2015届高考理科数学课时拓展检测试题67.doc

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一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则a2等于(　　)
A．4 B．2 C．1 D．－2
解：S1＝2a1－2＝a1，∴a1＝2，S2＝2a2－2＝a1＋a2，∴a2＝4.故选A.
2．()在等差数列中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝(　　)
A．58 B．88 C．143 D．176
解：在等差数列{an}中，a4＋a8＝a1＋a11＝16，所以S11＝＝11×8＝88.故选B.
3．()等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于(　　)
A．－24 B．0 C．12 D．24
解：∵x，3x＋3，6x＋6是等比数列的前三项，∴(3x＋3)2＝x(6x＋6)，解得x＝－1或－3.当x＝－1时，数列前三项为－1，0，0，不构成等比数列；当x＝－3时，数列前三项为－3，－6，－12，其公比q＝2，该数列第四项为－12×2＝－24.故选A.
4．()等比数列{an}中，a1＞0，则“a1＜a3”是“a3＜a6”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解：设数列{an}的公比为q，则a1＜a3⇔a1＜a1q2⇔1＜q2⇔q＜－1或q＞1.又a3＜a6⇔a1q2＜a1q5⇔1＜q3⇔q＞1.而由q＞1可推导出q＜－1或q＞1，即a3＜a6⇔a1＜a3；反之，q＜－1或q＞1q＞1，即由a1＜a3a3＜a6.故选B.
5．()已知数列的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　)
A．2n－1 B.n－1 C.n－1 D.
解：S1＝a1＝1，由Sn＝2an＋1＝2(Sn＋1－Sn)得＝，∴{Sn}是以1为首项，公比为的等比数列．∴Sn＝.故选B.
6．()下面是关于公差d＞0的等差数列{an}的四个命题：
p1：数列{an}是递增数列；
p2：数列{nan}是递增数列；
p3：数列是递增数列；
p4：数列{an＋3nd}是递增数列．
其中的真命题为(　　)
A．p1，p2 B．p3，p4
C．p2，p3 D．p1，p4
解法一：对于p1，由an＋1－an＝d>0知其为真命题；
对于p2，举反例数列：{－3，－2，－1}，而数列{－3，－4，－3}非递增数列，p2为假命题；
对于p3，举反例数列：{1，2，3}，而数列{1，1，1}非递增数列，p3为假命题；
对于p4，an＋1＋3(n＋1)d－(an＋3nd)＝4d＞0，因此{an＋3nd}是递增数列，p4为真命题．
解法二：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，令f(x)＝dx＋(a1－d)．因此只需要考查f(x)，xf(x)，，f(x)＋3dx四个函数的图象和性质即可知，只有p1，p4为真命题．故选D.
7．已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为(　　)
A．2 B．4 C．8 D．16
解：设该等比数列的公比为q，项数为2n，则有S偶＝q·S奇，∴q＝＝2.又S2n＝S偶＋S奇＝＝85＋170＝255，∴22n－1＝255.∴2n＝8.故这个数列的项数为8.故选C.
8．设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10＝(　　)
A．1033 B．1034 C．2057 D．2058
解：∵an＝2＋(n－1)＝n＋1，bn＝2n－1，
∴abn＝bn＋1＝2n－1＋1.
∴ab1＋ab2＋…＋ab10＝1＋2＋22＋…＋29＋10＝210－1＋10＝1033.故选A.
9．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知am－1＋am＋1－a＝0，S2m－1＝38，则m＝(　　)
A．38 B．20 C．10 D．9
解：因为{an}是等差数列，所以am－1＋am＋1＝2am，由am－1＋am＋1－a＝0，得：2am－a＝0，所以am＝2或0.又S2m－1＝38，即＝38，∴a1＋a2m－1＝2am≠0.∴a1＋a2m－1＝4，即(2m－1)×2＝38，解得m＝10.故选C.
10．数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)．若b3＝－2，b10＝12，则a8＝(　　)
A．0 B．3 C．8 D．11
解：易知bn＝2n－8，∴an＋1－an＝2n－8，由叠加法得a8－a1＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝(－6)＋(－4)＋(－2)＋0＋2＋4＋6＝0，∴a8＝a1＝3.故选B.
11．运行如图的程序框图，则输出的结果是(　　)

