2022年人教版中学七7年级下册数学期末解答题复习题.doc

2022年人教版中学七7年级下册数学期末解答题复习题
一、解答题
1．如图1，用两个边长相同的小正方形拼成一个大的正方形．

（1）如图2，若正方形纸片的面积为1，则此正方形的对角线AC的长为 dm．
（2）如图3，若正方形的面积为16，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为12的长方形纸片，使它的长和宽之比为3∶2，他能裁出吗？请说明理由．
2．有一块面积为100cm2的正方形纸片．
（1）该正方形纸片的边长为　 　cm（直接写出结果）；
（2）小丽想沿着该纸片边的方向裁剪出一块面积为90cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为4：3．小丽能用这块纸片裁剪出符合要求的纸片吗？
3．小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片,沿着边的方向裁处一块面积为300cm2的长方形纸片.
(1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；
(2)若使长方形的长宽之比为3:2,小丽能用这块纸片裁处符合要求的纸片吗？若能,请帮小丽设计一种裁剪方案,若不能，请简要说明理由.
4．张华想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向剪出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2．他不知能否裁得出来，正在发愁．李明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意李明的说法吗？张华能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
5．小丽想用一块面积为的正方形纸片，如图所示，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长是宽的2倍．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗?你认为小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗?为什么?

二、解答题
6．如图1，已知直线m∥n，AB 是一个平面镜，光线从直线m上的点O射出，在平面镜AB上经点P反射后，到达直线n上的点Q．我们称OP为入射光线，PQ为反射光线，镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即∠OPA=∠QPB．

（1）如图1，若∠OPQ=82°，求∠OPA的度数；
（2）如图2，若∠AOP=43°，∠BQP=49°，求∠OPA的度数；
（3）如图3，再放置3块平面镜，其中两块平面镜在直线m和n上，另一块在两直线之间，四块平面镜构成四边形ABCD，光线从点O以适当的角度射出后，其传播路径为 O→P→Q→R→O→P→…试判断∠OPQ和∠ORQ的数量关系，并说明理由．
7．如图，直线AB∥直线CD，线段EF∥CD，连接BF、CF．
（1）求证：∠ABF+∠DCF＝∠BFC；
（2）连接BE、CE、BC，若BE平分∠ABC，BE⊥CE，求证：CE平分∠BCD；
（3）在（2）的条件下，G为EF上一点，连接BG，若∠BFC＝∠BCF，∠FBG＝2∠ECF，∠CBG＝70°，求∠FBE的度数．

8．如图1，//，点、分别在、上，点在直线、之间，且．

（1）求的值；
（2）如图2，直线分别交、的角平分线于点、，直接写出的值；
（3）如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点、，且，直接写出的值．
9．已知直线，点P为直线、所确定的平面内的一点．
（1）如图1，直接写出、、之间的数量关系 ；
（2）如图2，写出、、之间的数量关系，并证明；
（3）如图3，点E在射线上，过点E作，作，点G在直线上，作的平分线交于点H，若，，求的度数．

10．已知，点在与之间．
（1）图1中，试说明：；
（2）图2中，的平分线与的平分线相交于点，请利用（1）的结论说明：．
（3）图3中，的平分线与的平分线相交于点，请直接写出与之间的数量关系．

三、解答题
11．将两块三角板按如图置，其中三角板边，，，．

（1）下列结论：正确的是_______．
①如果，则有；
②；
③如果，则平分．
（2）如果，判断与是否相等，请说明理由．
（3）将三角板绕点顺时针转动，直到边与重合即停止，转动的过程中当两块三角板恰有两边平行时，请直接写出所有可能的度数．
12．如图，AB⊥AK，点A在直线MN上，AB、AK分别与直线EF交于点B、C，∠MAB+∠KCF=90°．

（1）求证：EF∥MN；
（2）如图2，∠NAB与∠ECK的角平分线交于点G，求∠G的度数；
（3）如图3，在∠MAB内作射线AQ，使∠MAQ=2∠QAB，以点C为端点作射线CP，交直线AQ于点T，当∠CTA=60°时，直接写出∠FCP与∠ACP的关系式．
13．已知射线射线CD，P为一动点，AE平分，CE平分，且AE与CE相交于点E．（注意：此题不允许使用三角形，四边形内角和进行解答）

