资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．将抛物线y＝x2﹣2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为（ ）
A．y＝﹣1 B．y＝﹣3 C．y＝﹣2 D．y＝﹣2
2．如图，舞台纵深为6米，要想获得最佳音响效果，主持人应站在舞台纵深所在线段的离舞台前沿较近的黄金分割点处，那么主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为（ ）
A．1.1米 B．1.5米 C．1.9米 D．2.3米
3．已知一个扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，则半径为（ ）
A．9 B．3 C． D．
4．为了尽早适应中考体育项目，小丽同学加强跳绳训练，并把某周的练习情况做了如下记录：周一个，周二个，周三个，周四个，周五个则小丽这周跳绳个数的中位数和众数分别是
A．180个，160个 B．170个，160个
C．170个，180个 D．160个，200个
5．如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上．O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH．以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③﹣1；④＝2﹣，其中正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．一个群里共有个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程（ ）
A． B． C． D．
7．如图，⊙O的半径为5，将长为8的线段PQ的两端放在圆周上同时滑动，如果点P从点A出发按逆时针方向滑动一周回到点A，在这个过程中，线段PQ扫过区域的面积为( )
A．9π B．16π C．25π D．64π
8．如图，AB为圆O直径，C、D是圆上两点，ADC=110°，则OCB度（ ）
A．40 B．50 C．60 D．70
9．下列方程中，是一元二次方程的是( )
A． B． C． D．
10．一组数据由五个正整数组成，中位数是3，且惟一众数是7，则这五个正整数的平均数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，△ABC和△A′B′C是两个完全重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为10cm．三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为_______cm．
12．在平面直角坐标系中，将点A（﹣3，2）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移后对应的点A′的坐标是_____．
13．布袋里有8个大小相同的乒乓球，其中2个为红色，1个为白色，5个为黄色，搅匀后从中随机摸出一个球是红色的概率是__________.
14．某商场购进一批单价为16元的日用品，若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件，若按每件25元的价格销售，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）与每件的销售价格x（元/件）之间满足一次函数.在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，销售价格定为______元时，才能使每月的毛利润w最大，每月的最大毛利润是为_______元．
15．一组数据：2，3，4，2，4的方差是___．
16．已知和是方程的两个实数根，则__________．
17．若，，则______.
18．如图，在Rt△ABC中∠B=50°，将△ABC绕直角顶点A顺时针旋转得到△ADE．当点C在B1C1边所在直线上时旋转角∠BAB1=____度．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，已知直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）在第三象限内的抛物线上是否存在一点F，使A、E、C、F为顶点的四边形面积为6？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，说明理由．
20．（6分）如图，在四边形中，，与交于点，点是的中点，延长到点，使，连接，
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求四边形的面积．
21．（6分）同圆的内接正三角形与外切正三角形的周长比是_____．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中有点A(1，5)，B(2，2)，将线段AB绕P点逆时针旋转90°得到线段CD，A和C对应，B和D对应.
(1)若P为AB中点，画出线段CD，保留作图痕迹；
(2)若D(6，2)，则P点的坐标为 ，C点坐标为 .
(3)若C为直线上的动点，则P点横、纵坐标之间的关系为 .
23．（8分）从甲、乙两台包装机包装的质量为300g的袋装食品中各抽取10袋，测得其实际质量如下（单位：g）
甲：301，300，305，302，303，302，300，300，298，299
乙：305，302，300，300，300，300，298，299，301，305
（1）分别计算甲、乙这两个样本的平均数和方差；
（2）比较这两台包装机包装质量的稳定性．
24．（8分）大雁塔是现存最早规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，被国务院批准列人第一批全国重点文物保护单位，某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上处垂直于地面竖立了高度为米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，古塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，古塔的塔尖点正好在同一直线上(点，点，点，点与古塔底处的点在同一直线上) ，这时测得米，米，请你根据以上数据，计算古塔的高度.
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，两点.
