资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图,在中，点分别在边上,且为边延长线上一点,连接,则图中与相似的三角形有( )个
A． B． C． D．
2．下列语句中正确的是（ ）
A．长度相等的两条弧是等弧 B．平分弦的直径垂直于弦
C．相等的圆心角所对的弧相等 D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠C＝40°，则∠OAB的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
4．一次函数y=kx+k（k≠0）和反比例函数在同一直角坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的直径，，是上的两点，且平分，分别与，相交于点，，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是的切线，切点分别是．若，则的长是( )
A．2 B．4 C．6 D．8
7．一组数据3，7，9，3，4的众数与中位数分别是（ ）
A．3，9 B．3，3 C．3，4 D．4，7
8．二次函数的图象如图所示，其对称轴为，有下列结论：①；②；③；④对任意的实数，都有，其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②④
9．下列运算正确的是（ ）
A．x6÷x3＝x2 B．（x3）2＝x5 C． D．
10．下列所给图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．（2016湖北省咸宁市）如图，边长为4的正方形ABCD内接于点O，点E是上的一动点（不与A、B重合），点F是上的一点，连接OE、OF，分别与AB、BC交于点G，H，且∠EOF=90°，有以下结论：
①；
②△OGH是等腰三角形；
③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；
④△GBH周长的最小值为．
其中正确的是________（把你认为正确结论的序号都填上）．
12．一元二次方程x2﹣5x=0的两根为_________．
13．如图，在中，，，，用含和的代数式表示的值为：_________．
14．某中学为了了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图)．根据频率分布直方图推测，这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________．
15．已知三点A（0，0），B（5，12），C（14，0），则△ABC内心的坐标为____．
16．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，垂足为E，且tan∠ADE＝，AC＝5，则AB的长____．
17．如图，正方形EFGH的四个顶点分别在正方形ABCD的四条边上，若正方形EFGH与正方形ABCD的相似比为，则（）的值为_____.
18．如图，点，，均在的正方形网格格点上，过，，三点的外接圆除经过，，三点外还能经过的格点数为 ．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，抛物线的对称轴x＝1，与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．
（1）求这个二次函数的解析式及A、B点的坐标．
（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形；若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大；求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
20．（6分）如图，一次函数y= -x+b的图象与反比例函数（x>0）的图象交于点A（m , 3）和B（3 , n ）.过A作AC⊥x轴于C，交OB于E，且EB = 2EO
（1）求一次函数和反比例函数解析式
（2）点P是线段AB上异于A，B的一点，过P作PD⊥x轴于D，若四边形APDC面积为S，求S的取值范围.
21．（6分）计算：2cos60°+4sin60°•tan30°﹣cos45°
22．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，AB＝10，∠ABC＝60°，求AC和BD的长．
23．（8分）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，∠CAD=∠ABC．判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由．
24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点F是上一点，连接AF交CD的延长线于点E．
（1）求证：△AFC∽△ACE；
（2）若AC＝5，DC＝6，当点F为的中点时，求AF的值．
25．（10分）已知二次函数.
用配方法求该二次函数图象的顶点坐标；
在所给坐标系中画出该二次函数的图象，并直接写出当时自变量的取值范围.
26．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，求∠BCD的度数．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据平行四边形和平行线的性质，得出对应的角相等，再结合相似三角形的性质即可得出答案.
【详解】
∵EF∥CD，ABCD是平行四边形
∴EF∥CD∥AB
∴∠GDP=∠GAB，∠GPD=∠GBA
∴△GDP∽△GAB
又EF∥AB
∴∠GEQ=∠GAB，∠GQE=∠GBA
∴△GEQ∽△GAB
又∵ABCD为平行四边形
∴AD∥BC
∴∠GDP=∠BCP，∠CBP=∠G
∴∠BCP=∠GAB
又∠GPD=∠BPC
∴∠GBA=∠BPC
∴△GAB∽△BCP
又∠BQF=∠GQE
∴∠BQF=∠GBA
∴△GAB∽△BFQ
综上共有4个三角形与△GAB相似
故答案选择D.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，需要熟练掌握相似三角形的判定方法，此外，还需要掌握平行四边形和平行线的相关知识.
2、D
【解析】分析：根据垂径定理及逆定理以及圆的性质来进行判定分析即可得出答案．
详解：A、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧；B、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦；C、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；D、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；故选D．
点睛：本题主要考查的是圆的一些基本性质，属于基础题型．理解圆的性质是解决这个问题的关键．
3、C
【分析】直接利用圆周角定理得出∠AOB的度数，再利用等腰三角形的性质得出答案.