（1）在图1中，当点P运动到线段AC上时，．直接写出的度数；
（2）当点P运动到图2的位置时，猜想与之间的关系，并加以说明；
（3）当点P运动到图3的位置时，（2）中的结论是否还成立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出与之间的关系，并加以证明．
14．已知两条直线l1，l2，l1∥l2，点A，B在直线l1上，点A在点B的左边，点C，D在直线l2上，且满足．

（1）如图①，求证：AD∥BC；
（2）点M，N在线段CD上，点M在点N的左边且满足，且AN平分∠CAD；
（Ⅰ）如图②，当时，求∠DAM的度数；
（Ⅱ）如图③，当时，求∠ACD的度数．
15．已知直线，点分别为， 上的点．

（1）如图1，若，， ，求与的度数；
（2）如图2，若，， ，则_________；
（3）若把（2）中“，， ”改为“，， ”，则_________．（用含的式子表示）
四、解答题
16．在△ABC中，射线AG平分∠BAC交BC于点G，点D在BC边上运动（不与点G重合），过点D作DE∥AC交AB于点E．

（1）如图1，点D在线段CG上运动时，DF平分∠EDB
①若∠BAC＝100°，∠C＝30°，则∠AFD＝　　；若∠B＝40°，则∠AFD＝　　；
②试探究∠AFD与∠B之间的数量关系？请说明理由；
（2）点D在线段BG上运动时，∠BDE的角平分线所在直线与射线AG交于点F试探究∠AFD与∠B之间的数量关系，并说明理由
17．【问题探究】如图1，DF∥CE，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β，猜想∠DPC与α、β之间有何数量关系？并说明理由；
【问题迁移】
如图2，DF∥CE，点P在三角板AB边上滑动，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β.
（1）当点P在E、F两点之间运动时，如果α=30°，β=40°，则∠DPC= °.

（2）如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），写出∠DPC与α、β之间的数量关系，并说明理由．

（图1） （图2）
18．如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形是“准互余三角形”．

（1）如图1，在中，，是的角平分线，求证：是“准互余三角形”；
（2）关于“准互余三角形”，有下列说法：
①在中，若，，，则是“准互余三角形”；
②若是“准互余三角形”，，，则；
③“准互余三角形”一定是钝角三角形．
其中正确的结论是___________（填写所有正确说法的序号）；
（3）如图2，，为直线上两点，点在直线外，且．若是直线上一点，且是“准互余三角形”，请直接写出的度数．
19．已知，如图1，直线l2⊥l1，垂足为A，点B在A点下方，点C在射线AM上，点B、C不与点A重合，点D在直线11上，点A的右侧，过D作l3⊥l1，点E在直线l3上，点D的下方．
（1）l2与l3的位置关系是　 　；
（2）如图1，若CE平分∠BCD，且∠BCD＝70°，则∠CED＝　 　°，∠ADC＝　 　°；
（3）如图2，若CD⊥BD于D，作∠BCD的角平分线，交BD于F，交AD于G．试说明：∠DGF＝∠DFG；
（4）如图3，若∠DBE＝∠DEB，点C在射线AM上运动，∠BDC的角平分线交EB的延长线于点N，在点C的运动过程中，探索∠N:∠BCD的值是否变化，若变化，请说明理由；若不变化，请直接写出比值．

20．问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度数．
小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．
问题迁移：
(1)如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；
(2)在(1)的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与点A、B、O三点不重合)，请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．