（1）求一次函数的表达式及点的坐标；
（2）点是第四象限内反比例函数图象上一点，过点作轴的平行线，交直线于点，连接，若，求点的坐标．
26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边FG在BC上，另两个顶点E、H分别在边AB、AC上．
（1）求BC边上的高；
（2）求正方形EFGH的边长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线y＝x2﹣2向上平移1个单位后所得新抛物线的表达式为y＝x2﹣2+1，
即y＝x2﹣1．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
2、D
【分析】根据黄金分割点的比例，求出距离即可．
【详解】∵黄金分割点的比例为
（米）
∴主持人站立的位置离舞台前沿较近的距离约为 （米）
故答案为：D．
【点睛】
本题考查了黄金分割点的实际应用，掌握黄金分割点的比例是解题的关键．
3、C
【分析】根据弧长的公式进行计算即可．
【详解】解：设半径为r，
∵扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，
∴＝3π，
∴r＝，
故选：C．
【点睛】
此题考查的是根据弧长和圆心角求半径，掌握弧长公式是解决此题的关键．
4、B
【解析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【详解】解：把这些数从小到大排列为160，160，170，180，200，最中间的数是170，则中位数是170；
160出现了2次，出现的次数最多，则众数是160；
故选B．
【点睛】
此题考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解题的关键；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
5、A
【分析】由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，得出△BCE≌△DCG，推出∠BEC+∠HDE=90°，从而得GH⊥BE；由GH是∠EGC的平分线，得出△BGH≌△EGH，再由O是EG的中点，利用中位线定理，得HO∥BG且HO=BG；由△EHG是直角三角形，因为O为EG的中点，所以OH=OG=OE，得出点H在正方形CGFE的外接圆上，根据圆周角定理得出∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°，∠HEG=∠HFG，从而证得△EHM∽△GHF；设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，由HO∥BG，得出△DHN∽△DGC，即可得出，得到 ，即a2+2ab-b2=0，从而求得，设正方形ECGF的边长是2b，则EG=2b，得到HO=b，通过证得△MHO∽△MFE，得到，进而得到，进一步得到.
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，
∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠BEC＝∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE＝90°，
∴GH⊥BE．
故①正确；
∵△EHG是直角三角形，O为EG的中点，
∴OH＝OG＝OE，
∴点H在正方形CGFE的外接圆上，
∵EF＝FG，
∴∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG，
∴△EHM∽△GHF，
故②正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴BH＝EH，
又∵O是EG的中点，
∴HO∥BG，
∴△DHN∽△DGC，
设EC和OH相交于点N．
设HN＝a，则BC＝2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC＝b，CD＝2a，
即a2+2ab﹣b2＝0，
解得：a＝b＝（﹣1+）b，或a＝（﹣1﹣）b（舍去），
故③正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴EG＝BG，
∵HO是△EBG的中位线，
∴HO＝BG，
∴HO＝EG，
设正方形ECGF的边长是2b，
∴EG＝2b，
∴HO＝b，
∵OH∥BG，CG∥EF，
∴OH∥EF，
∴△MHO△MFE，
∴，
∴EM＝OM，
∴，
∴
∵EO＝GO，
∴S△HOE＝S△HOG，
∴
故④错误，
故选A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键．
6、B
【分析】每个好友都有一次发给QQ群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有x个好友，每人发(x-1)条消息，则发消息共有x（x-1）条,再根据共发信息1980条，列出方程x（x-1）=1980.
【详解】解：设有x个好友，依题意，得：
x（x-1）=1980.
故选：B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据题意设出合适的未知数，再根据等量关系式列出方程是解题的关键.
7、B
【分析】如图，线段PQ扫过的面积是图中圆环面积．作OE⊥PQ于E，连接OQ求出OE即可解决问题．
【详解】解：如图，线段PQ扫过的面积是图中圆环面积，
作OE⊥PQ于E，连接OQ．
∵OE⊥PQ，
∴EQ＝PQ＝4，
∵OQ＝5，
∴OE＝，
∴线段PQ扫过区域的面积＝π•52﹣π•32＝16π，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了轨迹，解直角三角形，垂径定理，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线.
