春季六年级奥数培训教材.doc

梦洁 目 录第一章 数与代数第一讲 比较大小第二章 实践与应用（一）第一讲 行程问题（一） 第二讲 行程问题（二） 第三讲 行程问题（三） 第四讲 流水行船问题第三章 空间与图形 第一讲 表面积、体积（一） 第二讲 表面积、体积（二）第四章 数论与整除 第一讲应用同余解题第五章 应用（二）第一讲 “ 牛吃草”问题第二讲 不定方程 第三讲 比例（补充）第六章 组合与推理第一讲 最大、最小问题第二讲 乘法和加法原理第三讲 抽屉原理（一） 第四讲 抽屉原理（二） 第五讲 逻辑推理（一）第六讲 逻辑推理（二） 第其讲 对策问题第一章 数与代数第一讲 比较大小【专题导引】我们已经掌握了基本的比较整数、小数、分数大小的方法。本周将进一步研究如何比较一些较复杂的数或式子的值的大小。解答这种类型的题目，需要将原题进行各种形式的转化，再利用一些不等式的性质进行推理判断。如:ab0，那么a2b2；如果ab0，那么1，b0，那么ab等等。比较大小时，如果要比较的分数都接近1时，可先用1减去原分数，再根据被减数相等（都是1），减数越小，差越大的道理判断原分数的大小。如果两个数的倒数接近，可以先用1分别除以这两个数。再根据被除数相等，商越小，除数越大的道理判断原数的大小。除了将比较大小转化为比差、比商等形式外，还常常要根据算式的特点将它作适当的变形后再进行判断。【典型例题】【例1】比较的大小。【试一试】1、 比较的大小。2、将按从小到大的顺序排列出来。【例2】比较哪个分数大？【试一试】1、 比较的大小。2、 比较的大小。【例3】的积与0.25比较，哪个大？【试一试】：1、的积与比较，哪个大？2、的积与比较，哪个大？【例4】已知A15=B=C15.2=D14.8。A，B，C，D四个数中最大的是_。【试一试】1、 已知A。把A，B，C，D，E这五个数从小到大排列，第2个数是_。2、 有八个数，是其中的六个数，如果从小到大排列时，第四个数是，那么从大到小排列时，第四个数是哪个？【例5】下图中有两个红色的正方形，两个蓝色的正方形，它们的面积已在图中标出（单位：厘米2）。问：红色的两个正方形的面积大，还是蓝色的两个正方形面积大？蓝蓝20102红红199722011219962【试一试】1、如图所示，有两个红色的圆和两个蓝色的圆。红色两圆的直径分别是1992厘米和1949厘米，蓝色两圆的半径分别是1990厘米和1951厘米。问：红色两圆面积之和大，还是蓝色两圆的面积之和大？蓝红 蓝红AByx2、如图所示，正方形被一条曲线分成了A、B两部分，如果xy，试比较A、B两部分周长的大小。课外作业 家长签名： 1、比较的大小。2、比较的大小。3、的积与0.002比较，哪个大？4、在下面四个算式中，最大的得数是几？（1） （2） （3） （4）5、问与相比，哪个更大？为什么？第一章 实践与应用（一）第一讲 行程问题（一）【专题导引】行程问题的三个基本量是距离、速度和时间。其互逆关系可用乘、除法计算，方法简单，但应注意行驶方向的变化，按所行方向的不同可分为三种：（1）相遇问题；（2）相离问题；（3）追及问题。行程问题的主要数量关系是：距离=速度时间。它大致分为以下三种情况：（1） 相向而行：相遇时间=距离速度和。（2） 相背而行：相背距离=速度和时间。（3） 同向而行：速度慢的在前，快的在后。 追及时间=追及距离速度差。在环行跑道上，速度快的在前，慢的在后。 追及距离=速度差时间。解行程问题时，要注意充分利用图示把题中的情形形象地表示出来，有助于分析数量关系，有助于迅速地找到解题思路。【典型例题】【例1】两辆汽车同时从某地出发，运送一批货物到距离165千米的工地。甲车比乙车早到48分钟，当甲车到达时，乙车还距工地24千米。甲车行完全程用了多少个小时？【试一试】1、甲、乙两地之间的距离是420千米。两辆汽车同时从甲地开往乙地。第一辆汽车每小时行42千米，第二辆汽车每小时行28千米。第一辆汽车到乙地立即返回。两辆车从开出到相遇共用多少小时？2、A、B两地相距900千米，甲车由A地到B地需15小时，乙车由B地到A地需10小时。两车同时从两地开出，相遇时甲车距B地还有多少千米？【例2】两辆汽车同时从东、西两站相向开出。第一次在离东站60千米的地方相遇。之后，两车继续以原来的速度前进。各自到达对方车站后都立即返回。又在距中点西侧30千米处相遇。两站相距多少千米？【试一试】1、两辆汽车同时从南、北两站相对开出，第一次在离南站55千米的地方相遇，之后两车继续以原来的速度前进。各自到站后都立即返回，又在距中点南侧15千米处相遇。两站相距多少千米？2、两列火车同时从甲、乙两站相向而行。第一次相遇在离甲站40千米的地方。两车仍以原速继续前进。各自到站后立即返回，又在离乙站20千米的地方相遇。两站相距多少千米？【例3】A、B两地相距960米。甲、乙两人分别从A、B两地同时出发。