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简易逻辑练习题

类型一：判断命题的真假
例1 下列命题中的假命题是(　　)
A．存在实数α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
B．不存在无穷多个α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
C．对任意α和β，使cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
D．不存在这样的α和β，使cos(α＋β)≠cosαcosβ－sinαsinβ
[答案]　B
[解析]　cos(α＋β)＝cosα·cosβ－sinα·sinβ，显然C、D为真；sinα·sinβ＝0时，A为真；B为假．故选B.
例2 若命题“p∧q”为假，且“¬p”为假，则(　　)
A．p或q为假　 B．q为假
C．q为真 D．不能判断q的真假
[答案]　B
[解析]　∵“¬p”为假，∴p为真，
又∵p∧q为假，∴q为假，
p或q为真．
类型二：四种命题及命题的否定
例3 命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　　)
A．∀x∈R，|x|>0 B．∃x0∈R，|x0|>0
C．∀x∈R，|x|≤0 D．∃x0∈R，|x0|≤0
[答案]　C
[解析]　由词语“有些”知原命题为特称命题，故其否定为全称命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.
例4 已知命题“∀a、b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是(　　)
A．∀a、b∈R，如果ab<0，则a<0
B．∀a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0
C．∃a、b∈R，如果ab>0，则a≤0
D．∃a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0
[答案]　B
[解析]　条件ab>0的否定为ab≤0；
结论a>0的否定为a≤0，故选B.
类型三：充分条件与必要条件
例5 设x、y、z∈R，则“lgy为lgx，lgz的等差中项”是“y是x，z的等比中项”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　A
[解析]　由题意得，“lgy为lgx，lgz的等差中项”，则2lgy＝lgx＋lgz⇒y2＝xz，则“y是x，z的等比中项”；而当y2＝xz时，如x＝z＝1，y＝－1时，“lgy为lgx，lgz的等差中项”不成立，所以“lgy为lgx，lgz的等差中项”是“y是x，z的等比中项”的充分不必要条件，故选A.
例6 f(x)＝|x|·(x－b)在[0,2]上是减函数的充要条件是______________________．
[答案]　b≥4
[解析]　f(x)＝
若b≤0，则f(x)在[0,2]上为增函数，∴b>0，
∵f(x)在[0,2]上为减函数，∴≥2，∴b≥4.
类型四：求参数的取值范围
例7 若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为__________________．
[答案]　1
[解析]　若“∀x∈[0，]，tan x≤m”是真命题，则m≥f(x)max，其中f(x)＝tanx，x∈[0，]．
∵函数f(x)＝tan x，x∈[0，]的最大值为1，∴m≥1，
即m的最小值为1.
例8 若x∈[－2,2]，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，求a的取值范围．
[解析]　设f(x)＝x2＋ax＋3－a，则问题转化为当x∈[－2,2]时，[f(x)]min≥0即可．
①当－<－2，即a>4时，f(x)在[－2,2]上单调递增，f(x)min＝f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，又a>4，所以a不存在．
②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，
f(x)min＝f(－)＝≥0，解得－6≤a≤2.
又－4≤a≤4，所以－4≤a≤2.
③当－>2，即a<－4时，f(x)在[－2,2]上单调递减，f(x)min＝f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，
又a<－4，所以－7≤a<－4.
综上所述，a的取值范围是{a|－7≤a≤2}．
例9 已知命题p：实数x满足x2－2x－8≤0；命题q：实数x满足|x－2|≤m(m>0)．
(1)当m＝3时，若“p∧q”为真，求实数x的取值范围；
(2)若“¬p”是“¬q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解析]　(1)若p真：－2≤x≤4；
当m＝3时，若q真：－1≤x≤5，
∵“p∧q”为真，∴－1≤x≤4.
(2)∵“¬p”是“¬q”的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件．
q：2－m≤x≤2＋m，
∴，且等号不同时取得，
∴m≥4.

类型五 正难则反
例10 求证：如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
[解析]　该命题的逆否命题为：若p＋q>2，则p2＋q2≠2.
p2＋q2＝[(p＋q)2＋(p－q)2]≥(p＋q)2.
∵p＋q>2，∴(p＋q)2>4，∴p2＋q2>2，
即p＋q>2时，p2＋q2≠2成立．
∴如果p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
巩固训练
1．下列命题中的真命题有(　　)
①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；
②△ABC中，·<0是△ABC为钝角三角形的充要条件；
③2b＝a＋c是数列a、b、c为等差数列的充要条件；
④△ABC中，tanAtanB>1是△ABC为锐角三角形的充要条件．
A．1个　 　 B．2个　
C．3个　 　 D．4个
[答案]　B
[解析]　两直线平行不一定有斜率，①假．
由·<0只能说明∠ABC为锐角，当△ABC为钝角三角形时，·的符号也不能确定，因为A、B、C哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．
由tanAtanB>1，知A、B为锐角，∴sinAsinB>cosAcosB，
∴cos(A＋B)<0，即cosC>0.∴角C为锐角，
∴△ABC为锐角三角形．
反之若△ABC为锐角三角形，则A＋B>，
∴cos(A＋B)<0，∴cosAcosB<sinAsinB，
∵cosA>0，cosB>0，∴tanAtanB>1，故④真．
2．已知命题p：∀x∈R,2x<3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是(　　)
A．p∧q B．(¬p)∧q
C．p∧(¬q) D．(¬p)∧(¬q)
[答案]　B
[解析]　由20＝30知p为假命题；令h(x)＝x3＋x2－1，则h(0)＝－1<0，h(1)＝1>0，∴方程x3＋x2－1＝0在(－1,1)内有解，∴q为真命题，∴(¬p)∧q为真命题，故选B.
3．已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
[答案]　A
[解析]　图示法：p r⇒s⇒q，
故q p，否则q⇒p⇒r⇒q⇒p，则r⇒p，故选A.
4．f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)＋g(x)，“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若f(x)，g(x)均为偶函数，则h(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝f(x)＋g(x)＝h(x)，所以h(x)为偶函数；若h(x)为偶函数，则f(x)，g(x)不一定均为偶函数．可举反例说明，如f(x)＝x，g(x)＝x2－x＋2，则h(x)＝f(x)＋g(x)＝x2＋2为偶函数．
答案：B

