资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．已知，则下列各式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，将△ABC向右平移3个单位长度后得△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点O旋转180°后得到△A2B2C2，则下列说法正确的是( )
A．A1的坐标为(3，1) B．S四边形ABB1A1＝3 C．B2C＝2 D．∠AC2O＝45°
3．下列函数中，变量是的反比例函数是（ ）
A． B． C． D．
4．若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣3 B．a＜﹣3 C．a＞3 D．a≥3
5．如图，，两条直线与三条平行线分别交于点和．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在平行四边形中，点是边上一点，且，交对角线于点，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）
A．100(1+x)=121 B．100(1-x)=121 C．100(1+x)2=121 D．100(1-x)2=121
8．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，点是曲线上的一个动点，作轴于点，当点的橫坐标逐渐减小时，四边形的面积将会（ ）
A．逐渐增大 B．不变 C．逐渐减小 D．先减小后增大
9．已知A样本的数据如下：72，73，76，76，77，78，78，78，B样本的数据恰好是A样本数据每个的2倍，则A，B两个样本的方差关系是（ ）
A．B是A的倍 B．B是A的2倍 C．B是A的4倍 D．一样大
10．用配方法解一元二次方程，变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是( )
A． B． C． D．
12．如图，、分别与相切于、两点，点为上一点，连接，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．抛物线在对称轴_____（填“左侧”或“右侧”）的部分是下降的．
14．步步高超市某种商品为了去库存，经过两次降价，零售价由100元降为64元．则平均每次降价的百分率是____________．
15．如图，一段抛物线：记为，它与轴交于两点，；将绕旋转得到，交轴于；将绕旋转得到，交轴于；如此进行下去，直至得到，若点在第段抛物线上，则___________．
16．若点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y3）都在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是_________．
17．计算sin245°+cos245°=_______．
18．如图，有一张直径为1.2米的圆桌，其高度为0.8米，同时有一盏灯距地面2米，圆桌在水平地面上的影子是，∥，和是光线，建立如图所示的平面直角坐标系，其中点的坐标是．那么点的坐标是_________．
三、解答题（共78分）
19．（8分）为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量（台）和销售单价（万元）满足如图所示的一次函数关系．
（1）求月销售量与销售单价的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？
20．（8分）（1）解方程
（2）计算
21．（8分）如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，直线交二次函数图象的对称轴于点，若点C为的中点.
（1）求的值；
（2）若二次函数图象上有一点，使得，求点的坐标；
（3）对于（2）中的点，在二次函数图象上是否存在点，使得∽？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
22．（10分）如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里∕小时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60º方向航行，1.5小时后，在我领海区域的C处截获可疑渔船．问我渔政船的航行路程是多少海里？(结果保留根号)
23．（10分）如图，是⊙的直径，，是的中点，连接并延长到点，使.连接交⊙于点，连接.
（1）求证：直线是⊙的切线；
（2）若，求⊙的半径.
24．（10分）如图，四边形ABCD的三个顶点A、B、D在⊙O上，BC经过圆心O，且交⊙O于点E，∠A＝120°，∠C＝30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）若CD＝6，求BC的长．
（3）若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的最大面积为 ．
25．（12分）已知一个二次函数的图象经过点、和三点.
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求此二次函数的图象的对称轴和顶点坐标.
26．解方程：.
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为.以点为位似中心画出的位似图形，使得与的位似比为，并写出点的坐标.
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】利用比例的性质进行逐一变形，比较是否与题目一致，即可得出答案.
【详解】A：因为所以ab=cd，故A正确；
B：因为所以ab=cd，故B正确；
C：因为所以(a+c)b=(d+b)c，化简得ab =cd，故选项C正确；
D：因为所以(a+1)(b+1)=(d+1)(c+1)，化简得ab+a+b=cd+d+c，故选项D错误；
故答案选择D.
【点睛】
本题考查的是比例的性质，难度不大，需要熟练掌握相关基础知识，重点需要熟练掌握去括号法则.
2、D
【解析】试题分析：如图：
A、A1的坐标为（1，3），故错误；
B、=3×2=6，故错误；
C、B2C== ，故错误；
D、变化后，C2的坐标为（-2，-2），而A（-2，3），由图可知，∠AC2O=45°，故正确．
故选D．
3、B
【解析】根据反比例函数的一般形式即可判断．
【详解】A. 不符合反比例函数的一般形式的形式，选项错误；
B. 符合反比例函数的一般形式的形式，选项正确；
C. 不符合反比例函数的一般形式的形式，选项错误；
D. 不符合反比例函数的一般形式的形式，选项错误．
故选B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的一般形式是解题的关键．
4、A
【解析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的取值范围即可．
【详解】∵不等式组无解，
∴a﹣4≥3a+2，
解得：a≤﹣3，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键.
5、C
【分析】由得设可得答案．
【详解】解： ，，
设 则
故选C．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例，比例线段，掌握这两个知识点是解题的关键．
6、A
【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质解答即可.
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴AD∥BC，AD=BC=3ED，
∴∠EDB=∠CBD，∠DEF=∠BCF，
∴△DFE∽△BFC，∴.