8、D
【分析】根据角的度数推出弧的度数,再利用外角∠AOC的性质即可解题.
【详解】解：∵ADC=110°,即优弧的度数是220°,
∴劣弧的度数是140°,
∴∠AOC=140°,
∵OC=OB,
∴∠OCB=∠AOC=70°,
故选D.
【点睛】
本题考查圆周角定理、外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9、D
【解析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．
【详解】解：A、是一元一次方程，故A不符合题意；
B、是二元二次方程，故B不符合题意；
C、是分式方程，故C不符合题意；
D、是一元二次方程，故D符合题意；
故选择：D.
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
10、A
【分析】根据题意，五个正整数中3是中位数，唯一众数是7，可以得知比3大的有2个数，比3小的有2个数，且7有2个，然后求出这五个数的平均数即可．
【详解】由五个正整数知，中位数是3说明比3大的有2个数，比3小的有2个数，唯一众数是7，则7有2个，所以这五个正整数分别是1、2、3、7、7，计算平均数是（1+2+3+7+7）÷5=4，
故选：A．
【点睛】
本题考查了数据的收集与处理，中位数，众数，平均数的概念以及应用，掌握数据的收集与处理是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】根据Rt△ABC中的30°角所对的直角边是斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及旋转的性质推知△AA′C是等边三角形，所以根据等边三角形的性质利用弧长公式来求CA′旋转所构成的扇形的弧长．
【详解】解： ∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=10cm，∴AC=AB=5cm．
根据旋转的性质知，A′C=AC，∴A′C=AB=5cm．
∴点A′是斜边AB的中点，∴AA′=AB=5cm．
∴AA′=A′C=AC，∴∠A′CA=60°．
∴CA′旋转所构成的扇形的弧长为：（cm）．
故答案为：．
12、（0，0）
【解析】根据坐标的平移规律解答即可．
【详解】将点A（-3，2）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，
那么平移后对应的点A′的坐标是（-3+3，2-2），即（0，0），
故答案为（0，0）．
【点睛】
此题主要考查坐标与图形变化-平移．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
13、
【分析】直接根据概率公式求解．
【详解】解：随机摸出一个球是红色的概率=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
14、24 1
【分析】本题首先通过待定系数法求解y与x的关系式，继而根据利润公式求解二次函数表达式，最后根据二次函数性质求解本题．
【详解】由题意假设，将，代入一次函数可得：，
求解上述方程组得：，则，
∵，
∴，
∴，
又因为商品进价为16元，故．
销售利润，
整理上式可得：销售利润，
由二次函数性质可得：当时，取最大值为1．
故当销售单价为24时，每月最大毛利润为1元．
【点睛】
本题考查二次函数的利润问题，解题关键在于理清题意，按照题目要求，求解二次函数表达式，最后根据二次函数性质求解此类型题目．
15、0.1
【分析】根据方差的求法计算即可．
【详解】平均数为 ，
方差为： ，
故答案为：0.1．
【点睛】
本题主要考查方差，掌握方差的求法是解题的关键．
16、1
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2=-3、x1x2=-1，将其代入x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2中即可求出结论．
【详解】解：∵x1，x2是方程的两个实数根，
∴x1+x2=-3，x1x2=-1，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（-3）2-2×（-1）=1．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，牢记两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键．
17、28
【分析】先根据完全平方公式把变形，然后把，代入计算即可.
【详解】∵，，
∴(a+b)2-2ab=36-8=28.
故答案为：28.
【点睛】
本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解答本题的关键.
18、100
【分析】根据Rt△ABC中∠B=50°，推出∠BCA=40°，根据旋转的性质可知，AC=AC1，∠BCA=∠C1=40°，求出 ∠CAC1的度数，即可求出∠BAB1的度数.
