线上，即可得出结论，当BC＝BD时，表示出BC，用BC＝BD建立方程求解即可得出结论，当BD＝AB时，m＝AB，根据勾股定理计算即可.
【详解】解：(1)∵点A(0，8)在直线y＝﹣2x+b上，
∴﹣2×0+b＝8，
∴b＝8，
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+8，
将点B(2，a)代入直线AB的解析式y＝﹣2x+8中，得﹣2×2+8＝a，
∴a＝4，
∴B(2，4)，
将B(2，4)代入反比例函数解析式y＝(x＞0)中，得k＝xy＝2×4＝8；
(2)①由(1)知，B(2，4)，k＝8，∴反比例函数解析式为y＝，
当m＝3时，将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，
∴D(2+3，4)，即D(5，4)，
∵DF⊥x轴于点F，交反比例函数y＝的图象于点E，
∴E(5，)；
②如图，
∵将线段AB向右平移m个单位长度(m＞0)，得到对应线段CD，
∴CD＝AB，AC＝BD＝m，
∵A(0，8)，B(2，4)，
∴C(m，8)，D((m+2，4)，
△BCD是等腰三形，
当BC＝CD时，BC＝AB，
∴点B在线段AC的垂直平分线上，
∴m＝2×2＝4，
当BC＝BD时，B(2，4)，C(m，8)，
∴，
∴，
∴m＝5，
当BD＝AB时，，
综上所述，△BCD是以BC为腰的等腰三角形，满足条件的m的值为4或5或2.
【点睛】
此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
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