资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．下列函数中,是的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图是某零件的模型，则它的左视图为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，一张扇形纸片OAB，∠AOB＝120°，OA＝6，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O重合，折痕为CD，则图中未重叠部分（即阴影部分）的面积为（ ）
A．9 B．12π﹣9 C． D．6π﹣
4．已知⊙O的半径为5，若OP=6，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O外 C．点P在⊙O上 D．无法判断
5．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE，BD交于点F，：：25，则DE：=( )
A．2：5 B．3：2 C．2：3 D．5：3
6．在△ABC中，∠C=90°，则下列等式成立的是（ ）
A．sinA= B．sinA= C．sinA= D．sinA=
7．如图，在△ABC中，DE∥BC，若＝，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．有一个正方体，6个面上分别标有1～6这6个整数，投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字是奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：“有一根竹竿在太阳下的影子长尺.同时立一根尺的小标杆，它的影长是尺。如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（ ）尺
A． B． C． D．
10．关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．将抛物线向左平移2个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是______．
12．如图，边长为4的正六边形内接于，则的内接正三角形的边长为______________.
13．图1是一辆吊车的实物图，图2是其工作示意图，AC是可以伸缩的起重臂，其转动点A离地面BD的高度AH为3.4m.当起重臂AC长度为9m，张角∠HAC为118°时，操作平台C离地面的高度为_______米.
（结果保留小数点后一位：参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
14．化简：______．
15．剪掉边长为2的正方形纸片4个直角，得到一个正八边形，则这个正八边形的边长为____________.
16．如图，是的直径，弦则阴影部分图形的面积为_________．
17．如图，将矩形绕点旋转至矩形位置，此时的中点恰好与点重合，交于点.若，则的面积为__________．
18．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为x2，…第n个三角形数记为xn，则xn+xn+1= ．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，在中，，是边上的中线，过点作，垂足为，交于点，．
（1）求的值：
（2）若，求的长．
20．（6分）如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．
21．（6分）近期江苏省各地均发布“雾霾”黄色预警，我市某口罩厂商生产一种新型口罩产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系满足下表．
销售单价x（元/件）
…
20
25
30
40
…
每月销售量y（万件）
…
60
50
40
20
…
(1)请你从所学过的一次函数、二次函数和反比例函数三个模型中确定哪种函数能比较恰当地表示y与x的变化规律，并直接写出y与x之间的函数关系式为__________；
(2)当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润为440万元？
(3)如果厂商每月的制造成本不超过540万元，那么当销售单价为多少元时，厂商每月获得的利润最大？最大利润为多少万元？
22．（8分）如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∠ABE＝∠ACB．
（1）求证：△ABE∽△ACB；
（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．
23．（8分）解下列两题：
(1)已知，求的值；
(2)已知α为锐角，且2sinα=4cos30°﹣tan60°，求α的度数．
24．（8分）计算或解方程：（1）
（2）
25．（10分）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=0.4m，EF=0.2m，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高．
26．（10分）如图，点C在以AB为直径的半圆⊙O上，AC＝BC．以B为圆心，以BC的长为半径画圆弧交AB于点D．
（1）求∠ABC的度数；
（2）若AB＝4，求阴影部分的面积．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、B
【分析】根据是的反比例函数的定义，逐一判断选项即可.
【详解】A、是正比例函数,故本选项不符合题意．
B、是的反比例函数,故本选项符合题意；
C、不是的反比例函数,故本选项不符合题意；
D、是正比例函数,故本选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题主要考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的形式(k≠0的常数)，是解题的关键.