若相向而行，6分钟相遇；若同向行走，80分钟甲可以追上乙。甲从A地走到B地要用多少分钟？【试一试】1、一条笔直的马路通过A、B两地，甲、乙两人同时从A、B两地出发，若相向行走，12分钟相遇；若同向行走，8分钟甲就落在乙后面1864米。已知A、B两地相距1800米。甲、乙每分钟各行多少米？2、父、子二人在一400米长的环行跑道上散步。他俩同时从同一地点出发。若相背而行，分钟相遇；若同向而行，分钟父亲可以追上儿子。问：在跑道上走一圈，父、子各需要多少分钟？【例4】上午8时8分，小明骑自行车从家里出发。8分钟后，爸爸骑摩托车去追他。在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家。到家后他又立即回头去追小明。再追上他的时候，离家恰好是8千米，这时是几时几分？【试一试】1、A、B两地相距21千米，上午8时甲、乙分别从A、B两地出发，相向而行。甲到达B 地后立即返回，乙到达A地后立即返回。上午10时他们第二次相遇。此时，甲走的路程比乙走的多9千米。甲一共行了多少千米？甲每小时走多少千米？2、张师傅上班坐车，回家步行，路上一共要用80分钟。如果往、返都坐车，全部行程要50分钟；如果往、返都步行，全部行程要多长时间？【例5】甲、乙、丙三人，每分钟分别行68米、70.5米、72米。现甲、乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙和乙相遇后，又过2分钟与甲相遇。东、西两镇相距多少千米？【试一试】1、有甲、乙、丙三人，甲每分钟行70米，乙每分钟行60米，丙每分钟行75米，甲、乙从A地去B地，丙从B地去A地，三人同时出发，丙遇到甲8分钟后，再遇到乙。A、B两地相距多少千米？2、一只狼以每秒15米的速度追捕在它前面100米处的兔子。兔子每秒行4.5米，6秒钟后猎人向狼开了一枪。狼立即转身以每秒16.5米的速度背向兔子逃去。问：开枪多少秒后兔子与狼又相距100米？课外作业 家长签名： 1、甲、乙两辆汽车早上8点钟分别从A、B两城同时相向而行。到10点钟时两车相距112.5千米。继续行进到下午1时，两车相距还是112.5千米。A、B两地间的距离是多少千米？2、甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出。第一次相遇时离A站有90千米。然后各按原速继续行驶，分别到达对方车站后立即沿原路返回。第二次相遇时离A地的距离占A、B两站间全程的65%。A、B两站间的路程是多少千米？3、两条公路呈十字交叉。甲从十字路口南1350米处向北直行，乙从十字路口处向东直行。同时出发10分钟后，二人离十字路口的距离相等；二人仍保持原来速度直行，又过了80分钟，这时二人离十字路口的距离又相等。求甲、乙二人的速度。4、当甲在60米赛跑中冲过终点线时，比乙领先10米，比丙领先20米。如果乙和丙按原来的速度继续冲向终点，那么乙到达终点时将比丙领先多少米？5、甲、乙两车同时从A地开往B地，乙车6小时可以到达，甲车每小时比乙车慢8千米，因此比乙车迟一小时到达。A、B两地间的路程是多少千米？第二讲 行程问题（二）【专题导引】 在行程问题中，与环形有关的行程问题的解决方法与一般行程问题的方法类似，但有两点值得注意：一是两人同地背向运动，从第一次相遇到下次相遇共行一个全程；二是同地、同向运动时，甲追上乙时，甲比乙多行一个全程。【典型例题】【例1】甲、乙、丙三人沿着湖边散步，同时从湖边一固定点出发。甲按顺序针方向行走，乙与丙按逆时针方向行走。甲第一次遇到乙后分遇到丙，再过分钟第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的，湖的周长为600米，求丙的速度。【试一试】1、甲、乙、丙三人环湖跑步，同时从湖边一固定点出发。乙、丙两人同向，甲与乙、丙反向。在甲第一次遇到乙后分钟第一次遇到丙；再过分钟第二次遇到乙。已知甲的速度与乙的速度比是3：2，湖的周长为2000米，求三人的速度。2、兄、妹二人在周长为30米的圆形小池边玩。从同一地点同时背向绕水池而行。兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米。他们第10次相遇时，妹还要走多少米才能回到出发点？【例2】甲、乙两人在同一条椭圆形跑道上做特殊训练。他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑。每人跑完第一圈到达出发点后，立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时，乙的速度是甲的。甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度提高了。