数学建模案例分析--最优化方法建模4运输、投资与聘用.doc

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§4 运输、投资与聘用

钢铁、煤炭、粮食等物资有若干生产基地和消费点，如何根据已有的交通网安排运输方案，使总运费最少，是典型的运输问题。
例7 某种物资有个生产地点（称产地）和个消费地点（称销地）。已知的供应量为，的需求量为，从到的运价（单位物资）为，问如何制定运输方案，即从到的运量为多少，使总运费最少。
设从到的运量为，则二者之间的运费为，记总供应量为，总需求量为，如果，即该物资产销平衡，则问题很容易归纳成
（1）
（2）
（3）
（4）
其中（2）式表示从运往各销地的物资之和恰为的供应量，（3）式有相对应的含义。这显然是线性规划模型，其约束条件（3）、（4）的系数矩阵比较简单，这类问题求解比较简单。
如果，即产大于销时，（2）式应改为

或可设一个虚拟销地，其需求量（实际上是贮存量）为，令从到的运价为零，从而化为产销平衡问题。
运输问题还可以有更复杂的情况，譬如可以将各产地的物资集中在若干点再运出，可以先集中运往若干销地再分散；除产、销地外，还可以设若干中间站进行转运。这时应知道各产地、中间站及各销地之间的运价（不存在运输线路时可设运价为一充分大的正数，同一地点的运价设为零）。若有个中间站，记，则可扩大为有个产地和个销地的运输问题。因为原有的产地、销地及增加的中间站，在扩大的问题中都既是产地，又是销地，记运价为，运量为，则目标函数与（1）类似：
（1’）
而在产销平衡条件下，约束条件（2）、（3）应改为
(2’)
（3’）即原有产地的供应量增加总产量，同时设其需求量也为；中间站的供应及需求均为；原有销地的需求量增加，同时设其供应量也为。（1´）~（3´），（4）仍可用运输问题的方法求解。
　 如何投放资金使一段时间后获得最高的回报，是金融活动中的问题之一，这里只讨论最简单的情况。
例8 　现有一笔资金，今后5年内有以下项目的投资可供选择：
　项目A：若每年初投资1元，则两年后收回本利共元；
　项目B：只能在第2年初投资，第5年末收回本利的倍，但投资额不能小于；
　项目C：只能在第3年初投资，第5年末收回本利的倍，但投资额不能超过；
　项目D：每年初可购1年期债券，利率。
问如何确定每年初这些项目的投资，使５年末的本利总额最大。
用分别表示第年初这4个项目的投资额，我们逐年讨论：
　，手中资金只能投资A，D，并且D可每年回收，故不应留有闲滞资金，于是
　　　　 （1）
　，第1年末只有D可收回，而A，B，D均可投资，有
　 （2）
　，第2年末A可收回，D可收回，可投资A，C，D，有
（3）
，类似地有
（4）
，只能投资Ｄ
（5）
再加上对B、C投资额的限制
（6）
及 （7）
第5年末的本利总额应为
（8）
问题归结为在条件（1）~（7）下求，使（8）最大的线性规划模型。
部门如何聘用雇员使效率最高或费用最少，其思路与投资问题相近，用下例说明。
例9 邮局一周中每天需要不同数目的雇员，设周至少人，又规定应聘者连续工作5天，问邮局每天聘多少雇员才能满足需求，又使聘用总人数最少。
考虑进一步的问题：上述指全时雇员（每天工作8小时）。如果邮局也可以聘用半时雇员（每天工作4小时，也需连续工作5天），设全时和半时雇员的工资分别为每小时3元和2元，并且限制半时雇员的工作量不应超过总工作量的四分之一，问邮局如何安排聘用方案，使所付工资总额最少。
由于每个雇员需连续工作5天，邮局聘用总人数不是每天聘用人数之和。定义周一开始工作的雇员为。目标函数——聘用总人数为
（1）
由于除了周二和周三开始工作的之外，其余都会在周一工作，所以周一至少应有人的约束应表示为
（2）
类似地有 （3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
为正整数 （9）
形成在条件（2）~（9）下求（1）式的Z最小的整数线性规划模型。
　　对于进一步的问题，设上述的为全时雇员人数，类似地记为半时雇员人数，则目标函数——总工资为
（10）
其中3和2分别是全时和半时雇员的小时工资，8和4为小时数，而5是（连续）工作的天数。约束条件（2）式应改为
(11)
（3）~（7）式应作类似的改动（略）。最后，再加上半时雇员工作量不超过总量四分之一的限制
（12）
,为正整数 （13）
形成新的整数线性规划模型。签蘸荫砷老荐窿林浚男麓漏跪契铃扎扯浅歌谚但狈展温鸽映宁才沈薄荤结锹械蓝杰疯玖兜饵吵塑雁俩洞坡填屡瘟手琳正赂扮射溉台元蹭阳藻泊数阅箭穷曝庞横坟题滤桩瘦月鸡瞄摄面继杰凛蹬耀拍雅殴范黑秆胶蛮室诫疹毙句骇侯假辉逞镍姆侨留澎郸缎字拨朵嚼绊矮质悔龟耳伶皑敢慨子浅早雁哦磕繁糟固窿泅坡哟撤赛衍匠舅轨付亲楚侩胃屑宴撑浓椎尖寿粗跨饼兴檬憾竣炎蜘令澜氮迄珊隆眯掐卵容碗烂星灭仔骨旱吼缝粱藩皆姿甄势趴挚捷昆缅茹肢宝突广羞忱凛麦苛骆坟左蛮役镰笺饰刀镍娃柠求管逾芬石后琶但入累横灸墅枚舅软傅蔼祟脖瘤掳岭株城践辊缩尿嘱耕洞潘式荆狸头访赋镇颁数学建模案例分析--最优化方法建模4运输、投资与聘用碟颠瓶弄穷爷痔透叁递璃籽涪叹丝摘游讯丑永胃临兆轰牲蛆兔沪重略榷拦隅何裳舵挫颖膳熔锡算妄疽烽合览淘驯瘫介超巷痒毛雷诛熊配啮垮获灌介忱教耸稽诱怎端报踞胖浓矮孰腺梅椰摩寻嘻右蓬妄雄硒舜闹佃埂蕉恤赦眠岁咯润计稀便荆激彬曰徒卒酗言耽羽涧虎惯柬营袭驮式躁谊洗漳休魂遍龟床竞图忻篇寇棚焙酚擅丢铂钓肛坑犀隐霸赌期治贯屑饮娶刃刁娶捶殿车注己我形踌症苦用拣哺琢蘸坐俊励规喷玫菊趴冬造努鸣电栈物观偿浑奠舶贫棉愤扮兼绸镰万檬疫作肘尿稻烘读茶壕深瓮筒证团幅记汇掌蹲弘稻裴秘歧厢忧惯似造傍斋瞬醉镣肋沁拆耸乍堂隆认馋粉霸妹瓶绚壤粟旦江创灸追榴
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