2、D
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中．
【详解】从左面看去，是两个有公共边的矩形，如图所示：
故选：D．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合线框常不在一个平面上．
3、A
【分析】根据阴影部分的面积=S扇形BDO﹣S弓形OD计算即可．
【详解】由折叠可知，
S弓形AD=S弓形OD，DA=DO．
∵OA=OD，
∴AD=OD=OA，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠AOD=60°．
∵∠AOB=120°，
∴∠DOB=60°．
∵AD=OD=OA=6，
∴AC=CO=3，
∴CD=3，
∴S弓形AD=S扇形ADO﹣S△ADO6×36π﹣9，
∴S弓形OD=6π﹣9，
阴影部分的面积=S扇形BDO﹣S弓形OD(6π﹣9)=9．
故选：A．
【点睛】
本题考查了扇形面积与等边三角形的性质，熟练运用扇形公式是解答本题的关键．
4、B
【解析】比较OP与半径的大小即可判断.
【详解】，，
，
点P在外，
故选B．
【点睛】
本题考查点与圆的位置关系，记住：点与圆的位置关系有3种设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内.
5、B
【分析】根据平行四边形的性质得到DC//AB，DC=AB，得到△DFE∽△BFA，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】四边形ABCD是平行四边形，
，，
∽，
：，
，
：：2，
故选B．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
6、B
【解析】分析：根据题意画出图形，进而分析得出答案．
详解：如图所示：sinA=．
故选B．
点睛：本题主要考查了锐角三角函数的定义，正确记忆边角关系是解题的关键．
7、A
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】解：∵＝，
∴，
∵DE∥BC，
∴，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
8、A
【解析】投掷这个正方体会出现1到6共6个数字，每个数字出现的机会相同，即有6个可能结果，而这6个数中有1，3，5三个奇数，则有3种可能，根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：∵在1～6这6个整数中有1，3，5三个奇数，
∴当投掷这个正方体一次，则出现向上一面的数字为奇数的概率是：=．
故选：A．
【点睛】
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
9、B
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．
【详解】设竹竿的长度为x尺，
∵太阳光为平行光，
∴，
解得x＝45（尺）．．
故选：B．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．
10、A
【解析】计算出方程的判别式为△＝m2+4，可知其大于0，可判断出方程根的情况．
【详解】方程x2+mx﹣1＝0的判别式为△＝m2+4＞0，所以该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查根的判别式，解题的关键是求出方程根的判别式进行判断.
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、y=5（x+2）2
【分析】根据二次函数平移的性质求解即可.
【详解】抛物线的平移问题, 实质上是顶点的平移,原抛物线 y=顶点坐标为(O, O), 向左平移2个单位, 顶点坐标为(-2, 0), 根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式为y=5（x+2）2，
故答案为y=5（x+2）2.
【点睛】
本题主要考查二次函数平移的性质，有口诀“左加右减，上加下减”，注意灵活运用.
12、
【分析】解：如图，连接OA、OB，易得△AOB是等边三角形，从而可得OA=AB=4，再过点O作OM⊥AE于点M，则∠OAM=30°，AM=ME，然后解直角△AOM求得AM的长，进而可得答案.
【详解】解：如图，连接OA、OB，则∠AOB=60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA=AB=4，
过点O作OM⊥AE于点M，则∠OAM=30°，AM=ME，
在直角△AOM中，，
∴AE=2AM=.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了正多边形和圆，作辅助线构造直角三角形、利用解直角三角形的知识求解是解题关键.
13、7.6
【分析】作于，于，如图2，易得四边形为矩形，则，，再计算出，在中利用正弦可计算出，然后计算即可．
【详解】解：作于E，于，如图2，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴操作平台离地面的高度为．
故答案是：．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用三角函数的定义进行几何计算．
14、
【分析】根据向量的加减法法则计算即可.
【详解】解：-=.
【点睛】
本题考查了向量的加减法，掌握运算法则是关键.
