资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连结CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③；④，其中正确的结论个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，点分别在边上，且，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2=0，则∠C的度数是（ ）
A．45° B．75° C．105° D．120°
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它绕着BC中点D顺时针旋转一定角度（小于90°）后得到△A′B′C′，恰好使B′C′∥AB，A'C′与AB交于点E，则A′E的长为（ ）
A．3 B．3.2 C．3.5 D．3.6
7．用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )
A． B． C． D．
8．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，若∠AOD=120°，AB=6，则AC等于（ ）
A．8 B．10 C．12 D．18
9．如图，点（）是反比例函数上的动点，过分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，.随着的增大，四边形的面积（ ）
A．增大 B．减小 C．不确定 D．不变
10．抛物线的对称轴为直线（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．已知点E是线段AB的黄金分割点,且，若AB=2则BE=__________.
12．计算：2sin245°﹣tan45°＝______．
13．若关于x的一元二次方程x2+2x+3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____．
14．如图，、、、是上四个点，连接、，过作交圆周于点，连接，若，则的度数为___________．
15．一个盒子中装有个红球，个白球和个蓝球，这些球除了颜色外都相同，从中随机摸出两个球，能配成紫色的概率为_____．
16．如图，在菱形中，,,点,,分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为__________．
17．如图,在一个正方形围栏中均为地散步着许多米粒，正方形内有一个圆(正方形的内切圆)一只小鸡在围栏内啄食,则小鸡正在圆内区域啄食的概率为________.
18．如图，、是⊙上的两点，若，是⊙上不与点、重合的任一点，则的度数为__________．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，D为BC边上的点，将DA绕D点逆时针旋转120°得到DE．
（1）如图1，若AD＝DC，则BE的长为 ，BE2+CD2与AD2的数量关系为 ；
（2）如图2，点D为BC边山任意一点，线段BE、CD、AD是否依然满足（1）中的关系，试证明；
（3）M为线段BC上的点，BM＝1，经过B、E、D三点的圆最小时，记D点为D1，当D点从D1处运动到M处时，E点经过的路径长为 ．
20．（6分）化简并求值： ，其中m满足m2-m-2=0.
21．（6分）画出如图所示的几何体的三种视图．
22．（8分）如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，求∠OFA的度数
23．（8分）关于的方程有实根．
（1）求的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为且，求的值．
24．（8分）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌
粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润（元）最大？最大利润是多少？
25．（10分）已知如图AB ∥EF∥ CD，
（1）△CFG∽△CBA吗？为什么？
（2）求 的值．
26．（10分）宋家州主题公园拟修建一座柳宗元塑像，如图所示，柳宗元塑像（塑像中高者）在高的假山上，在处测得塑像底部的仰角为，再沿方向前进到达处，测得塑像顶部的仰角为，求柳宗元塑像的高度.
（精确到.参考数据：，，，）
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、C
【分析】易得AG∥BC，进而可得△AFG∽△CFB，然后根据相似三角形的性质以及BA＝BC即可判断①；根据余角的性质可得∠ABG＝∠BCD，然后利用“角边角”可证明△ABG≌△BCD，可得AG＝BD，于是有AG＝BC，由①根据相似三角形的性质可得，进而可得FG＝FB，然后根据FE≠BE即可判断②；根据相似三角形的性质可得，再根据等腰直角三角形的性质可得AC＝ AB，然后整理即可判断③；过点F作FM⊥AB于M，如图，根据相似三角形的性质和三角形的面积整理即可判断④．
【详解】解：在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，
∴AB⊥BC，
∵AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴，
∵BA＝BC，
∴，故①正确；
∵∠ABC＝90°，BG⊥CD，
∴∠ABG+∠CBG＝90°，∠BCD+∠CBG＝90°，
∴∠ABG＝∠BCD，
又∵BA＝BC，∠BAG＝∠CBD＝90°,
∴△ABG≌和△BCD（ASA），
∴AG＝BD，
∵点D是AB的中点，∴BD＝AB，
∴AG＝BC，
∵△AFG∽△CFB，∴，
∴FG＝FB，
∵FE≠BE，
∴点F是GE的中点不成立，故②错误；
∵△AFG∽△CFB，
∴，
∴AF＝AC，
∵AC＝AB，
∴，故③正确；
过点F作FM⊥AB于M，如图，则FM∥CB，
∴△AFM∽△ACB，
∴，
∵，
∴，故④错误．
综上所述，正确的结论有①③共2个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的性质等知识，属于常考题型，熟练掌握全等三角形和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
2、A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合求解．
【详解】B既是轴对称图形，又是中心对称图形；C只是轴对称图形；D既不是轴对称图形也不是中心对称图形，只有A符合.
