资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与A对应，则角α的大小为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，则tanB等于（ ）
A． B． C． D．
3．如图，BD是⊙O的直径，圆周角∠A = 30°，则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．80°
4．如图，正方形ABCD的顶点C、D在x轴上，A、B恰好在二次函数y＝2x2﹣4的图象上，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
5．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是（ ）
A．15π B．20π C．24π D．30π
6．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A．0或4 B．4或8 C．0 D．4
7．下列函数的对称轴是直线的是（ ）
A． B． C． D．
8．反比例函数的图像经过点，，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．不能确定
9．如图所示，将矩形纸片先沿虚线AB按箭头方向向右对折，接着对折后的纸片沿虚线CD向下对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，则打开后的展开图是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于
A．44° B．60° C．67° D．77°
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．正方形的边长为，点是正方形的中心，将此正方形沿直线滚动（无滑动），且每一次滚动的角度都等于90°.例如：点不动，滚动正方形，当点上方相邻的点落在直线上时为第1次滚动.如果将正方形滚动2020次，那么点经过的路程等于__________．（结果不取近似值）
12．抛物线y＝3（x+2）2+5的顶点坐标是_____．
13．x=1是关于x的一元二次方程x2+mx﹣5=0的一个根，则此方程的另一个根是 ．
14．如图，是锐角的外接圆，是的切线，切点为，，连结交于，的平分线交于，连结．下列结论：①平分；②连接，点为的外心；③；④若点，分别是和上的动点，则的最小值是．其中一定正确的是__________(把你认为正确结论的序号都填上)．
15．将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是_____．
16．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（﹣4，0），半径为1的动圆⊙P沿x轴正方向运动，若运动后⊙P与y轴相切，则点P的运动距离为______．
17．小王存银行5000元，定期一年后取出3000元，剩下的钱继续定期一年存入，如果每年 的年利率不变，到期后取出2750元，则年利率为__________．
18．如图，在中若，，则__________，__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图①是图②是其侧面示意图(台灯底座高度忽略不计)，其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？(参考数据：取1.73)．
20．（6分）如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(3，0)，B(1，0)，交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动(点P不与A重合)，过点P作PD∥y轴交直线AC于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；
（3）△APD能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点P坐标；若不能，请说明理由．
21．（6分）新区一中为了了解同学们课外阅读的情况，现对初三某班进行了“你最喜欢的课外书籍类别”的问卷调查．用“"表示小说类书籍，“”表示文学类书籍，“”表示传记类书籍，“”表示艺术类书籍．根据问卷调查统计资料绘制了如下两副
不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息解答以下问题：
（1）本次问卷调查，共调查了 名学生，请补全条形统计图；
（2）在接受问卷调查的学生中，喜欢“”的人中有2名是女生，喜欢“”的人中有2名是女生，现分别从喜欢这两类书籍的学生中各选1名进行读书心得交流，请用画树状图或列表法求出刚好选中2名是一男一女的概率．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于，B两点，与y轴交于点，对称轴与x轴交于点H.
（1）求抛物线的函数表达式
（2）直线与y轴交于点E，与抛物线交于点P,Q（点P在y轴左侧，点Q 在y轴右侧），连接CP，CQ，若的面积为，求点P，Q的坐标.
（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G逆时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上，若存在，请直接写出点K的坐标不存在，请说明理由.
23．（8分）如图，，DB平分∠ADC，过点B作交AD于M．连接CM交DB于N．
（1）求证：；（2）若，求MN的长．
24．（8分）已知关于的一元二次方程 (是常量)，它有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）请你从或或三者中，选取一个符合(1)中条件的的数值代入原方程，求解出这个一元二次方程的根．
25．（10分）镇江某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，若按每千克60元出售，则平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量增加10千克，若专卖店销售这种特产想要平均每天获利2240元，且销量尽可能大，则每千克特产应定价多少元？
26．（10分）已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点 (－3，0)，(2，－5)．
(1)试确定此二次函数的解析式；
(2)请你判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【详解】分析：先根据题意确定旋转中心，然后根据旋转中心即可确定旋转角的大小．
详解：如图，连接A′A，BB′，分别A′A，BB′作的中垂线，相交于点O.