【详解】∵Rt△ABC中∠B=50°，
∴∠BCA=40°，
∵△ABC绕直角顶点A顺时针旋转得到△ADE．当点C在B1C1边所在直线上，
∴∠C1=∠BCA=40°，AC=AC1，∠CAB=∠C1AB1，
∴∠ACC1=∠C1=40°，
∴∠BAB1=∠CAC1=100°，
故答案为：100.
【点睛】
本题考查了旋转的性质和等腰三角形的判定和性质，熟练掌握其判定和性质是解题的关键.
三、解答题(共66分)
19、（1）抛物线的解析式为y=-x2-2x+3，顶点坐标（-1，4）；（2）存在点F（-1-，-1）
【分析】（1）要求抛物线y=-x2+bx+c的解析式，由于b与c待定，为此要找抛物线上两点坐标，抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，且直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，让x=0，求y值，让 y=0，求x的值A、B两点坐标代入解析式，利用配方变顶点式即可，
（2）使A、E、C、F为顶点的四边形面积为1，AC把四边形分为两个三角形，△ACE，△ACF，由抛物线y=-x2-2x+3与x轴交点A、C两点，y=0，可求A、C两点坐标，则AC长可求，点E在直线y=x+3上，由在对称轴上，可求，设第三象限抛物线上的点纵坐标为-m，S四边形AECF=，可求F点的纵坐标-m，把y=-m代入抛物线解析式，求出x即可．
【详解】（1）已知直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴当x=0时，y=3，B（0，3），
∴当y=0时，x+3=0，x=-3，A（-3，0），
抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点，
A、B两点坐标代入解析式，
解得，
抛物线y=-x2-2x+3，
抛物线y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
抛物线顶点坐标（-1，4），
（2）使A、E、C、F为顶点的四边形面积为1，
抛物线y=-x2-2x+3与x轴交点A、C两点，
y=0，-x2-2x+3=0，解得x=1或x=-3，A（-3，0），C（1，0），
点E在直线y=x+3上，当x=-1时，y=-1+3=2，
设第三象限抛物线上的点纵坐标为-m，
S四边形AECF= S四边形AECF=，AC=4，
2+m=3，m=1，
当y=-1时，-1=-x2-2x+3，
x=-1±，
由x<0，
x=-1-，
点F（-1-，-1），
故存在第三象限内的抛物线上点F（-1-，-1），使A、E、C、F为顶点的四边形面积为1．
【点睛】
本题考查抛物线解析式，顶点以及四边形面积问题，确定抛物线上两点确保，会利用一次函数求两轴交点坐标，会利用配方法把抛物线解析式变为顶点式，会利用AC把四边形分成两个三角形求面积来解决问题．
20、 (1)见详解；（2）四边形ABCF的面积S=6.
【分析】（1）根据平行四边形的判定推出即可．
（2）通过添加辅助线作高，再根据面积公式求出正确答案．
【详解】证明：（1）∵点E是BD的中点，
在中，
∴四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABDF是平行四边形；
（2）过C作于H，过D作于Q，
∵四边形ABCD和四边形ABDF都是平行四边形，，
∴四边形ABCF的面积S=
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识点，解题的关键在于综合运用定理进行推理.
21、1:1
【分析】作出正三角形的边心距，连接正三角形的一个顶点和中心可得到一直角三角形，解直角三角形即可．
【详解】解：如图所示：
∵圆的内接正三角形的内心到每个顶点的距离是等边三角形高的，设内接正三角形的边长为a，
∴等边三角形的高为a，
∴该等边三角形的外接圆的半径为a
∴同圆外切正三角形的边长＝1×a×tan30°＝1a.
∴周长之比为：3a：6a＝1：1，
故答案为：1：1．
【点睛】
此题主要考查正多边形与圆，解题的关键是熟知正三角形的性质．
22、（1）见解析；（2）（4,4），（3,1）；（3）.
