大学数学第一章12节.ppt

1 向量的概念及向量的表示向量的概念及向量的表示一、向量的基本概念一、向量的基本概念1.向量向量:既有大小,又有方向的量,称为向量.(或矢量)2.向量的几何表示法向量的几何表示法:用一条有方向的线段来表示向量.以线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.AB以A为起点,B为终点的向量,记为AB,a.向量AB的大小叫做向量的模.记为|AB|或 (一一)向量的概念向量的概念3.自由向量自由向量自自由由向向量量:只有大小、方向,而无特定起点的向量.具有在空间中可以任意平移的性质.大小相等且方向相同,特别特别:模为1的向量称为单位向量.模为0的向量称为零向量.它的方向可以看作是任意的.1.向量加法向量加法.(1)平行四边形法则设有 (若起点不重合,可平移至重合).作以 为邻边的平行四边形,对角线向量,称为 的和,记作(2)三角形法则将 之一平行移动,使 的起点与 的终点重合,则由 的起点到 的终点所引的向量为(二二)向量的加减法向量的加减法2.向量加法的运算规律向量加法的运算规律.(1)交换律:(2)结合律:例如例如:3.向量减法向量减法.(1)负向量:与 模相同而方向相反的向量,称为 的负向量.记作(2)向量减法.规定:平行四边形法则平行四边形法则.将 之一平移,使起点重合,作以 为邻边的平行四边形,对角线向量,为 三角形三角形法则法则.将 之一平移,使起点重合,由 的终点向 的终点作一向量,即为 1.定义定义实数与向量 的 为一个向量.其中:当 0时,当 0时,当=0时,2.数与向量的乘积的运算规律数与向量的乘积的运算规律:(1)结合律:(2)分配律:(0)(三三)数与向量的乘法数与向量的乘法结论结论:设 表示与非零向量 同向的单位向量.则或定理定理1 :两个非零向量 平行存在唯一实数，使得(方向相同或相反)例例1 :在平行四边形ABCD中,设AB=,AD=试用 表示向量MA,MB,MC 和MD.其中,M是平行四边形对角线的交点.解:=AC=2MC有MC=又 =BD=2MD有MD=MB=MD MA=MC DABCM1.点在轴上投影点在轴上投影设有空间一点A及轴u,过A作u轴的垂直平面,平面与u轴的交点A叫做点A在轴u上的投影.AAu(四四)向量在轴上的投影向量在轴上的投影2.向量在轴上的投影向量在轴上的投影.设有向线段AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别为点A 和B.定义定义BBAAu向量AB在轴u上的投影向量或射影向量.称有向线段A B 为如果向量e为与轴u的正方向的单位向量，则称 x 为向量 AB 在轴u上的投影，记作即则向量 AB 的投影向量 AB 有：BBAAue显然；|当 与u轴同向时，当 与u轴反向时，3.两向量的夹角两向量的夹角设有非零向量(起点同).规定：正向间位于0到之间的那个夹角为 的夹角,记为 或(1)若 同向，则(2)若 反向，则(3)若 不平行，则4.向量的投影性质向量的投影性质.定理定理 2.(投影定理)设向量AB与轴u的夹角为则 PrjuAB=|AB|cos BBAAuB1定定理理3 两个向量的和在轴u上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和。推论推论:BBAAuCC即即定定理理4:实数与向量 的乘积在轴u上的投影，等于乘以向量 在该轴上的投影。二二.空间直角坐标系与空间向量的坐标表示空间直角坐标系与空间向量的坐标表示1.空间直角坐标系的建立空间直角坐标系的建立ozxyzxy x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)组成了一个空间直角坐标系,又称笛卡尔(Descarstes)坐标系，点O叫做坐标原点.o(一一)空间直角坐标系空间直角坐标系2.坐标面坐标面.由三条坐标轴的任意两条确定的平面,称为坐标面,分别叫x y面.y z面、z x面,它们将空间分成八个卦限.zIVVIVVII0 xyVIIIIIIIII1.点在空间直角坐标系中的坐标表示点在空间直角坐标系中的坐标表示.RQP (x,y,z)记:点M为M(x,y,z)OxyzMxyz(二二)空间向量的表示空间向量的表示(1)若点M在yz面上,则 x=0;在zx面上,则 y=0;在xy面上,则 z=0.