【参考答案】
一、解答题
1．（1）；（2）不能，理由见解析
【分析】
（1）由正方形面积，可求得正方形边长，然后利用勾股定理即可求出对角线长；
（2）利用方程思想求出长方形的长边，然后与正方形边长比较大小即可．
【详解】
解：
解析：（1）；（2）不能，理由见解析
【分析】
（1）由正方形面积，可求得正方形边长，然后利用勾股定理即可求出对角线长；
（2）利用方程思想求出长方形的长边，然后与正方形边长比较大小即可．
【详解】
解：（1）∵正方形纸片的面积为，
∴正方形的边长，
∴．
故答案为：．
（2）不能；
根据题意设长方形的长和宽分别为和．
∴长方形面积为：，
解得：，
∴长方形的长边为．
∵，
∴他不能裁出．
【点睛】
本题考查了算术平方根在长方形和正方形面积中的应用，灵活的进行算术平方根计算及无理数大小比较是解题的关键．
2．（1）10；（2）小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
【分析】
（1）根据算术平方根的定义直接得出；
（2）直接利用算术平方根的定义长方形纸片的长与宽，进而得出答案．
【详解】
解：（1）根据算
解析：（1）10；（2）小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
【分析】
（1）根据算术平方根的定义直接得出；
（2）直接利用算术平方根的定义长方形纸片的长与宽，进而得出答案．
【详解】
解：（1）根据算术平方根定义可得，该正方形纸片的边长为10cm；
故答案为：10；
（2）∵长方形纸片的长宽之比为4：3，
∴设长方形纸片的长为4xcm，则宽为3xcm，
则4x•3x＝90，
∴12x2＝90，
∴x2＝，
解得：x＝或x＝-（负值不符合题意，舍去），
∴长方形纸片的长为2cm，
∵5＜＜6，
∴10＜2，
∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
【点睛】
本题考查了算术平方根．解题的关键是掌握算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根；0的算术平方根为0．也考查了估算无理数的大小．
3．（1）可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形；（2）不能，理由见解析.
【解析】
（1）解：设面积为400cm2的正方形纸片的边长为a cm
∴
解析：（1）可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形；（2）不能，理由见解析.
【解析】
（1）解：设面积为400cm2的正方形纸片的边长为a cm
∴a2=400
又∵a＞0
∴a=20
又∵要裁出的长方形面积为300cm2
∴若以原正方形纸片的边长为长方形的长，
则长方形的宽为：300÷20=15（cm）
∴可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为15cm的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形
（2）∵长方形纸片的长宽之比为3：2
∴设长方形纸片的长为3xcm，则宽为2xcm
∴6x 2=300
∴x 2=50
又∵x＞0
∴x =
∴长方形纸片的长为
又∵＞202
即：＞20
∴小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片
4．不同意，理由见解析．
【详解】
试题分析：设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米，2x厘米，则3x•2x=300，x2=50，解得x=，而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘米，由于
解析：不同意，理由见解析．
【详解】
试题分析：设面积为300平方厘米的长方形的长宽分为3x厘米，2x厘米，则3x•2x=300，x2=50，解得x=，而面积为400平方厘米的正方形的边长为20厘米，由于＞20，所以用一块面积为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向裁不出一块面积为300平方厘米的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2．
试题解析：解：不同意李明的说法．设长方形纸片的长为3x （x＞0）cm，则宽为2x cm，依题意得：3x•2x=300，6x2=300，x2=50，∵x＞0，∴x==，∴长方形纸片的长为 cm，∵50＞49，∴＞7，∴＞21，即长方形纸片的长大于20cm，由正方形纸片的面积为400 cm2，可知其边长为20cm，∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长．
答：李明不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片．
点睛：本题考查了算术平方根的定义：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根；0的算术平方根为0．也考查了估算无理数的大小．
5．不同意，理由见解析
【分析】
先求得正方形的边长，然后设设长方形宽为，长为，然后依据矩形的面积为20列方程求得的值，从而得到矩形的边长，从而可作出判断．
【详解】
解：不同意，
因为正方形的面积为，
解析：不同意，理由见解析
【分析】
先求得正方形的边长，然后设设长方形宽为，长为，然后依据矩形的面积为20列方程求得的值，从而得到矩形的边长，从而可作出判断．
【详解】
解：不同意，
因为正方形的面积为，故边长为
设长方形宽为，则长为
长方形面积
∴，
解得（负值舍去）
长为
即长方形的长大于正方形的边长，
所以不能裁出符合要求的长方形纸片
【点睛】
本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．
二、解答题
6．（1）49°，（2）44°，（3）∠OPQ=∠ORQ
【分析】
（1）根据∠OPA=∠QPB．可求出∠OPA的度数；
（2）由∠AOP=43°，∠BQP=49°可求出∠OPQ的度数，转化为（1）来解
解析：（1）49°，（2）44°，（3）∠OPQ=∠ORQ
【分析】
（1）根据∠OPA=∠QPB．可求出∠OPA的度数；
（2）由∠AOP=43°，∠BQP=49°可求出∠OPQ的度数，转化为（1）来解决问题；
（3）由（2）推理可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP，∠ORQ=∠DOR+∠RQC，从而∠OPQ=∠ORQ．
【详解】
解：（1）∵∠OPA=∠QPB，∠OPQ=82°，
∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×=（180°-82°）×=49°，
（2）作PC∥m，
∵m∥n，
∴m∥PC∥n，
∴∠AOP=∠OPC=43°，
∠BQP=∠QPC=49°，
∴∠OPQ=∠OPC+∠QPC=43°+49°=92°，
∴∠OPA=（180°-∠OPQ）×=（180°-92°）×44°，