5．设a、b∈R，现给出下列五个条件：①a＋b＝2；②a＋b>2；③a＋b>－2；④ab>1；⑤logab<0，其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件为(　　)
A．②③④ B．②③④⑤
C．①②③⑤ D．②⑤
[答案]　D
[解析]　①a＋b＝2可能有a＝b＝1；②a＋b>2时，假设a≤1，b≤1，则a＋b≤2矛盾；③a＋b>－2可能a<0，b<0；④ab>1，可能a<0，b<0；⑤logab<0，∴0<a<1，b>1或a>1,0<b<1，故②⑤能推出．
6．“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案]　C
[解析]　本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若a＝0，则f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增，若“a<0”，则f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|其图象如图所示，在(0，＋∞)内递增；反之，若f(x)＝|(ax－1)x|
在(0，＋∞)内递增，从图中可知a≤0，故选C.

7．已知命题p：“对∀x∈R，∃m∈R，使4x＋2xm＋1＝0”．若命题¬p是假命题，则实数m的取值范围是(　　)
A．－2≤m≤2 B．m≥2
C．m≤－2 D．m≤－2或m≥2
[答案]　C
[解析]　由题意可知命题p为真，即方程4x＋2xm＋1＝0有解，∴m＝－＝－(2x＋)≤－2.

8．已知三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0，则l1、l2、l3构不成三角形的充要条件是k∈集合__________________．
[答案]　{－5,5，－10}
[解析]　①l1∥l3时，k＝5；②l2∥l3时，k＝－5；
③l1、l2、l3相交于同一点时，k＝－10.
9．若p的逆命题是r，r的否命题是s，则s是p的否命题的__________________．
[答案]　逆命题
[解析]　解法1：依据四种命题的关系图解．

由图示可知？处应为互逆关系．
解法2：用特殊命题探究
p：若x>2，则x>1，r：若x>1，则x>2，s：若x≤1，则x≤2，p的否命

11.．已知p(x)：x2＋2x－m>0，如果p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是__________________．
[答案]　3≤m<8
[解析]　∵p(1)是假命题，p(2)是真命题，
∴解得3≤m<8.

11.已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，若至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．
[解析]　假设三个方程均无实根，则
有
由①得4a2＋4a－3<0，即－<a<；由②得3a2＋2a－1>0，即a>，或a<－1；
由③得a(a＋2)<0，即－2<a<0.
∴a的取值范围为－<a<－1.
因而使三个方程中至少有一个方程有实根的实数a的取值范围为{a|a≤－，或a≥－1}．

12 已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3<0}，且x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．
[解析]　P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}．
∵x∈P是x∈Q的必要条件，
∴x∈Q⇒x∈P，即Q⊆P.
∴，，
∴－1≤a≤5.
13．已知命题p：∀m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥；命题q：∃x，使不等式x2＋ax＋2≤0.若p或q是真命题，¬q是真命题，求a的取值范围．
[解析]　根据p或q是真命题，¬q是真命题，得p是真命题，q是假命题．
∵m∈[－1,1]，∴∈[2，3]．
因为∀m∈[－1,1]，不等式a2－5a－3≥，
∴a2－5a－3≥3，∴a≥6或a≤－1.
故命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
又命题q：∃x，使不等式x2＋ax＋2<0，
∴Δ＝a2－8>0，∴a>2或a<－2，
从而命题q为假命题时，－2≤a≤2，
所以命题p为真命题，q为假命题时，
a的取值范围为－2≤a≤－1.
14．求使函数f(x)＝(a2＋4a－5)x2－4(a－1)x＋3的图象全在x轴上方成立的充要条件．
[解析]　∵函数f(x)的图象全在x轴上方，
∴，或，
解得1<a<19或a＝1，故1≤a<19.
所以使函数f(x)的图象全在x轴的上方的充要条件是1≤a<19.
15．已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x＋2ax0＋2a≤0，若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．
[解析]　由2x2＋ax－a2＝0得(2x－a)(x＋a)＝0，
∴x＝或x＝－a，
∴当命题p为真命题时||≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.
又“只有一个实数x0满足x＋2ax0＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，
∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.
∴命题“p或q”为真命题时，|a|≤2.
∵命题“p或q”为假命题，
∴a>2或a<－2.
即a的取值范围为{a|a>2或a<－2}．