(2)若点M在 x 轴上,则 y=z=0在 y 轴上,则 x=z=0在 z 轴上,则 x=y=0特别特别:2.空间向量的坐标表示空间向量的坐标表示(1).起点在原点的向量OM设点 M(x,y,z)以 i,j,k 分别表示沿 x,y,z轴正向的单位向量,称为基本单位向量.OM=OA+AN+NM=OA+OB+OC=xi+yj+zkx,y,z,分别是OM 在三坐标轴上的投影,称为OM 的坐标.zijkMoxyCABzyxN简记为 OM=(x,y,z)称为向量OM的坐标表示式.zijkMoxyCABzyxN由于：从而：(1)(2).起点不在原点O的任一向量 a=M1M2设点 M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)a=M1M2=OM2 OM1=(x2 i+y2 j+z2 k)(x1 i+y1 j+z1 k)=(x2 x1)i+(y2 y1)j+(z2 z1)k即 a=(x2 x1,y2 y1,z2 z1)为向量a的坐标表示式记 ax=x2 x1,ay=y2 y1,az=z2 z1分别为向量 a 在三个坐标轴上的投影,称为a的坐标.zxyM1M2aoa=M1M2=(x2 x1,y2 y1,z2 z1)两点间距离公式：由此得(2)(3)(3).运算性质设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),且为常数 a b=(ax bx,ay by,az bz)a=(ax,ay,az)证明:a+b=(ax i+ay j+az k)+(bxi+by j+bz k)=(ax i+bxi)+(ay j+by j)+(az k+bz k)=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k a+b=(ax+bx,ay+by,az+bz)(4)两向量平行的充要条件.设非零向量 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),即ax=bx,ay=by,az=bz,于是注:在(*)式中,规定若某个分母为零相应的分子也为零.a/b(*)a/b a=b则(为常数)例如：(4,0,6)/(2,0,3)1.方方向向角角:非零向量a 与x,y,z 轴正向夹角,称为a 的方向角.2.方向方向余弦余弦:方向角的余弦 cos,cos,cos 称为方向余弦.3.向量的模与方向余弦的坐标表达式向量的模与方向余弦的坐标表达式故有 ax=|a|cos ay=|a|cos az=|a|cosayzx0设a=(ax,ay,az,)(三三)向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式又：(4)(5)由(5)式可得cos2+cos2+cos2=1(6)设ao是与a同向的单位向量ao=(cos,cos,cos)(7)例例2.已知两点M1(2,2,)和M2(1,3,0).计算向量M1 M2的模,方向余弦和方向角.解:M1 M2=(1,1,)|M1 M2|=例例3:在z轴上求与两点 A(4,1,7)和B(3,5,2)等距离的点.解:设该点为M(0,0,z)由题设|MA|=|MB|.即:解得:所求点为 M(0,0,)例4 证明以M1(4,3,1),M2(7,1,2),M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解:由|M2 M3|=|M3 M1|,所以 M1 M2 M3 是等腰三角形.2 向量的数量积向量的数量积.向量积及混合积向量积及混合积一、一、向量的数量积向量的数量积例例如如:设设力力F 作作用用于于某某物物体体上上,物物体体有有一一段段位位移移S,求功的表示式求功的表示式.解解:由由物物理理知知,与与位位移移平平行行的的分分力力作作功功,与位移垂直的分力不作功与位移垂直的分力不作功.于是于是W=|F|cos|S|=|F|S|cos sF且且 当当时，做正功；时，做正功；当当时，做负功；时，做负功；当当时，不做功。时，不做功。设有两个向量设有两个向量 a、b,它们的夹角为它们的夹角为,即即:a b=|a|b|cos 1.定义定义1:将数值将数值|a|b|cos 称为称为a与与b的的数量积数量积(或或 点积点积),记作记作 a b.