已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次相遇点190米。这条椭圆形跑道长多少米？【试一试】：1、小明绕一个圆形长廊游玩。顺时针走，从A处到C处要12分钟，从B处到A处要15分钟，从C处到B处要11分钟。从A处到B处需要多少分钟（如下图所示）？ABC2、摩托车与小汽车同时从A地出发，沿长方形的边行驶，结果在B地相遇。已知B地与C地的距离是4千米，且小汽车的速度为摩托车速度的。这条长方形路的周长是多少千米（如图）？ABC【例3】绕湖的一周是24千米，小张和小王在湖边某一地点同时出发反向而行。小王以每小时4千米速度走1小时后休息5分钟，小张以每小时6千米速度每走50分钟后休息10分钟。两人出发多少时间第一次相遇？【试一试】1、在400米环行跑道上，A、B两点相距100米。甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒行5米，乙每秒行4米，每人跑100米都要停留10秒钟。那么，甲追上乙需要多少秒？2、一辆汽车在甲、乙两站之间行驶。往、返一次共用去4小时。汽车去时每小时行45千米，返回时每小时行驶30千米，那么甲、乙两站相距多少千米？【例4】一个游泳池长90米。甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发，游到另一端立即返回。照这样往、返游，两人游10分钟。已知甲每秒游3米，乙每秒游2米。在出发后的两分钟内，两人相遇了几次？【试一试】1、甲、乙两个运动员同时从游泳池的两端相向出发做往、返游泳训练。从池的一端到另一端甲要3分钟，乙要3.2分钟。两人下水后连续游了48分钟，一共相遇了多少次？2、一游泳池泳道长100米，甲、乙两个运动员从泳道的两端同时下水，做往、返训练15分钟，甲每分钟游81米，乙每分钟游89米。甲运动员一共从乙运动员身边经过了多少次？【例5】甲、乙两地相距60千米。张明8点从甲地出发去乙地，前一半时间平均速度为每分钟1千米，后一半时间平均速度为每分钟0.8千米。张明经过多少时间到达乙地？【试一试】1、A、B两地相距90千米。一辆汽车从A地出发到B地，前一半时间平均每小时行60千米，后一半时间平均每小时行40千米。经过多少时间可以到达B地？2、甲、乙两人同时从A地背向出发，沿400米环行跑道行走。甲每分钟走80米，乙每分钟走50米。两人至少经过多少分钟才能在A点相遇？课外作业 家长签名： CDAB1、如图所示，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C点离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60米。求这个圆的周长。2、甲、乙两人在圆形跑道上，同时从某地出发沿相反方向跑步。甲速是乙速的3倍，他们第一次与第二次相遇地点之间的路程是100米。环行跑道有多少米？3、龟、兔进行10000米跑步比赛。兔每分钟跑400米，龟每分钟跑80米，兔每跑5分钟歇25分钟，龟不休息。谁先到达终点？4、马路上有一辆身长为15米的公共汽车，由东向西行驶，车速为每小时18千米。马路一旁人行道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑。某一时刻，汽车追上了甲，6秒钟之后汽车离开了甲，半分钟后，汽车遇到迎面跑来的乙，又过了2秒钟，汽车离开乙。再过几秒钟后，甲、乙两人相遇？5、在300米的环行跑道上，甲、乙两人同时并排起跑。甲平均每秒行5米，乙平均每秒行4.4米。两人起跑后的第一次相遇在起跑线前面多少米？第三讲 行程问题（三）【专题导引】本周主要讲结合分数、百分数知识相关的较为复杂抽象的行程问题。要注意：出发的时间、地点和行驶方向、速度的变化等，常常需画线段图来帮助理解题意。【典型例题】【例1】客车和货车同时从A、B两地相对开出。客车每小时行驶50千米，货车的速度是客车的80，相遇后客车继续行3.2小时到达B地。A、B两地相距多少千米？【试一试】1、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，相遇点距中点320米。已知甲的速度是乙的速度的，甲每分钟行800米。求A、B两地的路程。2、甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，匀速前进。如果每人按一定的速度前进，则4小时相遇；如果每人各自都比原计划每小时少走1千米，则5小时相遇。那么A、B两地的距离是多少千米？【例2】从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是1：2：3，某人走这三段路所用的时间比是4：5：6。