【详解】解：∵∠ACB＝40°，
∴∠AOB＝80°，
∵AO＝BO，
∴∠OAB＝∠OBA＝(180°﹣80°)＝50°．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理. 正确得出∠AOB的度数是解题关键.
4、C
【解析】A、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象过二、四象限可知k＜0，两结论相矛盾，故选项错误； B、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的正半轴可知k＞0，两结论相矛盾，故选项错误；C、由反比例函数的图象在二、四象限可知k＜0，由一次函数的图象过二、三、四象限可知k＜0，两结论一致，故选项正确；D、由反比例函数的图象在一、三象限可知k＞0，由一次函数的图象与y轴交点在y轴的负半轴可知k＜0，两结论相矛盾，故选项错误，
故选C．
5、C
【分析】由圆周角定理和角平分线得出，，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，选项A成立；由平行线的性质得出，选项B成立；由垂径定理得出，选项D成立；和中，没有相等的边，与不全等，选项C不成立，即可得出答案．
【详解】∵是的直径，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，选项A成立；
∴，选项B成立；
∴，选项D成立；
∵和中，没有相等的边，
∴与不全等，选项C不成立，
故选C．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理．
6、D
【分析】因为AB、AC、BD是的切线，切点分别是P、C、D，所以AP=AC、BD=BP，所以．
【详解】解：∵是的切线，切点分别是．
∴，
∴，
∵，
∴．
故选D．
【点睛】
本题考查圆的切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理．
7、C
【分析】由题意直接根据众数和中位数的定义进行分析求解判断即可．
【详解】解：将数据重新排列为3，3，4，7，9，
∴众数为3，中位数为4.
故选：C．
【点睛】
本题主要考查众数、中位数，熟练掌握众数、中位数的定义是解题的关键．
8、B
【分析】根据二次函数的图象与性质（对称性、与x轴、y轴的交点）、二次函数与一元二次方程的关系逐个判断即可．
【详解】抛物线的开口向下
对称轴为
，异号，则
抛物线与y轴的交点在y轴的上方
，则①正确
由图象可知，时，，即
则，②错误
由对称性可知，和的函数值相等
则时，，即，③错误
可化为
关于m的一元二次方程的根的判别式
则二次函数的图象特征：抛物线的开口向下，与x轴只有一个交点
因此，，即，从而④正确
综上，正确的是①④
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、与x轴、y轴的交点）、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握函数的图象与性质是解题关键．
9、D
【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，算术平方根的定义以及立方根的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．x6÷x3＝x3，故本选项不合题意；
B．（x3）2＝x6，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，正确，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根、立方根、同底数幂的除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记修改运算法则是解答本题的关键．
10、D
【解析】A. 此图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项错误；
B. 此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故B选项错误；
C. 此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项错误．
D. 此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C选项正确；
故选D.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、①②．
【解析】解：①如图所示，∵∠BOE+∠BOF=90°，∠COF+∠BOF=90°，∴∠BOE=∠COF．在△BOE与△COF中，∵OB=OC，∠BOE=∠COF，OE=OF，∴△BOE≌△COF，∴BE=CF，∴，①正确；
②∵OC=OB，∠COH=∠BOG，∠OCH=∠OBG=15°，∴△BOG≌△COH，∴OG=OH．∵∠GOH=90°，∴△OGH是等腰直角三角形，②正确；
③如图所示，∵△HOM≌△GON，∴四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，③错误；
④∵△BOG≌△COH，∴BG=CH，∴BG+BH=BC=1．设BG=x，则BH=1﹣x，则GH====，∴其最小值为，∴△GBH周长的最小值=GB+BH+GH=1+，D错误．
故答案为①②．
12、0或5
【解析】分析：本题考查的是一元二次方程的解法——因式分解法.
解析：
故答案为0或5.