故选A.
3、B
【分析】根据相似三角形平行线分线段成比例的性质，分别判定即可.
【详解】∵
∴∠A=∠CEF，∠ADE=∠ABC，∠CFE=∠ABC，，
∴∠ADE=∠CFE，，C选项正确；
∴△ADE∽△EFC
∴，A选项正确；
又∵
∴，D选项正确；
∵
∴不成立
故答案为B.
【点睛】
此题主要考查相似三角形平行线分线段成比例的运用，熟练掌握，即可解题.
4、B
【分析】根据一元二次方程根的判别式，分别计算△的值，进行判断即可．
【详解】A、△=0，方程有两个相等的实数根；
B、△=4+76=80＞0，方程有两个不相等的实数根；
C、△=-16＜0，方程没有实数根；
D、△=1-4=-3＜0，方程没有实数根．
故选：B．
5、C
【解析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】由题意得，sinA-=0，-cosB=0，
即sinA=，=cosB，
解得，∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=105°，
故选C．
【点睛】
本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
6、D
【解析】如图，过点D作DF⊥AB，可证四边形EFDC'是矩形，可得C'E＝DF，通过证明△BDF∽△BAC，可得，可求DF＝2.4＝C'E，即可求解．
【详解】如图，过点D作DF⊥AB，
∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵将Rt△ABC绕着BC中点D顺时针旋转一定角度（小于90°）后得到△A′B′C′，
∴AC＝A'C'＝6，∠C＝∠C'＝90°，CD＝BD＝4，
∵AB∥C'B'
∴∠A'EB＝∠A'C'B'＝90°，且DF⊥AB，
∴四边形EFDC'是矩形，
∴C'E＝DF，
∵∠B＝∠B，∠DFB＝∠ACB＝90°，
∴△BDF∽△BAC
∴，
∴
∴DF＝2.4＝C'E，
∴A'E＝A'C'﹣C'E＝6﹣2.4＝3.6，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知旋转的定义、矩形的性质及相似三角形的判定与性质.
7、D
【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.
【详解】，
，
，
所以，
故选D.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
8、C
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB=AC，根据邻补角的定义求出∠AOB，然后判断出△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质可得OA=AB，然后求解即可．
【详解】∵矩形ABCD的两条对角线交于点O，
∴OA=OB=AC，
∵∠AOD=10°，
∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-10°=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=6，
∴AC=2OA=2×6=1．
故选C．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．
9、D
【分析】由长方形的面积公式可得出四边形的面积为mn，再根据点Q在反比例函数图象上，可知 ，从而可判断面积的变化情况．
【详解】∵点
∴四边形的面积为，
∵点（）是反比例函数上的动点
∴四边形的面积为定值，不会发生改变
故选：D．
【点睛】
本题主要考查反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
10、C
【解析】根据二次函数对称轴公式为直线，代入求解即可．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，
故答案为C．
【点睛】
本题考查了二次函数的对称轴公式，熟记公式是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、
【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比；
【详解】解：∵点E是线段AB的黄金分割点，且BE>AE，
∴BE=AB，
而AB=2，
∴BE=；
故答案为：；
【点睛】
本题主要考查了黄金分割，掌握黄金分割是解题的关键.
12、0
【解析】原式==0，
故答案为0.