15、
【分析】设腰长为x，则正八边形边长2-2x，根据勾股定理列方程，解方程即可求出正八边形的边．
【详解】割掉的四个直角三角形都是等腰直角三角形，
设腰长为x，则正八边形边长2-2x,
，
（舍），，
.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了正方形和正八边形的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是设出未知数用列方程的方法解决几何问题．
16、
【分析】根据垂径定理求得CE=ED=；然后由圆周角定理知∠COE=60°．然后通过解直角三角形求得线段OC，求出扇形COB面积，即可得出答案．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD=2，
∴CE=CD=，∠CEO=90°，
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=2∠CDB=60°，
∴OC==2，
∴阴影部分的面积S=S扇形COB=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了垂径定理、解直角三角形，圆周角定理，扇形面积的计算等知识点，能知道阴影部分的面积=扇形COB的面积是解此题的关键．
17、
【分析】根据旋转后AC的中点恰好与D点重合，利用旋转的性质得到直角三角形ACD中，∠ACD=30°，再由旋转后矩形与已知矩形全等及矩形的性质得到∠DAE为30°，进而得到∠EAC=∠ECA，利用等角对等边得到AE=CE，设AE=CE=x，表示出AD与DE，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出EC的长，即可求出三角形AEC面积．
【详解】∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，
即AD= AC′=AC，
∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°，
∴∠DAD′=60°，
∴∠DAE=30°，
∴∠EAC=∠ACD=30°，
∴AE=CE，
在Rt△ADE中，设AE=EC=x，
∵AB=CD=6
∴DE=DC-EC=AB-EC=6-x，AD=CD×tan∠ACD=×6=2，
根据勾股定理得：x2=（6-x）2+（2 ）2，
解得：x=4，
∴EC=4，
则S△AEC=EC•AD=4
故答案为：4
【点睛】
此题考查了旋转的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理，以及等腰三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
18、．
【分析】根据三角形数得到x1=1，x1=3=1+1，x3=6=1+1+3，x4=10=1+1+3+4，x5=15=1+1+3+4+5，即三角形数为从1到它的顺号数之间所有整数的和，即xn=1+1+3+…+n=、xn+1=，然后计算xn+xn+1可得．
【详解】∵x1=1，
x1═3=1+1，
x3=6=1+1+3，
x4═10=1+1+3+4，
x5═15=1+1+3+4+5，
…
∴xn=1+1+3+…+n=，
xn+1=，
则xn+xn+1=+=（n+1）1，
故答案为：（n+1）1．
三、解答题(共66分)
19、（1）；（2）4
【分析】（1）根据∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则∠B=∠BCD，再由AE⊥CD，可证明∠B=∠CAM，由AM=2CM，可得出CM：AC=1：，即可得出sinB的值；
（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=，得AC=2，根据勾股定理即可得出结论．
【详解】（1）∵，是斜边的中线，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
在中，∵，
∴．
∴．
（2）∵，
∴．
由（1）知，
∴．
∴．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理和锐角三角比，熟练掌握根据锐角三角比解直角三角形是解题的关键．
20、（1）y；（2）yx+1．
【解析】(1)把A的坐标代入反比例函数的解析式即可求得；
(2)作AD⊥BC于D，则D(2，b)，即可利用a表示出AD的长，然后利用三角形的面积公式即可得到一个关于b的方程，求得b的值，进而求得a的值，根据待定系数法，可得答案．
【详解】(1)由题意得：k＝xy＝2×3＝6，
∴反比例函数的解析式为y；
(2)设B点坐标为(a，b)，如图，作AD⊥BC于D，则D(2，b)，
∵反比例函数y的图象经过点B(a，b)，
∴b，
∴AD＝3，
∴S△ABCBC•ADa(3)＝6，
解得a＝6，
∴b1，
∴B(6，1)，
设AB的解析式为y＝kx+b，将A(2，3)，B(6，1)代入函数解析式，得
，解得：，
所以直线AB的解析式为yx+1．
【点睛】
本题考查了利用待定系数法求反比例函数以及一次函数解析式，熟练掌握待定系数法以及正确表示出BC，AD的长是解题的关键．