【分析】（1）根据题意作线段CD即可；
（2）根据题意画出图形即可解决问题；
（3）因为点C的运动轨迹是直线，所以点P的运动轨迹也是直线，找到当C坐标为（0,0）时，P'的坐标，利用待定系数法即可求出关系式.
【详解】（1）如图所示，线段CD即为所求，
（2）如图所示，P点坐标为（4,4），C点坐标为（3,1），
故答案为：（4,4），（3,1）.
（3）如图所示，
∵点C的运动轨迹是直线，
∴点P的运动轨迹也是直线，
当C点坐标为（3,1）时，P点坐标为（4,4），
当C点坐标为（0,0）时，P'的坐标为（3,2），
设直线PP'的解析式为，则有，解得，
∴P点横、纵坐标之间的关系为，
故答案为：．
【点睛】
本题考查网格作图和一次函数的解析式，熟练掌握旋转变换的特征是解题的关键.
23、（1）甲平均数301，乙平均数301，甲方差3.2，乙方差4.2；（2）甲包装机包装质量的稳定性好，见解析
【分析】（1）根据平均数就是对每组数求和后除以数的个数；根据方差公式计算即可；
（2）方差大说明这组数据波动大，方差小则波动小，就比较稳定．依此判断即可．
【详解】解：（1）＝（1+0+5+2+3+2+0+0﹣2﹣1）+300＝301，
＝（5+2+0+0+0+0﹣2﹣1+1+5）+300＝301，
＝[（301﹣301）2+（301﹣300）2+（301﹣305）2+（301﹣302）2+（301﹣303）2+（301﹣302）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣298）2+（301﹣299）2]＝3.2；
＝[（301﹣305）2+（301﹣302）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣300）2+（301﹣298）2+（301﹣299）2+（301﹣301）2+（301﹣305）2]＝4.2；
（2）∵＜，
∴甲包装机包装质量的稳定性好．
【点睛】
本题考查了平均数和方差，正确掌握平均数及方差的求解公式是解题的关键.
24、古塔的高度为64.5米.
【分析】根据CD//AB，HG//AB可证明△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，根据相似三角形的性质求出AB的长即可.
【详解】∵CD//AB，HG//AB，
∴△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，
∴，
∵
∴，即
∴（米），
∵，
∴，
∴AB=64.5.
答：古塔的高度为64.5米.
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
25、（1）y=-2x，B（2，-4）；（2）或．
【分析】（1）先求出点A的坐标，再代入一次函数即可求出一次函数表达式，由一次函数和反比例函数解析式即可求出点B的坐标；
（2）设点，m＞0，表达出PC的长度，进而表达出△POC的面积，列出方程即可求出m的值．
【详解】解：（1）∵点在反比例函数图象上，
∴，解得：a=-2，
∴，
代入得：，解得：k=-2，
∴y=-2x，
由，解得：x=2或x=-2，
∴点B（2，-4）；
（2）如图，设点，m＞0
∵PC∥x轴，
∴点C的纵坐标为，则=-2x，解得：x=，
∴PC=，
∴，
解得：，（舍去），，（舍去），
∴或．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数综合问题，以及反比例函数与几何问题，解题的关键是熟悉反比例函数图象上点的坐标的特点．
26、（1）12cm；（2）
【分析】（1）由勾股定理求出BC＝25cm，再由三角形面积即可得出答案；
（2）设正方形边长为x，证出△AEH∽△ABC，得出比例式，进而得出答案．
【详解】解：（1）作AD⊥BC于D，交EH于O，如图所示：
∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20cm，AC＝15cm，
∴BC＝＝25（cm），
∵BC×AD＝AB×AC，
∴AD＝＝＝12（cm）；
即BC边上的高为12cm；
（2）设正方形EFGH的边长为xcm，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH＝∠B，∠AHE＝∠C，
∴△AEH∽△ABC．
∴＝，即＝，
解得：x＝，
即正方形EFGH的边长为cm．
【点睛】
本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的相似比对于高的比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．
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