13、k＜
【分析】根据当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根可得△＝4﹣12k＞0，再解即可．
【详解】解：由题意得：
△＝4﹣12k＞0，
解得：k＜．
故答案为：k＜．
【点睛】
本题考查的是根的判别式，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根．
14、
【分析】由，利用圆的内接四边形求 进而求解，利用垂径定理与等腰三角形的三线合一可得答案．
【详解】解： 四边形是的内接四边形，
故答案为：
【点睛】
本题考查的是垂径定理，同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的三线合一，掌握以上知识是解题的关键．
15、
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次摸到的球的颜色能配成紫色的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：列表得：
∵共有种等可能的结果，两次摸到的球的颜色能配成紫色的有种情况
∴两次摸到的求的颜色能配成紫色的概率为：．
故答案是：
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
16、
【分析】根据菱形的对称性，在AB上找到点P关于BD的对称点，过点作Q⊥CD于Q，交BD于点K，连接PK，过点A作AE⊥CD于E，根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，可得此时最小，且最小值为的长，，然后利用锐角三角函数求AE即可．
【详解】解：根据菱形的对称性，在AB上找到点P关于BD的对称点，过点作Q⊥CD于Q，交BD于点K，连接PK，过点A作AE⊥CD于E
根据对称性可知：PK=K，
∴此时=，根据垂线段最短和平行线之间的距离处处相等，
∴此时最小，且最小值为的长，
∵在菱形中，,
∴，∠ADE=180°－∠A=60°
在Rt△ADE中，AE=AD·sin∠ADE=
∴
即的最小值为
故答案为．
【点睛】
此题考查的是菱形的性质、求两线段之和的最值问题和锐角三角函数，掌握菱形的性质、垂线段最短、平行线之间的距离处处相等和用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键．
17、
【分析】设正方形的边长为a，再分别计算出正方形与圆的面积，计算出其比值即可．
【详解】解：设正方形的边长为a，则S正方形=a2，
因为圆的半径为，
所以S圆=π()2=，
所以“小鸡正在圆圈内”啄食的概率为：
故答案为：
【点睛】
本题考查几何概率，掌握正方形面积公式正确计算是解题关键．
18、或
【分析】根据题意，可分为两种情况：点C正在优弧和点C在劣弧，分别求出答案即可.
【详解】解：当点C在优弧上，则
∵，
∴；
当点C在劣弧上时，则
∵，
∴，
∴；
∴的度数为：40°或140°；
故答案为：40°或140°.
【点睛】
本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，注意分类讨论进行解题.
三、解答题(共66分)
19、（1）1；BE1+CD1＝4AD1；（1）能满足（1）中的结论，见解析；（3）1
【分析】（1）依据旋转性质可得：DE＝DA＝CD，∠BDE＝∠ADB＝60°，再证明：△BDE≌△BDA，利用勾股定理可得结论；
（1）将△ACD绕点A顺时针旋转110°得到△ABD′，再证明：∠D′BE＝∠D′AE＝90°，利用勾股定理即可证明结论仍然成立；
（3）从（1）中发现：∠CBE＝30°，即：点D运动路径是线段；分别求出点D位于D1时和点D运动到M时，对应的BE长度即可得到结论．
【详解】解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝110°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∵AD＝DC
∴∠CAD＝∠ACB＝30°，∠ADB＝∠CAD+∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝90°，
由旋转得：DE＝DA＝CD，∠BDE＝∠ADB＝60°
∴△BDE≌△BDA（SAS）
∴∠BED＝∠BAD＝90°，BE＝AB＝
∴BE1+CD1＝BE1+DE1＝BD1
∵＝cos∠ADB＝cos60°＝
∴BD＝1AD
∴BE1+CD1＝4AD1；
故答案为：；BE1+CD1＝4AD1；
（1）能满足（1）中的结论．如图1，将△ACD绕点A顺时针旋转110°得到△ABD′，使AC与AB重合，
∵∠DAD′＝110°，∠BAD′＝∠CAD，∠ABD′＝∠ACB＝30°，AD′＝AD＝DE，∠DAE＝∠AED＝30°，BD′＝CD，∠AD′B＝∠ADC
∴∠D′AE＝90°
∵∠ADB+∠ADC＝180°
∴∠ADB+∠AD′B＝180°
∴A、D、B、D′四点共圆，
同理可证：A、B、E、D四点共圆，A、E、B、D′四点共圆；
∴∠D′BE＝90°
∴BE1+BD′1＝D′E1
∵在△AD′E中，∠AED′＝30°，∠EAD′＝90°
∴D′E＝1AD′＝1AD
∴BE1+BD′1＝（1AD）1＝4AD1
∴BE1+CD1＝4AD1．
（3）由（1）知：经过B、E、D三点的圆必定经过D′、A，且该圆以D′E为直径，
该圆最小即D′E最小，∵D′E＝1AD
∴当AD最小时，经过B、E、D三点的圆最小，此时，AD⊥BC
如图3，过A作AD1⊥BC于D1，∵∠ABC＝30°
∴BD1＝AB•cos∠ABC＝cos30°＝3，AD1＝
∴D1M＝BD1﹣BM＝3﹣1＝1
由（1）知：在D运动过程中，∠CBE＝30°，∴点D运动路径是线段；
当点D位于D1时，由（1）中结论得：，∴BE1＝
当点D运动到M时，易求得：BE1＝
∴E点经过的路径长＝BE1+BE1＝1
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的是圆的综合，综合性很强，难度系数较大，运用到了全等和勾股定理等相关知识需要熟练掌握相关基础知识.