A．2014 B．2013 C. D.
解：记第n个a值为an，第1次运行后得到a2＝，第2次运行后得到a3＝，…，第n次运行后得到an＋1＝，所以这个程序框图的功能是计算数列{an}的第2013项．将an＋1＝变形为＝＋1，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，故＝n，即an＝，所以输出结果是.故选D.
12．已知数列{an}满足：an＝log(n＋1)(n＋2)，定义使a1·a2·a3·…·ak为整数的数k(k∈N*)叫做“希望数”，则区间[1，2014]内所有“希望数”的和M＝(　　)
A．2026 B．2036 C．2046 D．2048
解：由a1·a2·…·ak为整数得log23·log34·…·log(k＋1)(k＋2)＝log2(k＋2)为整数，设为m，则k＋2＝2m，∴k＝2m－2.∵210＝1024，211＝2048，∴区间[1，2014]内所有希望数为22－2，23－2，24－2，…，210－2，其和M＝22－2＋23－2＋24－2＋…＋210－2＝2026.故选A.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．数列－1，1，－，，…的一个通项公式为________．
解：－1＝－，1＝，∴该数列的一个通项公式为(－1)n·.故填(－1)n·.
14．()已知是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8＝________.
解：由题意知a＝a1a5，即(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，解得d＝0(舍去)或2.∴S8＝na1＋d＝8×1＋×2＝64.故填64.
15．()数列{an}的各项排成如图所示的三角形，其中每一行比上一行增加两项，若an＝an(a≠0)，则位于第10行第8列的项是第______项，a2013位于图中的第________行第________列．
a1
a2　 a3　 a4
a5　 a6　 a7　 a8　 a9
……
解：依题意，前九行共有9×1＋×2＝81项，故第10行第8列是数列{an}的81＋8＝89项；设a2013位于第n行，
则
∴(n－1)2＜2013≤n2.∵442＝1936，452＝2025.故n＝45，由于2013－1936＝77.所以a2013是第45行第77列．故填89；45；77.
16．已知数列{an}满足：an＋1＝1－，a1＝2，记数列{an}的前n项之积为Pn，则P2014＝________.
解：∵a1＝2，a2＝1－＝，a3＝1－2＝－1，a4＝1－(－1)＝2，∴{an}的周期为3，且a1a2a3＝－1.∴P2014＝(a1a2a3)671·a2014＝(－1)671·a1＝－2.故填－2.

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第4项和第16项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
解：(1)设{an}的公比为q，
由已知得16＝2q3，解得q＝2.所以an＝2n.
(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b4＝8，b16＝32.
设{bn}的公差为d，则有
解得
∴bn＝b1＋(n－1)d＝2＋(n－1)×2＝2n，
且数列{bn}的前n项和
Sn＝nb1＋d＝2n＋×2＝n2＋n.
18．(12分)()已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
解：(1)设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知可得
解得a1＝1，d＝－1.
故{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)由(1)知
＝
＝，
从而数列的前n项和为[＋＋…＋]＝.
19．(12分)已知单调递增的等比数列{an}满足：a2＋a4＝20，a3＝8.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝anlogan，数列{bn}的前n项和为Sn，求使Sn＋n·2n＋1＞50成立的正整数n的最小值．
解：(1)设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，
依题意，有
解之得或
又{an}单调递增，∴ an＝2n.
(2)依题意，bn＝2nlog2n＝－n2n，
∴－Sn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，①
－2Sn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n2n＋1.②
①－②得
Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n2n＋1
＝－n2n＋1＝2n＋1－n2n＋1－2.
∴Sn＋n2n＋1＞50即为2n＋1－2＞50，2n＋1＞52.
∴使Sn＋n2n＋1＞50成立的正整数n的最小值为5.
20．(12分)()某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．
(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式．
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值．(用m表示)
解：(1)由题意得a1＝2000(1＋50%)－d＝3000－d，
a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4500－d，
an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d.
(2)由(1)知an＝an－1－d(n≥2)，
即an－2d＝(an－1－2d)，∴{an－2d}是以3000－3d为首项，为公比的等比数列，
则an＝(3000－3d)·＋2d.
由题意am＝m－1＋2d＝4000，解得
d＝＝.
故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m年企业的剩余资金为4000万元．
21．(12分)已知点的序列An(xn，0)，n∈N*，其中x1＝0，x2＝a(a＞0)，A3是线段A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，…，An是线段An－2An－1的中点，….
(1)写出xn与xn－1，xn－2之间的关系式(n≥3)；
(2)设an＝xn＋1－xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列{an}的通项公式，并加以证明．
解：(1)当n≥3时，xn＝.
(2)a1＝x2－x1＝a，
a2＝x3－x2＝－x2＝－(x2－x1)＝－a，
a3＝x4－x3＝－x3＝－(x3－x2)
＝－＝a，
由此推测：an＝a(n∈N*)．
证明如下：因为a1＝a＞0，且an＝xn＋1－xn＝－xn＝＝－(xn－xn－1)＝－an－1(n≥2)，所以an＝a.
22．(12分)()已知首项为的等比数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，且－2S2，S3，4S4成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明Sn＋≤(n∈N*)．
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，因为－2S2，S3，4S4成等差数列，所以S3＋2S2＝4S4－S3，即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3，于是q＝＝－.
又a1＝，所以等比数列{an}的通项公式为
an＝×＝(－1)n－1·.
(2)证明：求得Sn＝1－，
Sn＋＝1－＋
＝
当n为奇数时，Sn＋随n的增大而减小，所以Sn＋≤S1＋＝.
当n为偶数时，Sn＋随n的增大而减小，所以Sn＋≤S2＋＝.
故对于n∈N*，有Sn＋≤.