13、
【分析】分别在Rt△ABC和Rt△ADC中用AC和的三角函数表示出AB和AD，进一步即可求出结果．
【详解】解：在Rt△ABC中，∵，∴，
在Rt△ADC中，∵，∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了三角函数的知识，属于常考题型，熟练掌握正弦的定义是解题的关键．
14、1人
【分析】根据频率分布直方图，求出在该次数学考试中成绩小于60分的频率，再求成绩小于60分的学生数．
【详解】根据频率分布直方图，得
在该次数学考试中成绩小于60分的频率是
（0.002+0.006+0.012）×10=0.20
∴在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是
3000×0.20=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用问题，解题时应根据频率分布直方图提供的数据，求出频率，再求出学生数，是基础题．
15、（6，4）．
【分析】作BQ⊥AC于点Q，由题意可得BQ=12，根据勾股定理分别求出BC、AB的长，继而利用三角形面积，可得△OAB内切圆半径，过点P作PD⊥AC于D，PF⊥AB于F，PE⊥BC于E，设AD=AF=x，则CD=CE=14-x，BF=13-x，BE=BC-CE=15-（14-x）=1+x，由BF=BE可得13-x=1+x，解之求出x的值，从而得出点P的坐标，即可得出答案．
【详解】解：如图，过点B作BQ⊥AC于点Q，
则AQ=5，BQ=12，
∴AB=，CQ=AC-AQ=9，
∴BC=
设⊙P的半径为r，根据三角形的面积可得：r=
过点P作PD⊥AC于D，PF⊥AB于F，PE⊥BC于E，
设AD=AF=x，则CD=CE=14-x，BF=13-x，
∴BE=BC-CE=15-（14-x）=1+x，
由BF=BE可得13-x=1+x，
解得：x=6，
∴点P的坐标为（6，4），
故答案为：（6，4）．
【点睛】
本题主要考查勾股定理、三角形的内切圆半径公式及切线长定理，根据三角形的内切圆半径公式及切线长定理求出点P的坐标是解题的关键．
16、3.
【分析】先根据同角的余角相等证明∠ADE＝∠ACD，在△ADC根据锐角三角函数表示用含有k的代数式表示出AD=4k和DC=3k，从而根据勾股定理得出AC=5k，又AC=5，从而求出DC的值即为AB.
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AB＝CD，
∵DE⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE+∠DAE＝90°，∠DAE+∠ACD＝90°，
∴∠ADE＝∠ACD，
∴tan∠ACD＝tan∠ADE＝＝，
设AD＝4k，CD＝3k，则AC＝5k，
∴5k＝5，
∴k＝1，
∴CD＝AB＝3，
故答案为3.
【点睛】
本题考查矩形的性质和利用锐角三角函数解直角三角形，解决此类问题时需要将已知角的三角函数、已知边、未知边，转换到同一直角三角形中，然后解决问题.
17、
【分析】根据题意，由AAS证明△AEH≌△BFE，则BE=AH，根据相似比为，令EH=，AB=，设AE=，AH=，在直角三角形AEH中，利用勾股定理，即可求出的值，即可得到答案.
【详解】解：在正方形EFGH与正方形ABCD中，
∠A=∠B=90°，EF=EH，∠FEH=90°，
∴∠AEH+∠AHE=90°，∠BEF+∠AEH=90°，
∴∠AHE=∠BEF，
∴△AEH≌△BFE（AAS），
∴BE=AH，
∵，
令EH=，AB=，
在直角三角形AEH中，设AE=，AH=AB-AE=，
由勾股定理，得，
即，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【点睛】
本题考查了相似四边形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出AE和BE的长度.
18、1.
【解析】试题分析：根据圆的确定先做出过A，B，C三点的外接圆，从而得出答案．
如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这1个格点，
故答案为1．
考点：圆的有关性质.
三、解答题(共66分)
19、（1）y＝x2﹣2x﹣3，点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）；（2）存在，点P（1+，﹣）；（3）故S有最大值为，此时点P（，﹣）．
【分析】（1）根据题意得到函数的对称轴为：x＝﹣＝1，解出b＝﹣2，即可求解；
（2）四边形POP′C为菱形，则yP＝﹣OC＝﹣，即可求解；
（3）过点P作PH∥y轴交BC于点P，由点B、C的坐标得到直线BC的表达式，设点P（x，x2﹣2x﹣3），则点H（x，x﹣3），再根据ABPC的面积S＝S△ABC+S△BCP即可求解．
【详解】（1）函数的对称轴为：x＝﹣＝1，解得：b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+c，
再将点C（0，﹣3）代入得到c=-3，
,∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x＝﹣1或3，
故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）；
（2）存在，理由：
如图1，四边形POP′C为菱形，则yP＝﹣OC＝﹣，
即y＝x2﹣2x﹣3＝﹣，
解得：x＝1（舍去负值），
故点P（1+，﹣）；
（3）过点P作PH∥y轴交BC于点P，
由点B、C的坐标得到直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
设点P（x，x2﹣2x﹣3），则点H（x，x﹣3），
ABPC的面积S＝S△ABC+S△BCP
＝×AB×OC+×PH×OB
＝×4×3+×3×（x﹣3﹣x2+2x+3）
＝﹣x2+x+6，
=
∵-＜0，
∴当x=时，S有最大值为，此时点P（，﹣）．
【点睛】
此题是一道二次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式，图象与坐标轴的交点，翻折的性质，菱形的性质，利用函数解析式确定最大值，（3）是此题的难点，利用分割法求四边形的面积是解题的关键.