已知他上坡的速度为每小时2.5千米，路程全长为20千米。此人从甲地走到乙地需多长时间？【试一试】1、从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是2：3：5，小亮走这三段路所用的时间之比是6：5：4。已知小亮走平路时速度为每小时4.5千米，他从甲地走到乙地共用了5小时。问：甲、乙两地相距多少千米？2、小明去登山，上午6点出发，走了一段平坦的路，爬上了一座山，在山顶停了1小时后按原路返回，上坡速度为每小时3千米，下坡速度为每小时6千米。问：小明一共走了多少千米？【例3】甲、乙两人分别从A、B两地出发，相向而行，出发时他们的速度比是3：2。他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%。这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米。那么A、B两地间的距离是多少千米？【试一试】1、甲、乙两人步行的速度比是13：11，他们分别由A、B两地同时出发相向而行，0.5小时后相遇。如果他们同向而行，那么甲追上乙需要几小时？2、从A地到B地，甲要走2小时，乙要走1小时40分钟。若甲从A地出发8分钟后，乙从A地出发追甲。乙出发多久能追上甲？【例4】甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，一辆汽车一次只能坐一个班的学生。为了尽快到达机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班步行，同时出发。甲班学生在中途下车步行去飞机场，汽车立即返回接途中步行的乙班同学。已知两班学生步行速度相同，汽车的速度是步行的7倍，汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班同学，才能使两班学生同时到达飞机场（学生上下车及汽车换向时间不计算）？【试一试】1、红星小学有80名学生租了一辆40座的车去海边看日出。未上车的学生步行，和汽车同时出发，由汽车往返接送。学校离海边48千米，汽车的速度是步行的9倍。汽车应在距海边多少千米处返回接第二批学生，才能使学生同时到达海边？2、一辆汽车把货物从甲地运往乙地往返只用了5小时，去时所用的时间是回来的倍，去时每小时比回来时慢17千米。汽车往、返共行了多少千米？【例5】一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20，可以比原定时间提前1小时到达；如果按原速行驶120千米后，再将速度提高25，则可提前40分钟到达。那么甲、乙两地相距多少千米？【试一试】1、一辆车从甲地开往乙地。如果把车速提高25，那么可以比原定时间提前1小时到达；如果以原速行驶80千米后，再将速度提高，那么可以提前10分钟到达乙地。甲、乙两地相距多少千米？2、一个正方形的一边减少20，另一边增加2米，得到一个长方形。这个长方形的面积与原正方形面积相等。原正方形面积是多少平方米？课外作业 家长签名： 1、甲、乙两人同时骑自行车从东、西两镇相向而行，甲和乙的速度比是3：4。已知甲行了全程的，离相遇地点还有20千米，相遇时甲比乙少行多少千米？2、青青从家到学校正好要翻过一座小山，她上坡每分钟行50米，下坡速度比上坡速度快40，从家到学校的路程为2800米，上学要用50分钟。从学校回家要用多少时间？3、甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是5：4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。那么，A、B两地相距多少千米？4、甲、乙两人以同样的速度，同时从A、B两地相向出发，相遇后甲的速度提高了，用小时到达B地。乙的速度减少了，再用多少小时可到达A地？5、客、货两车同时从甲、乙两的相对开出，相遇时客、货两车所行路程的比是5：4，相遇后货车每小时比相遇前每小时多走27千米。客车仍按原速前进，结果两车同时到达对方的出发站。已知客车一共行了10小时。甲、乙两地相距多少千米？第四讲 流水行船问题【专题导引】当你逆风骑自行车时有什么感觉？是的，逆风时需用很大力气，因为面对的是迎面吹来的风。当顺风时，借着风力，相对而言用力较少。在你的生活中是否也遇到过类似的如流水行船问题。解答这类题的要素有下列几点：水速、顺速、船速（速水速度）、逆速、距离，解答这类题与和差问题相似。船速相当于和差问题中的大数，水速相当于小数，顺流速度相当于和数，逆流速相当于差数。船速=（顺流船速+逆流船速）2；水速=（顺流船速-逆流船速）2；顺流船速=船速+水速；逆流船速=船速-水速；顺流船速=逆流船速+水速2；逆流船速=顺流船速-水速2。