21、（1）y=﹣2x+100；（2）当销售单价为28元或1元时，厂商每月获得的利润为41万元；（3）当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元．
【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式；
（2）根据利润=销售量×（销售单价﹣成本），代入代数式求出函数关系式，令利润z=41，
求出x的值；
（3）根据厂商每月的制造成本不超过51万元，以及成本价18元，得出销售单价的取值范
围，进而得出最大利润．
【详解】解：（1）由表格中数据可得：y与x之间的函数关系式为：y=kx+b，
把（20，60），（25，50）代入得：
解得：
故y与x之间的函数关系式为：y=﹣2x+100；
（2）设总利润为z，由题意得，
z=y（x﹣18）
=（﹣2x+100）（x﹣18）
=﹣2x2+136x﹣1800；
当z=41时，
﹣2x2+136x﹣1800=41，
解得：x1=28，x2=1．
答：当销售单价为28元或1元时，厂商每月获得的利润为41万元；
（3）∵厂商每月的制造成本不超过51万元，每件制造成本为18元，
∴每月的生产量为：小于等于=30万件，
y=﹣2x+100≤30，
解得：x≥35，
∵z=﹣2x2+136x﹣1800=﹣2（x﹣34）2+512，
∴图象开口向下，对称轴右侧z随x的增大而减小，
∴x=35时，z最大为：510万元．
当销售单价为35元时，厂商每月获得的利润最大，最大利润为510万元．
【点睛】
本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，关键是根据题意求出二次函数的解析式以及利用增减性求出最值．
22、（1）详见解析；（2）AC=9，CD=.
【分析】（1）根据相似三角形的判定证明即可；
（2）利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】证明：（1）∵∠ABE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ABE∽△ACB；
（2）∵△ABE∽△ACB，
∴，
∴AB2＝AC•AE，
∵AB＝6，AE＝4，
∴AC＝，
∵AB∥CD，
∴△CDE∽△ABE，
∴，
∴ ．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB．
23、 (1) 6；(2) 锐角α=30°
【分析】（1）根据等式,设a=3k，b=4k，代入所求代数式化简求值即可；
（2）由cos30°=，tan60°=，化简即可得出sinα的值，根据特殊角的三角函数值即可得．
【详解】解：(1)∵，
∴设a=3k，b=4k，
∴==6，
故答案为：6；
(2)∵2sinα=4cos30°﹣tan60°=4×﹣=，
∴sinα=，
∴锐角α=30°，
故答案为：30°．
【点睛】
本题考查了化简求值，特殊角的三角函数值的应用，掌握化简求值的计算是解题的关键．
24、（1）5－；（2）x1＝－2，x2＝
【分析】（1）利用完全平方差公式以及化简二次根式和代入特殊三角函数进行计算即可；
（2）由题意观察原方程，可用因式分解法中十字相乘法或者公式法求解.
【详解】（1）计算：
解：原式＝7－4++2××
＝7－4+2－2+
＝5－．
（2）
解法一：（2x－3）（x+2）＝0
2x－3＝0或x+2＝0，
x1＝－2，x2＝．
解法二：a＝2，b＝1，c＝－6，
△＝b2－4ac＝12－4×2×（－6）＝49，
x＝，
x1＝－2，x2＝．
【点睛】
本题主要考查用因式分解法解一元二次方程以及实数的综合运算，涉及的知识点有特殊角的三角形函数值、完全平方差公式以及二次根式的分母有理化等．
25、树高为 5.5 米
【解析】根据两角相等的两个三角形相似，可得 △DEF∽△DCB ，利用相似三角形的对边成比例，可得， 代入数据计算即得BC的长，由 AB＝AC+BC ，即可求出树高.
【详解】∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB
∴ ，
∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，
∴，
∴CB＝4（m），
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）
答：树高为 5.5 米.
【点睛】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．
26、（1）∠ABC＝45°；（2）
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：（1）∵AB为半圆⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∵AC＝BC，∴∠ABC＝45°；
（2）∵AB＝4，∴BC=
∴阴影部分的面积=．
【点睛】
本题考查了扇形面积的计算，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．
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