（3）∠OPQ=∠ORQ．
理由如下：由（2）可知：∠OPQ=∠AOP+∠BQP，∠ORQ=∠DOR+∠RQC，
∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，
∴∠AOP=∠DOR，∠BQP=∠RQC，
∴∠OPQ=∠ORQ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和入射角等于反射角的规定，解决本题的关键是注意问题的设置环环相扣、前为后用的设置目的．
7．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠FBE＝35°．
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠ABF＝∠BFE，∠DCF＝∠EFC，进而解答即可；
（2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；
解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）∠FBE＝35°．
【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠ABF＝∠BFE，∠DCF＝∠EFC，进而解答即可；
（2）由（1）的结论和垂直的定义解答即可；
（3）由（1）的结论和三角形的角的关系解答即可．
【详解】
证明：（1）∵AB∥CD，EF∥CD，
∴AB∥EF，
∴∠ABF＝∠BFE，
∵EF∥CD，
∴∠DCF＝∠EFC，
∴∠BFC＝∠BFE+∠EFC＝∠ABF+∠DCF；
（2）∵BE⊥EC，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°，
由（1）可得：∠BFC＝∠ABE+∠ECD＝90°，
∴∠ABE+∠ECD＝∠EBC+∠BCE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ECD＝∠BCE，
∴CE平分∠BCD；
（3）设∠BCE＝β，∠ECF＝γ，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠BCE＝β，
∴∠DCF＝∠DCE﹣∠ECF＝β﹣γ，
∴∠EFC＝β﹣γ，
∵∠BFC＝∠BCF，
∴∠BFC＝∠BCE+∠ECF＝γ+β，
∴∠ABF＝∠BFE＝2γ，
∵∠FBG＝2∠ECF，
∴∠FBG＝2γ，
∴∠ABE+∠DCE＝∠BEC＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣β，
∴∠GBE＝∠ABE﹣∠ABF﹣∠FBG＝90°﹣β﹣2γ﹣2γ，
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠ABE＝90°﹣β，
∴∠CBG＝∠CBE+∠GBE，
∴70°＝90°﹣β+90°﹣β﹣2γ﹣2γ，
整理得：2γ+β＝55°，
∴∠FBE＝∠FBG+∠GBE＝2γ+90°﹣β﹣2γ﹣2γ＝90°﹣（2γ+β）＝35°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质解答．
8．（1） ；（2）的值为40°；（3）．
【分析】
（1）过点O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行线的性质可求解；
（2）过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，由角平分线的定义可设∠BEM
解析：（1） ；（2）的值为40°；（3）．
【分析】
（1）过点O作OG∥AB，可得AB∥OG∥CD，利用平行线的性质可求解；
（2）过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，由角平分线的定义可设∠BEM=∠OEM=x，∠CFN=∠OFN=y，由∠BEO+∠DFO=260°可求x-y=40°，进而求解；
（3）设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，根据平行线的性质即三角形外角的性质及，可得，结合，可得
即可得关于n的方程，计算可求解n值．
【详解】
证明：过点O作OG∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥OG∥CD，
∴
∴
即
∵∠EOF=100°，
∴∠；
（2）解：过点M作MK∥AB，过点N作NH∥CD，

∵EM平分∠BEO，FN平分∠CFO，
设
∵
∴
∴x-y=40°，
∵MK∥AB，NH∥CD，AB∥CD，
∴AB∥MK∥NH∥CD，
∴
∴

=x-y
=40°，
故的值为40°；
（3）如图，设直线FK与EG交于点H，FK与AB交于点K，

∵AB∥CD，
∴
∵
∴
∵
∴
即
∵FK在∠DFO内，
∴ ，

∵
∴
∴
即
∴
解得 ．
经检验，符合题意，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
9．（1）∠A+∠C+∠APC=360°；（2）见解析；（3）55°
【分析】
（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补，即可证得∠A+∠C+∠APC=360
解析：（1）∠A+∠C+∠APC=360°；（2）见解析；（3）55°
【分析】
（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补，即可证得∠A+∠C+∠APC=360°；
（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可证得∠APC=∠A+∠C；
（3）由（2）知，∠APC=∠PAB-∠PCD，先证∠BEF=∠PQB=110°、∠PEG=∠FEG，∠GEH=∠BEG，根据∠PEH=∠PEG-∠GEH可得答案．
【详解】
解：（1）∠A+∠C+∠APC=360°
如图1所示，过点P作PQ∥AB，