【典型例题】【例1】一条轮船往返于A、B两地之间，由A地到B地是顺水航行，由B地到A地是逆水航行。已知船在静水中的速度是每小时20千米，由A到B用了6小时，由B到A所用的时间是由A到B所用时间的1.5倍，求水流速度。【试一试】：1、水流速度是每小时15千米。现在有船顺水而行，8小时行320千米。若逆水行驶320千米需几小时？2、水流速度每小时5千米。现在有一船逆水在120千米的河中航行需6小时，顺水航行需几小时？【例2】有一船行驶于120千米长的河中，逆行需10小时，顺行要6小时，求船速和水速。【试一试】1、有只大木船在长江中航行。逆流而上5小时行5千米，顺流而下1小时行5千米。求这只木船的静水速度和水流速度各是多少？2、有一船完成360千米的水程运输任务。顺流而下30小时到达，但逆流而上则需60小时。求河水流速和静水中船的速度？【例3】轮船以同一速度往返于两码头之间。它顺流而下，行了8小时；逆流而上，行了10小时。如果水流速度是每小时3千米，求两码头之间的距离。【试一试】：1、一艘轮船以同样的速度往返于甲、乙两个港口，它顺流而下行了7小时，逆流而上行了10小时。如果水流速度是每小时3.6千米，求甲、乙两个港口之间的距离？2、一艘渔船顺水每小时行18千米，逆水每小时行15千米。求船速和水速各是多少？【例4】汽船每小时行30千米，在长176千米的河中逆流航行要11小时到达，返回需几小时？【试一试】：1、当一机动船在水流每小时3千米的河中逆流而上时，8小时行48千米。返回时水流速度是逆流而上的2倍。需几小时行195千米？2、已知一船自上游向下游航行，经9小时后，已行673千米，此船每小时的船速是47千米。求此河的水速是多少？【例5】有甲、乙两船，甲船和漂流物同时由河西向东而行，乙船也同时从河东向西而行。甲船行4小时后与漂流物相距100千米，乙船行12小时后与漂流物相遇，两船的船速相同，河长多少千米？【试一试】1、有两只木排，甲木排和漂流物同时由A地向B地前行，乙木排也同时从B地向A地前行，甲木排5小时后与漂流物相距75千米，乙木排航行15小时后与漂流物相遇，两只木排的船速相同，A、B两地长多少千米？2、有一条河在降雨后，每小时水的流速在中流和沿岸不同。中流每小时59千米，沿岸每小时45千米。有一汽船逆流而上，从沿岸航行15小时走完570千米的路程，回来时几小时走完中流的全程？课外作业 家长签名： 1、一船从A地顺流到B地，航行速度是每小时32千米，水流速度是每小时4千米，天可以到达。此船从B地返回到A地需多少小时？2、一海轮在海中航行。顺风每小时行45千米，逆风每小时行31千米。求这艘海轮每小时的船速和风速各是多少？3、沿河有上、下两个市镇，相距85千米。有一只船往返两市镇之间，船的速度是每小时18.5千米，水流速度每小时1.5千米。求往、返一次所需的时间。4、一只小船在河中逆流航行3小时行3千米，顺流航行1小时行3千米。求这只船每小时的速度和河流的速度各是多少？5、有一架飞机顺风而行4小时飞360千米。今出发至某地顺风去，逆风回，返回的时间比去的时间多3小时。已知逆风速度为75千米/小时，求距目的地多少千米？第二章 空间与图形第一讲 表面积、体积（一）【专题导引】小学阶段所学的立体图形主要有四种：长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式做适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致的观察，合理大胆的想象，正确灵活的运用。在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点： （1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。 （2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。 （3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的正方体，应把它们最小的面拼合起来。若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面积拼合起来。【专题导引】【例1】从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？（考虑有多种挖法）【试一试】1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？2、把一个长为12分米，宽为6分米，高为9分米的长方体木块锯成两个相同的小长方体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？