内积内积注注1:当当 a 0时时,|b|cos =Prjab当当 b 0时时,|a|cos =Prjba于是于是 a b=|a|Prjab=|b|Prjba注注2:a a=|a|2例如例如:i i=j j=k k =1a b=|a|b|cos(1)交换律 a b=b a (2)分配律 (a+b)c=a c+b c(3)数量积满足如下结合律:(a)b=a (b)=(a b),为实数2.数量积的性质数量积的性质(4)a a 0，a=0且a a=0 a b=|a|b|cos a b=|a|Prjab=|b|Prjba证证:必要性必要性:设设a b,充分性:设a b=|a|b|cos=0;由由a 0,b 0,得得:cos =0 ,即即 a b例如例如:i、j、k 互相垂直互相垂直,所以所以i j=j k=i k =0(5)两个非零向量两个非零向量a,b 垂直垂直 a b=0如图,利用数量积证明三角形的余弦定理|c|2=|a|2+|b|2 2|a|b|cos证证:|c|2=|a b|2=(a b)(a b)=a a+b b 2 a b=|a|2+|b|2 2|a|b|cos|c|2=|a|2+|b|2 2|a|b|cos故故:abc例例1.由于c=a b,于是=a (a b)b (a b)3.数量积的坐标表示式数量积的坐标表示式设设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),则则a b=(ax i+ay j+az k)(bx i+by j+bz k)=ax i (bx i+by j+bz k)+ay j (bx i+by j+bz k)+az k (bx i+by j+bz k)=ax bx i i+ax by i j+ax bz i k +ay bx j i+ay by j j+ay bz j k+az bx k i+az by k j+azbz k k=ax bx+ay by+az bz得公式得公式:a b=ax bx+ay by+az bz(1)推论推论:两个非零向量两个非零向量a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz)垂直垂直ax bx+ay by+az bz=04.数量积在几何中的应用数量积在几何中的应用设 a=(ax,ay,az),b=(bx,by,bz),(1)求求 a 在在 b 上的投影上的投影.Prjba=|a|由由|a|b|=a b,得得(2)已知已知:(2)求两向量求两向量 a,b 的夹角的夹角由|a|b|cos=a b,知(3)已知三点 M(1,1,1),A(2,2,1)和B(2,1,2),求AMB.AMB即为向量MA与MB的夹角.由MA=(1,1,0),MB=(1,0,1)得得:cosAMB=所以所以例例2解解:由力学规定由力学规定:力力F 对支点对支点O的的力矩是一个向量力矩是一个向量M.其中其中:FOQPL(1)|M|=|OQ|F|=|OP|sin|F|=|OP|F|sin(2)M的方向的方向:垂直于垂直于OP与与F 所在的平面所在的平面,指向满足指向满足右手规则右手规则.即即:右手四指从右手四指从OP以不超过以不超过 的角转向的角转向F 握拳握拳,大拇指的指向就是大拇指的指向就是M 的方向的方向.设设O为为一一根根杠杠杆杆L的的支支点点,有有一一个个力力F 作作用用于于这这杠杠杆杆上上P点点处处,F 与与OP的的夹夹角角为为 ,考考虑虑 F 对对支支点点 O 的力矩的力矩.例如例如:二、两向量的向量积二、两向量的向量积 abc=a b(1)|c|=|a|b|sin(2)c 与与a、b所在的平面垂直所在的平面垂直,(即即 c a且且c b).c 的指向按右手规则从的指向按右手规则从 a 转向转向 b 来确定来确定.则将向量则将向量c 称为称为 a 与与 b 的的向量积向量积,记作记作:a b.即即:c=a b注注:向量积的模的几何意义向量积的模的几何意义.以以a、b为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形,其其面面积积等等于于|a|b|sin,所以所以a b的模的模,等于以等于以a、b为邻边的平行四边形的面积为邻边的平行四边形的面积.1.