河北定州中学2016届高三数学下册周练试题.doc

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河北定州中学2015—2016学年度第二学期数学周练（一）
评卷人
得分

一、选择题：共12题 每题5分 共60分
1．设集合A={(x,y)|=1},B={(x,y)|y=3x},则A∩B的子集的个数是
A.4 B.3 C.2 D.1
2．函数y=的图象大致为
A. B.
C. D.
3．已知R是实数集,集合M={x|<1},N={y|y=t-2,t≥3},则N∩∁RM=
A.[2,3] B.[2,+∞) C.(-∞,2] D.[0,2]
4．已知集合A={x||x-1|<2},Z为整数集,则集合A∩Z中所有元素的和等于
A.1 B.2 C.3 D.4
5．设f '(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f '(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是
A. B. C. D.
6．(文)若全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2,3},B={2,4},则A∩∁UB=
A.{1,2,3,4,5} B.{1,2,3,4} C.{2,4} D.{1,3}
7．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
A. B. C. D.
8．已知集合M={x|-2≤x<2},N={x|y=log2(x-1)},则M∩N=
A.{x|-2≤x<0} B.{x|-1<x<0} C.{x|1<x<2} D.{-2,0}
9．函数y=的定义域为____.
A.[-4,1] B.[-4,0) C.(0,1] D.[-4,0)∪(0,1]
10．若集合M={y|y=2x,x∈R},S={x|y=lg(x-1)},则下列各式中正确的是
A.M∪S=M B.M∪S=S C.M=S D.M∩S=∅
11．如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为

A.y=x3-x B.y=x3-x C.y=x3-x D.y=-x3+x
12．已知函数f(x)=x2+2x+m(m∈R)的最小值为-1,则f(x)dx=
A.2 B. C.6 D.7
评卷人
得分

二、填空题：共4题 每题5分 共20分
13．已知函数f (x)＝，若a,b,c互不相等，且f (a)＝f (b)＝f (c)，则a＋b＋的取值范围为     　　      .
14．设A、B是非空集合，定义.
已知，，则               .
15．已知集合A={x|x>0},B={x|x<3,x∈N},则A∩B=　　　.
16．对于集合M,定义函数fM(x)=对于两个集合M,N,定义集合M△N={x|fM(x)·fN(x)=-1}.已知A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,16},则用列举法写出集合A△B为　　　.
评卷人
得分

三、解答题：共8题 共70分
17．(本题12分)已知函数f(x)=ln x+,k∈R.
(1)若f(x)≥2+恒成立,求实数k的取值范围;
(2)设g(x)=xf(x)-k,若对任意的两个实数x1,x2满足0<x1<x2,总存在x0>0,使得g'(x0)=成立,证明:x0>x1.
18．(本题12分)(文)已知函数f(x)=-x3+ax2-4,a∈R.
(1)当a=3时,求f(x)在区间[-1,1]上的最大值和最小值;
(2)若存在x0∈(0,+∞),使得f(x0)>0,求a的取值范围.
19．(本题12分)已知函数（a＞0）在区间上有最大值和最小值.设.
（1）求、的值；
（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.
20．(本题12分)已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若对任意a∈[3,4],函数f(x)在R上都有三个零点,求实数b的取值范围.
21．(本题12分)已知函数f(x)=ax2-ln x(a为常数).
(1)当a=时,求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若a<0,且对任意的x∈[1,e],f(x)≥(a-2)x恒成立,求实数a的取值范围(e为自然对数的底数).
请考生在第 22、23、24 三题中任选一道做答，注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。
22．(本题10分)已知椭圆C:+=1的焦点在x轴上,右顶点A为抛物线y2=16x的焦点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)已知点Q(-,0),若斜率为-的动直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,求·的最小值.
23。(本题10分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c.
(1)当b=1时,若函数f(x)在(0,1]上为增函数,求实数a的最小值;
(2)设函数f(x)的图象关于原点O对称,在点P(x0,f(x0))处的切线为l,l与函数f(x)的图象交于另一点Q(x1,y1),若PP1⊥x轴,QQ1⊥x轴,=λ,求λ的值.
24．(本题10分)已知函数f(x)=ln x,g(x)=x2.
(Ⅰ)求函数h(x)=f(x)-x+1的最大值;
(Ⅱ)对于任意x1,x2∈(0,+∞),且x2<x1,是否存在实数m,使mg(x2)-mg(x1)-x1 f(x1)+x2 f(x2)恒为正数?若存在,求实数m的取值范围;若不存在,说明理由;
(Ⅲ)若正项数列{an}满足=,a1=,且数列{an}的前n项和为Sn,试比较2与2n+1的大小,并加以证明.