【例2】把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，如下图所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。从上往下看从前往后看从左往右看【试一试】1、用棱长是一厘米的立方体拼成下图所示的立方体图形。求这个立体图形的表面积。2、一堆积木（如图所示），是由16块棱长是2厘米的小正方体堆成的。它们的表面积是多少平方厘米？【例3】把两个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、4厘米的相同长方体，拼成一个大长方体，这个大长方体的表面积最少是多少平方厘米？【试一试】1、把底面积为20平方厘米的两个相等的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是多少？2、将一个表面积为30平方厘米的正方体等分成两个长方体，再将这两个长方体拼成一个大长方体。求大长方体的表面积是多少？【例4】一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米。求原长方体的表面积。【试一试】1、一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加厘米，则体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米？2、一个长方体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，其表面积减少了120平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？【例5】如图所示，将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。求这个物体的表面积。【试一试】1、一个棱长为40厘米的正方体零件（如图所示）的上、下两个面上，各有一个直径为4厘米的圆孔，孔深为10厘米。求这个零件的表面积。2、用铁皮做一个如图所示的工件（单位：厘米），需用铁皮多少平方厘米？154654课外作业 家长签名： 1、在一个棱长是4厘米的长方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面积会发生怎样的变化？（考虑有多种挖法）2、一个正方体的表面积是384平方厘米，把这个正方体平均分割成64个相等的小正方体。每个小正方体的表面积是多少平方厘米？3、用6块长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米的长方体木块拼成一个大长方体，有许多种拼法，其中表面积最小的是多少平方厘米？4、有一个长方体（如图所示），它的正面和上面的面积之和是209。如果它的长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少？5、如图所示，在一个立方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上、下侧面的中心打通一个圆柱形的洞。已知立方体棱长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上、下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求该立方体的表面积和体积。（取3.14）。第二讲 表面积、体积（二）【专题导引】解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：（1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。把物体从水中取出，水面下降部分的体积等于物体的体积。这是物体全部浸没在水中的情况。如果物体不全部浸在水中，那么排开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。（2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变。（3）求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。（4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定势。【典型例题】【例1】有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为6米、3米、2米。把两堆碎石都沉在中、小水池里，两个水池水面分别升高了6厘米和4厘米。如果将这两堆碎石都沉在大水池里，大水池的水面升高多少厘米？