显然，旋转角为90°，
故选C．
点睛：考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心，难度不大．先找到这个旋转图形的两对对应点，连接对应两点，然后就会出现两条线段，分别作这两条线段的中垂线，两条中垂线的交点就是旋转中心.
2、B
【解析】如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=24，
过A作AD⊥BC于D，则BD=12，
在Rt△ABD中，AB=13，BD=12，则，
AD=，
故tanB=.
故选B．
【点睛】考查的是锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质及勾股定理．
3、C
【解析】由BD为⊙O的直径，可证∠BCD=90°，又由圆周角定理知，∠D=∠A=30°，即可求∠CBD．
【详解】解：如图，连接CD，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠D=∠A=30°，
∴∠CBD=90°-∠D=60°．
故选C．
【点睛】
本题利用了直径所对的圆周角是直角和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
4、B
【分析】根据抛物线和正方形的对称性求出OD＝OC，并判断出S阴影＝S矩形BCOE，设点B的坐标为（n，2n）（n＞0），把点B的坐标代入抛物线解析式求出n的值得到点B的坐标，然后求解即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，抛物线y＝2x2﹣4和正方形都是轴对称图形，且y轴为它们的公共对称轴，
∴OD＝OC＝，S阴影＝S矩形BCOE，
设点B的坐标为（n，2n）（n＞0），
∵点B在二次函数y＝2x2﹣4的图象上，
∴2n＝2n2﹣4，
解得，n1＝2，n2＝﹣1（舍负），
∴点B的坐标为（2，4），
∴S阴影＝S矩形BCOE＝2×4＝1．
故选：B．
【点睛】
此题考查的是抛物线和正方形的对称性的应用、求二次函数上点的坐标和矩形的面积，掌握抛物线和正方形的对称性、求二次函数上点的坐标和矩形的面积公式是解决此题的关键．
5、A
【解析】试题分析：∵圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，
∴这个圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5.
∴这个圆锥的侧面积=．
故选A．
考点：1.简单几何体的三视图；2.圆锥的计算．
6、D
【解析】根据已知一元二次方程有两个相等的实数根得出k≠0，，求出k的值即可．
【详解】因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，所以，，所以．故选D．
【点睛】
此题考查根的判别式，解题关键在于利用判别式解答.
7、C
【分析】根据二次函数的性质分别写出各选项中抛物线的对称轴，然后利用排除法求解即可．
【详解】A、对称轴为y轴，故本选项错误；
B、对称轴为直线x=3，故本选项错误；
C、对称轴为直线x=-3，故本选项正确；
D、∵=∴对称轴为直线x=3，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称轴的确定，是基础题．
8、B
【分析】根据点的横坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出y1、y2的值，比较后即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，，
∴y1=3，y2=，
∵3＞，
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据点的横坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出点的纵坐标是解题的关键．
9、D
【分析】根据第三个图形是三角形的特点及折叠的性质即可判断.
【详解】∵第三个图形是三角形，
∴将第三个图形展开，可得，即可排除答案A，
∵再展开可知两个短边正对着，
∴选择答案D，排除B与C．
故选D．
【点晴】
此题主要考查矩形的折叠，解题的关键是熟知折叠的特点.
10、C
【解析】分析：△ABC中，∠ACB=90°，∠A=22°，
∴∠B=90°－∠A=68°．
由折叠的性质可得：∠CED=∠B=68°，∠BDC=∠EDC，
∴∠ADE=∠CED﹣∠A=46°．
∴．
故选C．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据题意，画出图形，求出每次滚动点O的运动路程乘滚动次数即可求出结论．
【详解】解：如下图所示，
∵正方形的边长为
∴AB=AD，BO=
∴BD=cm
∴BO=cm
∵每一次滚动的角度都等于90°
∴每一次滚动，点O的运动轨迹为以90°为圆心角，半径为cm的弧长
∴点经过的路程为=
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是求一个点在运动过程中经过的路程，掌握正方形的性质和弧长公式是解决此题的关键．
12、（﹣2，5）
【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标．
【详解】解：由y＝3（x+2）2+5，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣2，5）．
故答案为：（﹣2，5）．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．
13、-5
【解析】把代入方程得：，解得：，
∴原方程为：，解此方程得：，
∴此方程的另一根为：.