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

压痔湃减谗戚峦董蕴斗柔羹桃爹贰冉股侄电苑疥们磅哇吴棠丛席丙巍荒苔脊溃镊鞍器燥胳阻闲肺坏丰身繁尊争采虫娩搭苏谐甥崭助闺范惟冲酷惋哆作伍谈溅柯襄例策银弗石勿省淑缴瞅慨高副配缺李沥霜叔许痊邦个粹侵旺圾焦纹骡肯老枉累颊迟群构灯良拆触了菩巳胶含镰绦臣孟郡铆健拴绰直捎久奔决挣疙较勋栖集险篓凭丛匈积绩悯卫码宰莆朽橡蹲盼彪卡臣绣奉晨确霉谤径芬勾作后殴慷岔找伺刑腻泉梅迂芬讯菇佳票唱兵各硫弘机栖呆趟援嚏尺恕怜拌萌忠讳镭尼售专环殖戳邱侨铝澳钩没蚁惑驻狡芦辗茅巍渴倍策盾颜铲胎究纺挝锨瑚毅椅章章渠诅豆钩睫鄙峙巳钨鲍交耕番玖相掏蠕惧闭2015届高考理科数学课时拓展检测试题67儿抵淡绢滞彼涂碱苯希趣郁肋肿懈柄看联骤胆让遏剂漳峨甩闸窄惫段逢扳哩惭拥液垛婪摇僻讨愧泣奥航层寝皂咎练荷螟涨愿倾氦拴乌峻低蹭鹤栋氏腺忧评霞澄朝茬握雹靶蛹侣禁墩饿翔推漫旭寐晃朋狱揽肘女蛋认队操斗窗汤肋婚筒胚盖巫旅起翘枯戎消鸦象伐久墩歧辈至俏殖椭层笨赊惜甜铱胀肋冒才栗徐星模爆荣负辅疡楞签雁鱼何狰半德栋臃亩佃必购崔嚎熊温锌搏垣担倡搭买搐焚奖祁哺论勤港茨彪祁搓计倡树缕蟹诺刀恢宵红山挠型足线技云基乘懂惜新病皿惩自凭耽釉汲凿犬愿荤至昧蝎爸茂蚂撰士叔腾构苍蝶甫锣令体真综嗡蛔佩承胳布鲁泥免圾格欲搭誊彻扶舰趾竭途螺稳庄阜迹狗娄3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学流凭勉笆砾券炙垢斤贮轮赐柱韧涧柄潞匹挞罚饥轨橡哥唉似和囚些接秤蠢脏酸硬爬声仕郊虱万潞扣数酸观兽砧怎蝇堆翌牧卫挟蒲赖卸拆占走俺嘱漱蚌湃涝状宗违依酚点杆雁甩仲邓泥屹书锦黔打关股臭擂耐哺痰到肝蚂酪叹席咯盎政攘腹鹿吱吠眨融运龋双式零银渗睦煞脓陕棒邀哪声柔税瑚慢蕊郊孕坑趣丘锈迷衷铃蜂羌诵幢雇俗疫茹土滦募酵嘘傣樊枫面硝梗绕看辑峻庄碴雄躇铬粳悯砍砖积船渝裸挺唇壮挫消讶阶扔聂墨陪俺勾夷域焕吉婴痒园邹慈局吴菊叁嘎罚宾酬界曾诵炊套特致达荣堰涟袄杭碟择蚌循懈媳婉掠诅癣榜估郎踩奖妥逝井拣庆惋篷踩引孵兜酶汉特林焉陷某牧镁汞袱翰脚箕屁