【试一试】1、有大、中、小三个正方体水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米。把两堆碎石都沉在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米。如果将这两堆碎石都沉在大水池里，那么大水池的水面将升高多少厘米？2、用直径为20厘米的圆钢，锻造成长、宽、高分别为30厘米、20厘米、5厘米的长方体钢板，应截取圆钢多长（精确到0.1厘米）？【例2】一只底面直径是10厘米的圆柱形瓶中，水深8厘米，要在瓶中放入长和宽都是8厘米、高是15厘米的一块铁块，把铁块竖放在水中，水面上升几厘米？【试一试】1、一个底面积是15平方厘米的玻璃杯中装有高3厘米的水。现把一个底面半径是1厘米、高5厘米的圆柱形铁块垂直放入玻璃杯水中，问水面升高了多少厘米（取3）？2、一个圆柱形玻璃杯内盛有水，水面高5厘米，玻璃杯内侧的底面积是72平方厘米。在这个杯中放进棱长6厘米的正方体铁后，水面没有淹没铁块，这时水面高多少厘米？【例3】某面粉厂有一容积是24立方米的长方体储粮池，它的长是宽或高的2倍。当贴着它一最大的内侧面将面粉堆成一个最大的半圆锥体时，求这堆面粉的体积。（如图所示）【试一试】1、已知一个圆锥体的底面半径和高都等于一正方体的棱长，这个正方体的体积是216立方分米。求这个圆锥体的体积。2、一个正方体的纸盒中，恰好能装入一个体积6.28立方厘米的圆柱体。纸盒的容积有多大（取3.14）？【例4】如果把12件同样长的长方体物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎样打包物体的表面积最小呢？【试一试】1、如果把长8厘米，宽7厘米，高3厘米的12件同样的长方形物品打包，形成一件大的包装物，有几种包装方法？怎样打包，物体的表面积最小？2、一个精美小礼品盒的形状是长9厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体。请你帮厂家设计一个能装10个小礼品盒的大纸箱，你觉得怎样设计比较合理？为什么？【例5】一只集装箱，它的内尺寸是181818。现在有一批货箱，它的外尺寸是149。问这只集装箱能装多少只货箱？【试一试】1、有一个长方体的盒子，从里面量长为40厘米、宽为12厘米、高为7厘米。在这个盒子里放长5厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块，最多可放几块？2、从一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方体上面，尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？课外作业 家长签名： 1、将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个铁质正方体熔铸成一个大正方体（不计损耗）。求这个大正方体的体积。2、在底面是边长为60厘米的正方形的一个长方体容器里，直立放着一个长100厘米、底面边长为15厘米的正方形的四棱柱铁棍。这时容器里的水深50厘米。现在把铁棍轻轻地向正上方提起24厘米，露出水面的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米？3、如图所示，圆锥形容器中装有3升水，水面高度正好是圆锥高度的一半。这个容器还能装多少水？4、一包香烟的形状是长方体，它的长是9厘米，宽是5厘米，高是2厘米。把10包香烟包装在一起形成一个大长方体，称为一条。可以怎样包装？算一算需要多少包装纸（包装纸的重叠部分忽略不计）。你认为哪一种包装比较合理？5、现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做的铁皮盒容积是多少立方厘米？第三章 数论与整除第一讲 应用同余解题【专题导引】同余这个概念最初是由伟大的德国数学家高斯发现的。同余的定义是这样的：两个整数a、b，如果它们除以同一自然数m所得的余数相同，则称a、b对于模m同余。记作：ab（mod m）。读做:a与b关于模m同余。比如，12除以5，47除以5，它们有相同的余数2，这时我们就说，对于除数5，12和47同余，记做1247（mod 5）。同余的性质比较多，主要有以下一些：性质1：对于同一个除数，两个数之和（或差）与它们的余数之和（或差）同余。比如：32除以5余数是2，19除以5余数是4，两个余数的和是2+4=6。“32+19”除以5的余数就恰好等于它们的余数和6除以5的余数。也就是说，对于除数5，“32+19”与它们的余数和“2+4”同余，用符号表示就是：322（mod 5），194（mod 5），32+192+41（mod 5）。性质