∴∠A+∠APQ=180°，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C+∠CPQ=180°，
∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ=360°，即∠A+∠C+∠APC=360°；
（2）∠APC=∠A+∠C，
如图2，作PQ∥AB，

∴∠A=∠APQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠C=∠CPQ，
∵∠APC=∠APQ-∠CPQ，
∴∠APC=∠A-∠C；
（3）由（2）知，∠APC=∠PAB-∠PCD，
∵∠APC=30°，∠PAB=140°，
∴∠PCD=110°，
∵AB∥CD，
∴∠PQB=∠PCD=110°，
∵EF∥BC，
∴∠BEF=∠PQB=110°，
∵EF∥BC，
∴∠BEF=∠PQB=110°，
∵∠PEG=∠PEF，
∴∠PEG=∠FEG，
∵EH平分∠BEG，
∴∠GEH=∠BEG，
∴∠PEH=∠PEG-∠GEH
=∠FEG-∠BEG
=∠BEF
=55°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
10．（1）说明过程请看解答；（2）说明过程请看解答；（3）∠BED=360°-2∠BFD．
【分析】
（1）图1中，过点E作EG∥AB，则∠BEG=∠ABE，根据AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，
解析：（1）说明过程请看解答；（2）说明过程请看解答；（3）∠BED=360°-2∠BFD．
【分析】
（1）图1中，过点E作EG∥AB，则∠BEG=∠ABE，根据AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG=∠CDE，进而可得∠BED=∠ABE+∠CDE；
（2）图2中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，结合（1）的结论即可说明：∠BED=2∠BFD；
（3）图3中，根据∠ABE的平分线与∠CDE的平分线相交于点F，过点E作EG∥AB，则∠BEG+∠ABE=180°，因为AB∥CD，EG∥AB，所以CD∥EG，所以∠DEG+∠CDE=180°，再结合（1）的结论即可说明∠BED与∠BFD之间的数量关系．
【详解】
解：（1）如图1中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG=∠ABE，

因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG=∠CDE，
所以∠BEG+∠DEG=∠ABE+∠CDE，
即∠BED=∠ABE+∠CDE；
（2）图2中，因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
所以∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2（∠ABF+∠CDF），
由（1）得：因为AB∥CD，
所以∠BED=∠ABE+∠CDE，
∠BFD=∠ABF+∠CDF，
所以∠BED=2∠BFD．
（3）∠BED=360°-2∠BFD．
图3中，过点E作EG∥AB，
则∠BEG+∠ABE=180°，

因为AB∥CD，EG∥AB，
所以CD∥EG，
所以∠DEG+∠CDE=180°，
所以∠BEG+∠DEG=360°-（∠ABE+∠CDE），
即∠BED=360°-（∠ABE+∠CDE），
因为BF平分∠ABE，
所以∠ABE=2∠ABF，
因为DF平分∠CDE，
所以∠CDE=2∠CDF，
∠BED=360°-2（∠ABF+∠CDF），
由（1）得：因为AB∥CD，
所以∠BFD=∠ABF+∠CDF，
所以∠BED=360°-2∠BFD．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
三、解答题
11．（1）②③；（2）相等，理由见解析；（3）30°或45°或75°或120°或135°
【分析】
（1）根据平行线的判定和性质分别判定即可；
（2）利用角的和差，结合∠CAB=∠DAE=90°进行判断
解析：（1）②③；（2）相等，理由见解析；（3）30°或45°或75°或120°或135°
【分析】
（1）根据平行线的判定和性质分别判定即可；
（2）利用角的和差，结合∠CAB=∠DAE=90°进行判断；
（3）依据这两块三角尺各有一条边互相平行，分五种情况讨论，即可得到∠EAB角度所有可能的值．
【详解】
解：（1）①∵∠BFD=60°，∠B=45°，
∴∠BAD+∠D=∠BFD+∠B=105°，
∴∠BAD=105°-30°=75°，
∴∠BAD≠∠B，
∴BC和AD不平行，故①错误；
②∵∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAE+∠CAD=∠BAE+∠CAE+∠DAE=180°，故②正确；
③若BC∥AD，
则∠BAD=∠B=45°，
∴∠BAE=45°，
即AB平分∠EAD，故③正确；
故答案为：②③；
（2）相等，理由是：
∵∠CAD=150°，
∴∠BAE=180°-150°=30°，
∴∠BAD=60°，
∵∠BAD+∠D=∠BFD+∠B，
∴∠BFD=60°+30°-45°=45°=∠C；
（3）若AC∥DE，
则∠CAE=∠E=60°，
∴∠EAB=90°-60°=30°；