故选：A.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
7、C
【详解】试题分析：对于增长率的问题的基本公式为：增长前的数量×=增长后的数量.由题意，可列方程为：100(1+x)2=121，故答案为：C
考点：一元二次方程的应用
8、C
【分析】设点P的坐标，表示出四边形OAPB的面积，由反比例函数k是定值，当点P的横坐标逐渐减小时，四边形OAPB的面积逐渐减小．
【详解】点A(0，2)，则OA=2，
设点，则，
，
∵为定值，
∴随着点P的横坐标的逐渐减小时，四边形AONP的面积逐渐减小
故选：C．
【点睛】
考查反比例函数k的几何意义，用点的坐标表示出四边形的面积是解决问题的关键．
9、C
【解析】试题分析：∵B样本的数据恰好是A样本数据每个的2倍，
∴A，B两个样本的方差关系是B是A的4倍
故选C
考点：方差
10、B
【分析】根据完全平方公式和等式的性质进行配方即可．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】
本题考查了配方法，其一般步骤为：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
11、D
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，解答即可．
【详解】解：A、不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故A选项错误；
B、不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故B选项错误；
C、不符合中心对称图形的定义，因此不是中心对称图形，故C选项错误；
D、符合中心对称图形的定义，因此是中心对称图形，故D选项正确；
故答案选D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称图形的概念是解题关键．
12、C
【分析】先利用切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．
【详解】解：连接、，
∵、分别与相切于、两点，
∴，，
∴．
∴，
∴．
故选C．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、右侧
【解析】根据二次函数的性质解题．
【详解】解：∵a=-1＜0，
∴抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，抛物线在对称轴右侧的部分是下降的，
故答案为：右侧．
点睛：本题考查了二次函数的性质，熟练掌握性质上解题的关键．
14、20%
【分析】设平均每次降价的百分率是x，根据“经过两次降价，零售价由100元降为64元”，列出一元二次方程，求解即可．
【详解】设平均每次降价的百分率是x，根据题意得：
100(1﹣x)2=64，
解得：x1=0.2，x2=1.8(舍去)，
即平均每次降价的百分率是20%．
故答案为：20%．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，这是一道典型的增长率问题．
15、-1
【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1＝A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果．
【详解】∵y＝−x（x−2）（0≤x≤2），
∴配方可得y＝−（x−1）2＋1（0≤x≤2），
∴顶点坐标为（1，1），
∴A1坐标为（2，0）
∵C2由C1旋转得到，
∴OA1＝A1A2，即C2顶点坐标为（3，−1），A2（4，0）；
照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；
C4顶点坐标为（7，−1），A4（8，0）；
C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；
C6顶点坐标为（11，−1），A6（12，0）；
∴m＝−1．
故答案为：-1．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标，学会从一般到特殊的探究方法，属于中考常考题型．
16、y2＞y1＞y1
【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可得到答案．
【详解】∵反比例函数的比例系数k<0，
∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（﹣4，y1）、B（﹣2，y2）、C（2，y1）都在反比例函数的图象上，
∴y2＞y1>0，y1<0，
∴y2＞y1＞y1．
故答案是：y2＞y1＞y1．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的图象和性质，掌握反比例函数的增减性，是解题的关键．
17、1
【分析】根据特殊角的三角函数值先进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可得出结果．
【详解】原式=()2+()2=+=1．
【点睛】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，需要熟记，比较简单．
18、
【分析】先证明△ABC∽△ADE，再根据相似三角形的性质：相似三角形的对应高的比等于相似比求解即可．
【详解】解：∵BC∥DE，
∴△ABC∽△ADE，
∴，
∵BC=1.2，
∴DE=2，
∴E（4，0）．
故答案为：（4，0）．
【点睛】
本题考查了中心投影，相似三角形的判定和性质，准确识图，熟练掌握相似三角形的对应高的比等于相似比是解题的关键．
三、解答题（共78分）
19、（1）与的函数关系式为；（2）该设备的销售单价应是27 万元．
【分析】（1）根据图像上点坐标,代入,用待定系数法求出即可.
（2）根据总利润=单个利润销售量列出方程即可.
【详解】解：（1）设与的函数关系式为，
依题意，得解得
所以与的函数关系式为．
（2）依题知．
整理方程，得．
解得．
∵此设备的销售单价不得高于35万元，
∴（舍），所以．
答：该设备的销售单价应是27 万元．
【点睛】
本题考查了一次函数以及一元二次方程的应用.
20、（1）；（2）1.
【分析】（1）根据因式分解法解方程，即可得到答案；
（2）分别计算绝对值，特殊角的三角函数，二次根式，负整数指数幂，然后再进行合并，即可得到答案.
【详解】解：（1），
∴，
∴，
∴；
（2），
.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，实数的混合运算，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，以及实数混合运算的运算法则.
21、（1）；（2）或；（3）不存在，理由见解析.