20、（1）y=-x+4，，（2）0<S<4
【分析】（1）由得：，由点横坐标为3得点的横坐标为1，将点代入解析式即可求得答案；
（2）设P的坐标为，由于点P在线段AB上，从而可知，，由题意可知：，从而可求出S的范围.
【详解】（1）由得：，
∵点横坐标为3，
∴点的横坐标为1，即.
∵点在直线 及上，
∴及，
解得：，
∴一次函数的解析式为：，反比例函数的解析式为：；
（2）设点坐标为，
S==
，
∵ ，
∴当时，S随a的增大而增大，
∵当时，；时，
∵，
∴.
【点睛】
本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式，学会设参数解决问题．
21、3﹣．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出答案．
【详解】2cos60°+4sin60°•tan30°﹣cos45°
＝2×+4××﹣
＝1+2﹣
＝3﹣．
【点睛】
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
22、AC=10,BD=10
【分析】根据菱形的性质可得Rt△ABO中，∠ABO=∠ABD＝∠ABC＝30°，则可得AO和BO的长，根据AC=2AO，BD=2BO可得AC和BD的长；
【详解】解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，∠ABD＝∠ABC＝30°，
在Rt△ABO中，AB＝10，∠ABO=∠ABD＝30°，
∴AO＝AB=5，BO＝AB=5，
∴AC＝2AO＝10，BD＝2BO＝10．
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形，掌握菱形的性质，解直角三角形是解题的关键.
23、直线AD与⊙O相切，理由见解析
【分析】先由AB是⊙O的直径可得∠ACB=90°，进而得出∠ABC+∠BAC=90°；接下来再由∠CAD=∠ABC，运用等量代换可得∠CAD+∠BAC=90°，再运用切线的判定即可求解.
【详解】直线AD与⊙O相切．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠ABC+∠BAC=90°．
又∵∠CAD=∠ABC，
∴∠CAD+∠BAC=90°．
∴直线AD与⊙O相切
【点睛】
本题考查了圆周角定理，直线与圆的位置关系. 半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
24、（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据条件得出＝，推出∠AFC＝∠ACD，结合公共角得出三角形相似；
（2）根据已知条件证明△ACF≌△DEF，得出AC＝DE，利用勾股定理计算出AE的长度，再根据（1）中△AFC∽△ACE，得出＝，从而计算出AF的长度.
【详解】（1）∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径
∴＝
∴∠AFC＝∠ACD．
∵在△ACF和△AEC中，∠AFC＝∠ACD，∠CAF＝∠EAC
∴△AFC ∽△ACE
（2）∵四边形ACDF内接于⊙O
∴∠AFD＋∠ACD＝180°
∵∠AFD＋∠DFE＝180°
∴∠DFE＝∠ACD
∵∠AFC＝∠ACD
∴∠AFC＝∠DFE．
∵△AFC∽△ACE
∴∠ACF＝∠DEF．
∵F为的中点
∴AF＝DF．
∵在△ACF和△DEF中，∠ACF＝∠DEF，∠AFC＝∠DFE，AF＝DF
∴△ACF≌△DEF．
∴AC＝DE＝1．
∵CD⊥AB，AB是⊙O的直径
∴CH＝DH＝2．
∴EH＝8
在Rt△AHC中，AH2＝AC2－CH2＝16，
在Rt△AHE中，AE2＝AH2＋EH2＝80，∴AE＝4．
∵△AFC∽△ACE
∴＝，即＝，
∴AF＝.
【点睛】
本题属于圆与相似三角形的综合，涉及了圆内接四边形的性质，勾股定理，等弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定定理等，解题的关键是灵活运用所学知识，正确寻找全等三角形.
25、（1）顶点坐标为；（2）图象见解析，由图象得当时.
【分析】（1）用配方法将函数一般式转化为顶点式即可；
（2）采用列表描点法画出二次函数图象即可，根据函数图象，即可判定当时自变量的取值范围.
【详解】
.
.
顶点坐标为
列表:
···
···
···
···
图象如图所示
由图象得当时.
【点睛】
此题主要考查二次函数顶点式以及图象的性质，熟练掌握，即可解题.
26、136°
【解析】试题分析：
由∠BOD=88°，根据“圆周角定理”可得∠BAD的度数；由四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠BAD+∠BCD=180°，由此即可解得∠BCD的度数.
试题解析：
∵∠BOD=88°，
∴∠BAD=88°÷2=44°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°﹣44°=136°.
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