14、
【分析】如图１，连接，通过切线的性质证，进而由 ，即可由垂径定理得到Ｆ是的中点，根据圆周角定理可得，可得平分；由三角形的外角性质和同弧所对的圆周角相等可得，可得，可得点为得外心；如图，过点Ｃ作 交的延长线与点通过证明，可得；如图，作点关于的对称点 ，当点在线段上，且时，．
【详解】如图，连接，
∵是的切线，
∴ ，∵
∴，且为半径
∴垂直平分
∴
∴
∴平分，故正确
点的外心，故正确；
如图，过点Ｃ作 交的延长线与点
，故正确；
如图，作点关于的对称点 ，
点与点关于对称，
当点在线段上，且时，，
且
∴的最小值为；故正确．
故答案为：．
【点睛】
本题是相似综合题，考查了圆的相关知识，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
15、y=x1+1
【解析】分析：先确定二次函数y=x1﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
详解：二次函数y=x1﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，1），所以平移后的抛物线解析式为y=x1+1．
故答案为y=x1+1．
点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
16、3或1
【解析】利用切线的性质得到点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（-1，0）或（1，0），然后分别计算点（-1，0）和（1，0）到（-4，0）的距离即可．
【详解】若运动后⊙P与y轴相切，
则点P到y轴的距离为1，此时P点坐标为（-1，0）或（1，0），
而-1-（-4）=3，1-（-4）=1，
所以点P的运动距离为3或1．
故答案为3或1．
【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．
17、
【分析】设定期一年的利率是，则存入一年后的本息和是元，取3000元后余元，再存一年则有方程，解这个方程即可求解．
【详解】解：设定期一年的利率是，
根据题意得：一年时：，
取出3000后剩：，
同理两年后是，
即方程为，
解得：，（不符合题意，故舍去），即年利率是．
故答案为：10%．
【点睛】
此题考查了列代数式及一元二次方程的应用，是有关利率的问题，关键是掌握公式：本息和本金利率期数），难度一般．
18、40° 100°
【分析】根据等边对等角可得，根据三角形的内角和定理可得的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：40°，100°．
【点睛】
本题考查等边对等角及三角形的内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、此时台灯光线是最佳
【解析】如图，作于，于，于．解直角三角形求出即可判断．
【详解】解：如图，作于，于，于．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，∵，
∴，
∴
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴此时台灯光线为最佳．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
20、（1）y＝x2-4x＋1；（2）点P在运动的过程中，线段PD长度的最大值为；（1）能，点P的坐标为：(1，0)或（2，-1）．
【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；
（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；
（1）分情况讨论①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；
【详解】（1）把点A(1，0)和点B(1，0)代入抛物线y＝x2＋bx＋c，
得：
解得
∴y＝x2-4x＋1．
（2）把x＝0代入y＝x2-4x＋1，得y＝1．
∴C(0，1)．
又∵A(1，0)，
设直线AC的解析式为：y＝kx＋m，
把点A，C的坐标代入得：
∴直线AC的解析式为：y＝－x＋1．
PD＝-x＋1- (x2-4x＋1)＝-x2＋1x＝＋．
∵0<x<1，
∴x＝时，PD最大为．
即点P在运动的过程中，线段PD长度的最大值为．
（1）①∠APD是直角时，点P与点B重合，
此时，点P（1，0），
②∵y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
∵A（1，0），
∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD＝45°+45°＝90°，
此时，点P（2，﹣1），
综上所述，点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；
【点睛】
本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，直角三角形存在性问题时需要分类讨论.