周测一参考答案
1.A　
【解析】注意集合元素特征为点集,A∩B表示的是双曲线和指数函数的图象的交点,画出图象,知A∩B中有两个元素,所以A∩B的子集的个数是22=4个,故选A.
【备注】无

2.A
【解析】由题意知y==1+,当x>0时,e2x-1>0且e2x-1的值随着x的增大而增大,故y=1+的值随着x的增大而减小.又1+>1,所以函数在(0,+∞)上恒大于1且单调递减,又函数是奇函数,故选A.
【备注】无

3.A
【解析】M=(-∞,0)∪(3,+∞),令u=,则y=u2-2u+3=(u-1)2+2,u≥0,从而y≥2,N=[2,+∞),则N∩∁RM=[2,3].
【备注】无

4.C
【解析】本题主要考查了集合的交集运算及含绝对值不等式的解法,试题增设了集合元素的求和,打破了常规,注重了命题的灵活性与解题的针对性.集合在高考命题中主要与简单的对数不等式、分式不等式的求解或函数的定义域、值域等问题相结合,考查集合的交、并、补的基本运算(以补集与交集的基本运算为主),考查考生借助数轴或韦恩图进行集合运算的数形结合思想和基本运算能力.由题意得A={x|-1<x<3},A∩Z={0,1,2},所以A∩Z的所有元素之和等于3.
【备注】无

5.D
【解析】对于图A来说,抛物线为函数f(x),直线为f '(x);对于图B来说,下凹的曲线为函数f(x),上凸的曲线为f '(x);对于图C来说,下面为函数f(x),上面为f '(x). 只有图D不符合题设条件.选D.
【备注】无

6.D
【解析】由题意得∁UB={1,3,5},∴A∩∁UB={1,3},故选D.
【备注】无

7.A
【解析】本题考查函数的奇偶性与单调性.根据定义对选项逐个判断即可得出结论.选项A中的函数是奇函数,且是减函数,选项B,C中的函数是奇函数,但不是递减函数,选项D中的函数是减函数,但不是奇函数,故答案选A.
【备注】函数的奇偶性与单调性的通常借助其定义进行判断,在实际问题中要注意基本初等函数的单调性与奇偶性,这样可以降低判断的难度.

8.C
【解析】因为集合N={x|x>1} ,所以M∩N={x|1<x<2}.
【备注】无

9.D
【解析】本小题主要考查函数的定义域的求法,在涉及分式时应当考虑分母不为零,要使二次根式有意义应要求被开方数非负,同时还考查考生解不等式的能力.由得-4≤x≤1且x≠0.因此该函数的定义域是[-4,0)∪(0,1],选D.
【备注】无

10.A
【解析】本题主要考查集合之间的关系与集合的交、并运算,考查考生的计算能力,体现高考注重考查考生基础知识的命题特色.集合的运算包括集合的交、补和并运算,在高考中常常与不等式的运算、简单函数的值域与定义域等相结合,解题时需要认清代表元素的含义和注意等号的取舍.由题意得M=(0,+∞),S=(1,+∞),所以根据选项可得M∪S=M,所以选A.
【备注】无

11.A
【解析】本题主要考查函数的概念、图象及有关性质,考查考生分析、解决问题的能力.
设所求函数解析式为y=f(x),由题意知f(5)=-2,f(-5)=2,且f '(±5)=0,代入验证易得y=x3-x符合题意,故选A.
【备注】无

12.B
【解析】由f(x)=x2+2x+m=(x+1)2+m-1可知,f(x)min=m-1=-1,故m=0.所以f(x)dx=(x2+2x)dx=(+x2)=(+4)-(+1)=+3=.
【备注】无

13.(25,34)
【解析】本题主要考查分段函数及其图像，体现了数形结合的思想。
lg10=1，令，得x=10或14.做出f (x)的图像如图。
若有f (a)＝f (b)＝f (c)，，
结合图形可知，故a＋b＋c的取值范围为(25,34)。

【备注】无

14..
【解析】本题考查的知识点为函数的定义域与值域；集合的运算.属于新定义的问题。
首先化简集合A,B.得，，
从而.
【备注】无

15.{1,2}
【解析】本题考查集合的概念和集合之间的运算,考查考生的运算求解能力.因为集合A={x|x>0},B={x|x<3,x∈N},所以A∩B={x|0<x<3,x∈N}={1,2}.
【备注】无