20、，原式=
【分析】根据分式的运算进行化简，再求出一元二次方程m2-m-2=0的解，并代入使分式有意义的值求解.
【详解】==，
由m2-m-2=0
解得，m1=2,m2=-1,
因为m=-1分式无意义，
所以m=2时，代入原式==.
【点睛】
此题主要考查分式的运算及一元二次方程的求解，解题的关键熟知分式额分母不为零.
21、见解析
【分析】直接利用三视图的画法分别从不同角度得出答案．
【详解】解：如图所示：
【点睛】
此题主要考查了作三视图，正确把握观察角度是解题关键．
22、25°
【分析】先利用正方形的性质得OA=OC，∠AOC=90°，再根据旋转的性质得OC=OF，∠COF=40°，则OA=OF，根据等腰三角形的性质得∠OAF=∠OFA，然后根据三角形的内角和定理计算∠OFA的度数．
【详解】解：∵四边形OABC为正方形，
∴OA=OC，∠AOC=90°，
∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，
∴OC=OF，∠COF=40°，
∴OA=OF，
∴∠OAF=∠OFA，
∵∠AOF=∠AOC+∠COF=90°+40°=130°，
∴∠OFA=（180°-130°）=25°．
故答案为25°．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
23、（1）m≤1;（2）m=.
【分析】（1）根据一元二次方程方程有实根的条件是列出不等式求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得，再根据，求出的值，最后求出m的值即可．
【详解】解：根据题意得
（2）由根与系数的关系可得
【点睛】
本题考查了一元二次方程有根的条件及根与系数的关系，根据题意列出等式或不等式是解题的关键．
24、（1）y=-20x+1600；（2）当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元．
【解析】（1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）根据利润=1盒粽子所获的利润×销售量列出函数关系式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可．
试题分析：
试题解析：（1）由题意得，y=700-20（x-45）=-20x+1600；
（2），∵x≥45，抛物线的开口向下，∴当x=60时，P最大值=8000元，即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元．
考点：二次函数的应用．
25、（1）△CFG∽△CBA，见解析；（2）
【分析】（1）由题意利用相似三角形的判定定理-平行模型进行分析证明即可；
（2）根据题意平行线分线段成比例定理进行分析求值.
【详解】解：（1）△CFG∽△CBA，理由如下，
∵AB ∥EF，
∴FG∥AB，
∴△CFG∽△CBA．
（2）∵AB∥EF∥CD，
∴,
∴,
∵△CFG∽△CBA，
∴.
【点睛】
本题考查相似三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质以及判定．
26、柳宗元塑像的高度约为.
【分析】在中，利用正切函数的定义求得AC 的长，继而求得BC的长，在中，同样利用正切函数的定义求得CD的长，从而求得结果.
【详解】在中，
∵，，，
∴，
∴
∵
∴
在中，
∵，，，
∴，
∴
∴
答：柳宗元塑像的高度约为
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用－俯角仰角问题，要先将实际问题抽象成数学问题，分别在两个不同的直角三角形中，借助三角函数的知识，研究角和边的关系.
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