若BC∥AD，
则∠B=∠BAD=45°，
∴∠EAB=45°；

若BC∥DE，
则∠E=∠AFB=60°，
∴∠EAB=180°-60°-45°=75°；

若AB∥DE，
则∠D=∠DAB=30°，
∴∠EAB=30°+90°=120°；

若AE∥BC，
则∠C=∠CAE=45°，
∴∠EAB=45°+90°=135°；

综上：∠EAB的度数可能为30°或45°或75°或120°或135°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，分情况画出图形，学会用分类讨论的思想思考问题．
12．（1）见解析；（2）∠CGA=45°；（3）∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°．
【分析】
（1）有垂直定义可得∠MAB+∠KCN=90°，然后根据同角的余角相等可得∠KAN=∠K
解析：（1）见解析；（2）∠CGA=45°；（3）∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°．
【分析】
（1）有垂直定义可得∠MAB+∠KCN=90°，然后根据同角的余角相等可得∠KAN=∠KCF，从而判断两直线平行；
（2）设∠KAN=∠KCF=α，过点G作GH∥EF，结合角平分线的定义和平行线的判定及性质求解；
（3）分CP交射线AQ及射线AQ的反向延长线两种情况结合角的和差关系分类讨论求解．
【详解】
解：（1）∵AB⊥AK
∴∠BAC=90°
∴∠MAB+∠KAN=90°
∵∠MAB+∠KCF=90°
∴∠KAN=∠KCF
∴EF∥MN
（2）设∠KAN=∠KCF=α
则∠BAN=∠BAC+∠KAN=90°＋α
∠KCB=180°－∠KCF=180°－α
∵AG平分∠NAB，CG平分∠ECK
∴∠GAN=∠BAN=45°＋α，∠KCG=∠KCB=90°－α
∴∠FCG=∠KCG+∠KCF=90°＋α
过点G作GH∥EF
∴∠HGC=∠FCG=90°＋α
又∵MN∥EF
∴MN∥GH
∴∠HGA=∠GAN=45°＋α
∴∠CGA=∠HGC－∠HGA=（90°＋α）－（45°＋α）=45°

（3）①当CP交射线AQ于点T

∵
∴
又∵
∴
由（1）可得：EF∥MN
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
即∠FCP+2∠ACP=180°
②当CP交射线AQ的反向延长线于点T，延长BA交CP于点G

，由EF∥MN得
∴
又∵，，
∴

∵，
∴
∴
∴
由①可得
∴
∴
综上，∠FCP=2∠ACP或∠FCP+2∠ACP=180°．
【点睛】
本题考查平行线的判定和性质以及角的和差关系，准确理解题意，正确推理计算是解题关键．
13．（1）；（2），证明见解析；（3），证明见解析．
【分析】
（1）过点作，先根据平行线的性质、平行公理推论可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可得；
解析：（1）；（2），证明见解析；（3），证明见解析．
【分析】
（1）过点作，先根据平行线的性质、平行公理推论可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，然后根据角平分线的定义可得，最后根据角的和差即可得；
（2）过点作，过点作，先根据（1）可得，再根据（1）同样的方法可得，由此即可得出结论；
（3）过点作，过点作，先根据（1）可得，再根据平行线的性质、平行公理推论可得，然后根据角的和差、等量代换即可得出结论．
【详解】
解：（1）如图，过点作，