16.{1,6,10,16}
【解析】由“△”运算的定义可知A△B={1,6,10,16}.
【备注】无

17.解:(1)由题意知,f(x)≥2+恒成立,即ln x+≥2+恒成立,整理得k≥2x-xln x+1-e恒成立.
设h(x)=2x-xln x+1-e,则h'(x)=1-ln x,令h'(x)=0,得x=e.
当x∈(0,e)时,h'(x)>0,函数h(x)单调递增,
当x∈(e,+∞)时,h'(x)<0,函数h(x)单调递减,
因此当x=e时,h(x)取得最大值1,因而k≥1.
(2)g(x)=xf(x)-k=xln x,g'(x)=ln x+1.
因为对任意的x1,x2(0<x1<x2),总存在x0>0,使得g'(x0)=成立,
所以ln x0+1=,即ln x0+1=
即ln x0-ln x1=-1-ln x1==.
设φ(t)=ln t+1-t,其中0<t<1,则φ'(t)=-1>0,
所以φ(t)在区间(0,1)上单调递增,φ(t)<φ(1)=0,又-1<0,
所以ln x0-ln x1>0,即x0>x1.
【解析】本题主要考查函数的单调性、不等式恒成立及利用转化与化归思想去解决问题的能力.(1)利用导函数求出函数的单调区间,把不等式恒成立问题通过分离变量法转化为求最值问题;(2)构造新函数,利用其单调性和最值去比较两数的大小.
【备注】无

18.(1)当a=3时,f (x)=-x3+3x2-4,f '(x)=-3x2+6x=-3x(x-2).
当x变化时, f '(x)、 f (x)在区间[-1,1]上的变化如下表:

所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=0,最小值为f(0)=-4.
(2)f '(x)=-3x2+2ax=-3x(x-).
若a≤0,则当x∈(0,+∞)时,f '(x)<0,此时f(x)单调递减,而f(x)<f(0)=-4,所以此时不存在使题设成立的x0.
若a>0,则当x∈(0,)时,f '(x)>0,此时f(x)单调递增;当x∈(,+∞)时,f '(x)<0,此时f(x)单调递减.所以f(x)在(0,+∞)上的最大值为f()=-4.所以题设的x0存在,当且仅当-4>0,解得a>3.
综上,使题设成立的a的取值范围是(3,+∞).
【解析】无
【备注】无

19.：（1）函数因为a＞0，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，;
（2）由已知可得，
，令则
在上能成立.
设，
所以k的取值范围是
【解析】本题考查的知识点为二次函数在闭区间上的最值，函数的零点与方程根的关系. （1）由函数，所以g（x）在区间[2，3]上是增函数，故，由此解得a、b的值.（2）不等式可化为故有，求出的最大值，从而求得k的取值范围.
【备注】无

20.(1)因为f(x)=-x3+ax2+b,所以f '(x)=-3x2+2ax=-3x(x-).
当a=0时,f '(x)≤0,函数f(x)没有单调递增区间;
当a>0时,令f '(x)>0,得0<x<,
故f(x)的单调递增区间为(0,);
当a<0时,令f '(x)>0,得<x<0,
故f(x)的单调递增区间为(,0).
综上所述,当a=0时,函数f(x)没有单调递增区间;
当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,);
当a<0时,函数f(x)的单调递增区间为(,0).
(2)由(1)知,当a∈[3,4]时,f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(-∞,0)和(,+∞).
所以函数f(x)在x=0处取得极小值f(0)=b,
函数f(x)在x=处取得极大值f()=+b.
由于对任意a∈[3,4],函数f(x)在R上都有三个零点,
所以,即.
解得-<b<0.
因为对任意a∈[3,4],b>-恒成立,所以b>(-)max=-=-4.
所以实数b的取值范围是(-4,0).
【解析】无
【备注】无

21.(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f '(x)=2ax-=.
当a=时,f '(x)=.
由f '(x)<0及x>0,解得0<x<1,
所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1).
(2)设F(x)=f(x)-(a-2)x=ax2-ln x-(a-2)x.
因为对任意的x∈[1,e],f(x)≥(a-2)x恒成立,
所以对任意的x∈[1,e],F(x)≥0恒成立.
F'(x)=2ax--(a-2)==.
令F'(x)=0,因为a<0,解得x1=-,x2=.
①当0<-≤1,即a≤-1时,
在(1,e)上F'(x)<0,所以F(x)在(1,e)上单调递减.
因为对任意的x∈[1,e],F(x)≥0恒成立,
所以F(x)min=F(e)≥0,即ae2-1-(a-2)e≥0,
解得a≥,因为>-1,所以此时a不存在;
②当1<-<e,即-1<a<-时,
在(1,-)上F'(x)>0,在(-,e)上F'(x)<0,
所以F(x)在(1,-)上单调递增,在(-,e)上单调递减.
因为对任意的x∈[1,e],F(x)≥0恒成立,
所以F(1)=2>0且F(e)≥0,
即ae2-1-(a-2)e≥0,解得≤a<-;
③当-≥e,即-≤a<0时,
在(1,e)上F'(x)>0,
所以F(x)在(1,e)上单调递增,由于F(1)=2>0,符合题意,
所以-≤a<0.
综上所述,实数a的取值范围是[,0).
【解析】无
【备注】无