定义定义1:设有两个向量设有两个向量 a、b,夹角为夹角为,作一个向量作一个向量c,使得使得向量积的性质向量积的性质(1)a a=0(2)反交换律反交换律 a b=b a(3)分配律分配律 a (b+c)=a b+a c(4)向量积与数乘满足结合律向量积与数乘满足结合律:(b+c)a=b a+c a(a)b=a (b)=(a b),为实数为实数|c|=|a|b|sin 必要性必要性:设设a、b 平行平行,则则 =0或或 =.于是于是|a b|=|a|b|sin =0所以所以 a b=0 充分性充分性:设设 a b=0 则则|a b|=|a|b|sin =0由由|a|0,|b|0,得得 =0或或 =.所以所以 a 与与 b 平行平行证证:(5)两个非零向量两个非零向量 a、b 平行平行 a b=0 例如例如:i i=j j=k k=0 i j=k j i=k k j=i i k=jkjixyzk i=jj k=i2、向量积的坐标表示式、向量积的坐标表示式设设 a=(ax,ay,az)b=(bx,by,bz)则则a b=(ax i+ay j+az k)(bx i+by j+bz k)=ax i (bx i+by j+bz k)+ay j (bx i+by j+bz k)+az k (bx i+by j+bz k)=ax bx(i i)+ax by(i j)+ax bz(i k)+ay bx(j i)+ay by(j j)+ay bz(j k)+az bx(k i)+az by(k j)+azbz(k k)=ax by k+ax bz(j)+ay bx(k)+ay bz i+az bx j+az by(i)=(ay bz az by)i+(az bx ax bz)j+(ax by ay bx)k得公式得公式:a b=(aybz azby)i+(azbx axbz)j+(axby ay bx)k求垂直于向量求垂直于向量 a=(2,2,1)和和b=(4,5,3)的向量的向量c.a b 同时垂直于同时垂直于a、b=6i+4j+10k 8k 6j 5i=i 2j+2k取取 c=a b=(1,2,2).显显然然,对对于于任任意意 0 R,c=(,2,2)也与也与a、b垂直垂直.例例3:解解:而而已知已知 ABC的顶点分别是的顶点分别是A(1,2,3),B(3,4,5),C(2,4,7),求求 ABC的面积的面积.xyzABCo由向量积的定义由向量积的定义.而而AB=(2,2,2)AC=(1,2,4)所以所以=4i 6j+2k于是于是例例4:解解:三、两向量的混和积三、两向量的混和积1.定义定义2 称称 与与 的向量积的向量积 再与向量再与向量 的数量积的数量积为向量为向量,()即即的混合积的混合积，记作，记作 设有三个向量设有三个向量,则有则有设向量设向量 =(ax,ay,az),=(cx,cy,cz),=(bx,by,bz),2.混合积的坐标表示式混合积的坐标表示式ijk,cxcycz,ijk 混合积性质：混合积性质：(1)=事实上，事实上，若若 ,在同一个平面上，在同一个平面上，则则 垂直于它们所在的平面，垂直于它们所在的平面，故故 垂直于垂直于 ,即即()=0(2),共面 =0 混混合合积积()的的绝绝对对值值等等于于以以 ,为为棱棱的平行六面体的体积的平行六面体的体积 V 的数值。的数值。h平行六面体平行六面体所以，所以，=|()|3、混合积、混合积()的几何意义的几何意义hV=S h=底面积底面积高高 h 为为 在在 上的投影的绝对值上的投影的绝对值a b=|a|Prjab例例5:已知空间内不在一个平面上的四点已知空间内不在一个平面上的四点 A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2),C(x 3,y 3,z 3),D(x 4,y 4,z 4)求四面体求四面体 ABCD 的体积。的体积。解：解：四面体四面体 ABCD 的体积等于以的体积等于以 AB,AC 和和 AD 为棱的平行六面体体积的六分之一，为棱的平行六面体体积的六分之一，AB=(x2 x1,y2 y1,z2 z1),AC=(x3 x1,y3 y1,z3 z1),AD=(x4 x1,y4 y1,z4 z1),即即所以，所以，V=其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。其中行列式前的符号必须与行列式的符号一致。