，
，
，
，
，
又，且点运动到线段上，
，
平分，平分，
，
；
（2）猜想，证明如下：
如图，过点作，过点作，

由（1）已得：，
同理可得：，
；
（3），证明如下：
如图，过点作，过点作，

由（1）已得：，
即，
，
，即，
，
，
，即，
，
，
，
，
即．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
14．（1）证明见解析；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】
（1）先根据平行线的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据平行线的判定即可得证；
（2）（Ⅰ）先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据角的和差可得
解析：（1）证明见解析；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】
（1）先根据平行线的性质可得，再根据角的和差可得，然后根据平行线的判定即可得证；
（2）（Ⅰ）先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据角的和差可得，然后根据即可得；
（Ⅱ）设，从而可得，先根据角平分线的定义可得，再根据角的和差可得，然后根据建立方程可求出x的值，从而可得的度数，最后根据平行线的性质即可得．
【详解】
（1），
，
又，
，
；
（2）（Ⅰ），
，
，
，
由（1）已得：，
，
；
（Ⅱ）设，则，
平分，
，
，
，
，
由（1）已得：，
，即，
解得，
，
又，
．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、角的和差、角平分线的定义、一元一次方程的几何应用等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
15．（1）120º，120º；（2）160；（3）
【分析】
（1）过点作，，根据 ，平行线的性质和周角可求出，则 ，再根据 ， ，可得 ， ，可求出 ，，根据 即可得到结果；
（2）同理（1）的求法，
解析：（1）120º，120º；（2）160；（3）
【分析】
（1）过点作，，根据 ，平行线的性质和周角可求出，则 ，再根据 ， ，可得 ， ，可求出 ，，根据 即可得到结果；
（2）同理（1）的求法，根据，， 求解即可；
（3）同理（1）的求法，根据，， 求解即可；
【详解】
解：（1）如图示，分别过点作，，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴．
（2）如图示，分别过点作，，

∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴．
故答案为：160；
（3）同理（1）的求法
∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴， ，
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质和角度的运算，熟悉相关性质是解题的关键．
四、解答题
16．（1）①115°；110°；②；理由见解析；（2）；理由见解析
【分析】
（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形内角和定理求出∠B=50°，由平行线的性质得出∠EDB=∠C=30°，由
解析：（1）①115°；110°；②；理由见解析；（2）；理由见解析
【分析】
（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，由三角形内角和定理求出∠B=50°，由平行线的性质得出∠EDB=∠C=30°，由角平分线定义得出，，由三角形的外角性质得出∠DGF=100°，再由三角形的外角性质即可得出结果；若∠B=40°，则∠BAC+∠C=180°-40°=140°，由角平分线定义得出，，由三角形的外角性质即可得出结果；
②由①得：∠EDB=∠C，，，由三角形的外角性质得出∠DGF=∠B+∠BAG，再由三角形的外角性质即可得出结论；
（2）由（1）得：∠EDB=∠C，，,由三角形的外角性质和三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
（1）①若∠BAC=100°，∠C=30°，
则∠B=180°-100°-30°=50°，
∵DE∥AC，
∴∠EDB=∠C=30°，
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴，，
∴∠DGF=∠B+∠BAG=50°+50°=100°，
∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=100°+15°=115°；
若∠B=40°，则∠BAC+∠C=180°-40°=140°，
∵AG平分∠BAC，DF平分∠EDB，
∴，，
∵∠DGF=∠B+∠BAG，
∴∠AFD=∠DGF+∠FDG=∠B+∠BAG+∠FDG
=

故答案为：115°；110°；
②；
理由如下：由①得：∠EDB=∠C，，，
∵∠DGF=∠B+∠BAG，
∴∠AFD=∠DGF+∠FDG
=∠B+∠BAG+∠FDG
=

；
（2）如图2所示：；
理由如下：
由（1）得：∠EDB=∠C，，，
∵∠AHF=∠B+∠BDH，
∴∠AFD=180°-∠BAG-∠AHF

．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角性质、平行线的性质等知识；熟练掌握三角形内角和定理和三角形的外角性质是解题的关键．
17．∠DPC=α+β，理由见解析；（1）70 ；(2) ∠DPC=α – β，理由见解析.
【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠C
解析：∠DPC=α+β，理由见解析；（1）70 ；(2) ∠DPC=α – β，理由见解析.
【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（2）化成图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【问题探究】解：∠DPC=α+β
如图，

过P作PH∥DF
∵DF∥CE,
∴∠PCE=∠1=α， ∠PDF=∠2
∵∠DPC=∠2+∠1=α+β
【问题迁移】（1）70

（图1） （ 图2）
(2) 如图1，∠DPC=β -α
∵DF∥CE,
∴∠PCE=∠1=β，