22.(1)由抛物线y2=16x,知其焦点为F(4,0),故椭圆C中a=4,
所以椭圆C的方程为+=1.
(2)由题意,可设直线l方程为y=-x+b,
由,整理得5x2-8bx+8b2-16=0.
因为动直线l与椭圆C交于不同的两点,所以Δ=128b2-20(8b2-16)>0,解得-<b<.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=b,x1x2=,
y1y2=(-x1+b)·(-x2+b)=x1x2-(x1+x2)+b2=.
因为=(x1+,y1),=(x2+,y2),
所以·=(x1+)·(x2+)+y1y2=x1x2+(x1+x2)+y1y2+2=.
因为-<b<,所以当b=-时,·取得最小值,
其最小值为×+×(-)-=-.
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、平面向量的数量积以及函数的最值等知识.第(1)问,根据题中条件可直接求解;第(2)问,先设出直线l的方程,与椭圆的方程联立得到一个一元二次方程,再利用根与系数的关系和函数的单调性进行求解.
【备注】将向量与解析几何结合起来是高考考查解析几何的主要命题方向之一,这里问题的核心是解析几何,向量只是作为背景工具.考生在解决这类试题时,只要抓住问题的本质,细心地进行推理运算就能顺利作答.

23.解:(1)当b=1时,f '(x)=3x2+2ax+1,由题意知在(0,1]上恒有f '(x)≥0,
∴a≥-=-(3x+),又3x+≥2,当且仅当x=时取等号.
∴a≥-,即a的最小值为-.
(2)∵f(x)的图象关于原点对称,
∴f(-x)=-f(x),∴a=c=0,f '(x)=3x2+b.
函数f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率为k=3+b,而切线过点Q(x1,y1),且点Q在函数f(x)的图象上,
∴k===+x0x1++b,
∴3+b=+x0x1++b,∴+x0x1-2=0,∴x1=x0(舍去)或x1=-2x0,
由题意知,=(x1,0),=(x0,0),∴x1=λx0,∴λ=-2.
【解析】本题以三次函数为背景考查函数的单调性、导数在解决函数问题中的应用.(1)利用已知条件将问题转化为求解不等式在某区间上的恒成立问题,利用基本不等式求解;(2)利用函数关于原点对称得到a=c=0,利用切线的斜率得到P,Q的横坐标之间的关系式,结合已知条件求解λ的值.
【备注】无

24.(Ⅰ)因为h(x)=ln x-x+1(x>0),所以h'(x)=-1=,
当x∈(0,1)时,h'(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0.
所以h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以h(x)max=h(1)=0,即函数h(x)的最大值为0.
(Ⅱ)若mg(x2)-mg(x1)-x1f(x1)+x2 f(x2)>0恒成立,
只需mg(x2)+x2f(x2)>mg(x1)+x1f(x1),
设φ(x)=mg(x)+xf(x)=mx2+xln x,又0<x2<x1,
则只需φ(x)在(0,+∞)上单调递减.
即φ'(x)=2mx+1+ln x≤0在(0,+∞)上成立,
得2m≤,
设t(x)=,则t'(x)=,易知函数t(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,即t(x)min=t(1)=-1.
所以存在实数m≤-,使mg(x2)-mg(x1)-x1f(x1)+x2f(x2)恒为正数.
(Ⅲ)由=·+,得-1=(-1),
又a1=,
所以-1=()n,an=.
结论:2>2n+1,
证明如下:
因为an∈(0,1),由(Ⅰ)知,x-1>ln x,得x>ln x+1(x>0),
所以an>ln(an+1)=ln=ln(2n+1)-ln(2n-1+1),
故a1+a2+…+an>ln(21+1)-ln(20+1)+ln(22+1)-ln(21+1)+…+ln(2n+1)-ln(2n-1+1)=ln(2n+1)-ln(20+1)=ln,
即Sn>ln成立,所以2>2n+1.
(注:本题第(Ⅲ)问可用数学归纳法证明,递推过程中用第(Ⅰ)问结论. )
【解析】本题主要考查函数的导数、导数的应用、数列等基础知识,考查考生的推理论证能力、运算求解能力、创新意识等,考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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