21、（1）20；补全图形见解析；（2）．
【分析】（1）根据D的人数除以占的百分比得到调查的总学生数，进而求出C的人数，补全条形统计图即可；；
（2）列表可得总的情况数，找出刚好选中一男一女的情况，即可求出所求的概率．
【详解】（1）20；补全条形统计图如下：
（2）在喜欢”的人中2名女生、1名男生分别记作、、，在喜欢“”的人中2名女生、2名男生分别记作，
列表如下：
由表知，共有12种等可能的结果，其中选中一男一女的结果有6种，(刚好选中2名是一男一女)．
【点睛】
此题考查了列表法与树状图法，条形统计图，以及扇形统计图，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22、（1）；（2）；（3）
【分析】（1）利用对称轴和A点坐标可得出，再设，代入C点坐标，求出a的值，即可得到抛物线解析式；
（2）求C点和E点坐标可得出CE的长，再联立直线与抛物线解析式，得到，设点P,Q的横坐标分别为，利用根与系数的关系求出，再根据的面积可求出k的值，将k的值代入方程求出，即可得到P、Q的坐标；
（3）先求直线AC解析式，再联立直线PQ与直线AC，求出交点G的坐标，设，,过G作MN∥y轴，过K作KN⊥MN于N，过K'作K'M⊥MN于M，然后证明△MGK'≌△NKG，推出MK'=NG，MG=NK，建立方程求出的坐标，再代入抛物线解析式求出m的值，即可得到K的坐标.
【详解】解：（1）∵抛物线对称轴，点
∴
设抛物线的解析式为
将点代入解析式得：，
解得，
∴抛物线的解析式为,即
（2）当x=0时，
∴C点坐标为(0,2)，OC=2
直线与y轴交于点E，
当x=0时，
∴点，OE=1
∴
联立和得：
整理得：
设点P,Q的横坐标分别为
则是方程的两个根,
∴
∴
∴的面积
解得（舍）
将k=3代入方程得：
解得：
∴
∴
（3）存在，
设AC直线解析式为，
代入A(4,0)，C(0,2)得
，解得，
∴AC直线解析式为
联立直线PQ与直线AC得
，解得
∴
设，,
如图，过G作MN∥y轴，过K作KN⊥MN于N，过K'作K'M⊥MN于M，
∵∠KGK'=90°，
∴∠MGK'+∠NGK=90°
又∵∠NKG+∠NGK=90°
∴∠MGK'=∠NKG
在△MGK'和△NKG中，
∵∠M=∠N=90°，∠MGK'=∠NKG，GK'=GK
∴△MGK'≌△NKG（AAS）
∴MK'=NG，MG=NK
∴，解得
即K'坐标为(,)
代入得：
解得：
∴K的坐标为或
【点睛】
本题考查二次函数的综合问题，是中考常考的压轴题型，难度较大，需要熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数与一元二次方程的关系，第（3）题构造全等三角形是解题的关键.
23、（1）见解析；（2）.
【分析】（1）通过证明，可得，可得结论；
（2）由平行线的性质可证即可证，由和勾股定理可求MC的长，通过证明，可得，即可求MN的长．
【详解】证明：（1）∵DB平分，
，且，
（2）
，且
，且，
，
且
【点睛】
考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．
24、（1）；（2），
【分析】（1）由一元二次方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围；
（2）在k的取值范围内确定一个k的值，代入求得方程的解即可．
【详解】解：（1）由题意，得
整理，得，所以的取值范围是；
（2）由(1)，知，
所以在或或三者中取，
将代入原方程得：，
化简得：，
因式分解得：，
解得两根为，．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式及因式分解法解一元二次方程的知识，题目难度一般，需要注意计算的准确度和正确确定k的值．
25、54
【解析】设定价为x元，利用销售量×每千克的利润=2240元列出方程求解即可.
【详解】设定价为x元.根据题意可得，
解之得：，
∵销售量尽可能大
∴x=54
答：每千克特产应定价54元.
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是弄懂题意，找出题目中的等量关系，表示出销售量和每千克的利润，再列出方程．
26、（1）y=﹣x2﹣2x+1；（2）点P（﹣2，1）在这个二次函数的图象上，
【分析】（1）根据给定点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）代入x=-2求出y值，将其与1比较后即可得出结论．
【详解】（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+1；
∵二次函数的图象经过点（﹣1，0），（2，﹣5），则有：
解得；
∴y=﹣x2﹣2x+1．
（2）把x=-2代入函数得y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+1=﹣4+4+1=1，
∴点P（﹣2，1）在这个二次函数的图象上，
【点睛】
考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键.
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