【分析】（1）设对称轴与轴交于点，如图1，易求出抛物线的对称轴，可得OE的长，然后根据平行线分线段成比例定理可得OA的长，进而可得点A的坐标，再把点A的坐标代入抛物线解析式即可求出m的值；
（2）设点Q的横坐标为n，当点在轴上方时，过点Q作QH⊥x轴于点H，利用可得关于n的方程，解方程即可求出n的值，进而可得点Q坐标；当点在轴下方时，注意到，所以点与点关于直线对称，由此可得点Q坐标；
（3）当点为x轴上方的点时，若存在点P，可先求出直线BQ的解析式，由BP⊥BQ可求得直线BP的解析式，然后联立直线BP和抛物线的解析式即可求出点P的坐标，再计算此时两个三角形的两组对应边是否成比例即可判断点P是否满足条件；当点Q取另外一种情况的坐标时，再按照同样的方法计算判断即可.
【详解】解：（1）设抛物线的对称轴与轴交于点，如图1，∴轴，∴，
∵抛物线的对称轴是直线，∴OE=1，∴，∴
∴将点代入函数表达式得：，∴；
（2）设，
①点在轴上方时，，如图2，过点Q作QH⊥x轴于点H，∵，∴，解得：或（舍），∴；
②点在轴下方时，∵OA=1，OC=3，∴，∵，∴点与点关于直线对称，∴；
（3）①当点为时，若存在点P，使∽，则∠PBQ=∠COA=90°，
由B（3，0）、Q可得，直线BQ的解析式为：，所以直线PB的解析式为：，
联立方程组：，解得：，，∴，
∵，，
∴，∴不存在；
②当点为时，如图4，由B（3，0）、Q可得，直线BQ的解析式为：，所以直线PB的解析式为：，
联立方程组：，解得：，，∴，
∵，，
∴，∴不存在.
综上所述，不存在满足条件的点，使∽.
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理、二次函数图象上点的坐标特征、一元二次方程的解法、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数和两个函数的交点等知识，综合性强、具有相当的难度，熟练掌握上述知识、灵活应用分类和数形结合的数学思想是解题的关键.
22、我渔政船的航行路程是海里．
【分析】过C点作AB的垂线，垂足为D，构建Rt△ACD，Rt△BCD，解这两个直角三角形即可．
【详解】解：如图：作CD⊥AB于点D，
∵在Rt△BCD中，BC=12×1.5=18海里，∠CBD=45°，
∴CD=BC•sin45°=（海里）．
∴在Rt△ACD中，AC=CD÷sin30°=（海里）．
答：我渔政船的航行路程是海里．
点睛：考查了解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值．
23、（1）见解析;（2）.
【分析】（1）连OC，根据“，AB是⊙O的直径”可得CO⊥AB，进而证明△OEC≌△BEF（SAS）即可得到∠FBE=∠COE=90°，从而证明直线是⊙的切线；
（2）由（1）可设⊙O的半径为r，则AB=2r，BF=r，在Rt∆ABF运用沟谷定理即可得.
【详解】（1）连OC.
∵，AB是⊙O的直径
∴CO⊥AB
∵E是OB的中点
∴OE=BE
又∵CE=EF，∠OEC=∠BEF
∴△OEC≌△BEF（SAS）
∴∠FBE=∠COE=90°
即AB⊥BF
∴BF是⊙O的切线.
（2）由（1）知=90°
设⊙O的半径为r，则AB=2r，BF=r
在Rt∆ABF中，由勾股定理得；，即 ，解得：r=
∴⊙O的半径为.
【点睛】
本题考查了切线的证明及圆中的计算问题，熟知切线的证明方法及题中的线段角度之间的关系是解题的关键.
24、（1）证明见解析；（2）；（3）．
【分析】（1）连接、，根据圆内接四边形的性质得到，求得，又点在上，于是得到结论；
（2）由（1）知：又，设为，则为，根据勾股定理即可得到结论；
（3）连接BD，OA，根据已知条件推出当四边形ABOD的面积最大时，四边形ABCD的面积最大，当OA⊥BD时，四边形ABOD的面积最大，根据三角形和菱形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：（1）证明：连接、，
四边形为圆内接四边形，
，
，
，又点在上，
是的切线；
（2）由（1）知：又，
，
设为，则为，
在中，，
即，
，
又，
，
；
（3）连接，，
，
，
，
，，，
，
，
，
当四边形的面积最大时，四边形的面积最大，
当时，四边形的面积最大，
四边形的最大面积，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了圆的综合题，切线的判定，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
25、（1）；（2）对称轴是直线，顶点坐标是.
【分析】(1)直接用待定系数法求出二次函数的解析式；(2)根据对称轴和顶点坐标的公式求解即可.
【详解】（1）设二次函数解析式为，
∵抛物线过点，
∴，
解得，
∴.
（2）由（1）可知：，
∵a=1,b=-2,c=-3,
∴对称轴是直线，=-4,顶点坐标是.
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法以及利用公式求二次函数图象的对称轴及顶点坐标．
26、（1）；（2）见解析，点的坐标为；点的坐标为.
【分析】 ⑴根据配方法解出即可；
⑵根据相似比找到对应的点，即可.
【详解】解：
，
，
，
.
.(解法不唯一)
解：如图，即为所求.
点的坐标为；点的坐标为.
【点睛】
此题主要考查了解一元二次方程的配方法及位似图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.
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