线性控制理论第4章-控制系统的稳定性.ppt

第第 4 章章 控制系统的稳定性控制系统的稳定性1.内容提要内容提要:本章主要介绍 状态空间分析法中 系统的稳定性分析 系统的内部稳定、外部稳定 李亚普诺夫关于稳定的基本概念和定理 李亚普诺夫第一法和李亚普诺夫第二法的应用 利用MATLAB判断系统的稳定性。2.知识要点知识要点：内部稳定、外部稳定，李氏意义下的稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定，克拉索夫斯基法判稳，变量梯度法。3.4.1 系统稳定的基本概念系统稳定的基本概念 系统运动稳定性可分为基于输入输出描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。1892年俄国数学家李雅普诺夫（A.M.Lyapunov）就如何判别系统的稳定性问题，提出了李雅普诺夫第一法和第二法。第一法的基本思路是先求解系统的线性化微分方程，然后根据解的性质来判定系统的稳定性。称为间接法。4.第二法的基本思路是不需要求解系统的微分方程式（或状态方程式）就可以对系统的稳定性进行分析和判断，称为直接法。它通过构造一个李雅普诺夫函数，根据这个函数的性质来判别系统的稳定性，不但能用来分析线性定常系统的稳定性，而且也能用来判别非线性系统和时变系统的稳定性。5.外外部部稳稳定定性性：系系统统在在零零初初始始条条件件下下通通过过其其外外部部状状态态，即即系系统统的的输输入入输输出出关关系系所所定定义义的的（零零状状态态响响应应）。适适用用于于线线性性系统。系统。内内部部稳稳定定性性：系系统统在在零零输输入入条条件件下下，由由内内部部状状态态变变化化所所定定义。适用于线性、非线性系统。（零输入响应）义。适用于线性、非线性系统。（零输入响应）对对于于同同一一线线性性系系统统。只只有有在在一一定定条条件件下下，两两种种定定义义才才具具有有等价性。等价性。李雅普诺夫方法：李雅普诺夫方法：适用于线性、非线性、时变系统。适用于线性、非线性、时变系统。6.包包括括零零状状态态响响应应和和零零输输入入响响应应。零零状状态态响响应应和和经经典典理理论论中中稳稳定定性性问问题题一一样样，考考虑虑外外部部稳稳定定性性问问题题。而而零零输输入入响响应应的的稳稳定定性性问问题题，即即研研究究齐齐次次方方程程由由任任意意非非零零初初态态引引起起的的响响应应的的稳稳定定性性问问题题，这这是是一一种内部稳定性问题。种内部稳定性问题。1892年年，俄俄国国人人李李雅雅普普诺诺夫夫发发表表了了运运动动稳稳定定性性的的一一般般问问题题的的博博士士论论文文，提提出出了了分分析析稳稳定定性性的的两两种种有有效效方方法法。第第一一种种方方法法，通通过过对对线线性性化化系系统统特特征征方方程程的的根根的的分分析析来来判判断断稳稳定定性性，称称为为间间接接法法。此此时时，非非线线性性系系统统必必须须先先线线性性近近似似，而而且且只只适适用用于于平平衡衡状状态态附附近近。第第二二种种方方法法，从从能能量量的的观观点点对对系系统统的的稳稳定定性性进进行行研研究究，称称为为直直接接法法。显然，显然，第二种方法对线性、非线性系统都适用。第二种方法对线性、非线性系统都适用。在状态空间中，在状态空间中，7.4.1.1 外部稳定性和内部稳定性 1.外部稳定性 系统的输入和输出间的描述就是外部描述，当初始状态为零时，单输入单输出的线性时变系统，其输入输出描述可表示为 （4-1）式中，是系统的脉冲响应函数，它是在 时刻加入 函数后，系统在时刻t的输出，是系统的输入信号，是系统的输出信号。8.对于线性定常系统，式（4-1）可以写成 相应的拉氏变换表达式为 就是单输入单输出线性定常系统的传递函数。（4-2）9.对多输入多输出的线性时变系统，系统的初始条件为零，在时刻 每一个输入端加入一个 函数，对应的每一个输出端在时刻t都有一个脉冲响应，比如在第j个输入端加入一个 函数，在第i个输出端就有一个脉冲响应 ，将这些脉冲响应函数组成一个矩阵，就是多输入多输出线性时变系统的脉冲矩阵 ，即 10.当初始条件为零，系统在输入向量的作用下，输入输出描述可表示为 其中，系统的输出向量。（4-3）11.对于线性定常系统，其初始状态为零的输入输出描述可表示为 （4-4）相应的拉氏变换表达式为其中，系统的脉冲响应函数阵；传递函数矩阵。12.定义定义4-1 一个零初始状态的线性系统称之为BIBO稳定的充分必要条件为，对于任意有界输入，其输出是有界的。注意，注意，这里必须假定系统的初始条件为零。因为只有在这种假定下，系统的输入输出描述才是惟一的和有意义的。下面，给出一些常用的判据。，13.定理定理4-1 对零初始状态r维输入和m维输出的连续时间线性时变系统，时刻系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限正常数k，使对一切 ，中所有元 均满足关系式 （4-5）14.证明证明（1）单输入单输出情形充分性证明：令输入 为有界函数，即满足则由基于脉冲响应的输出 关系式，可以得到由定义可知系统BIBO稳定。15.必要性证明：采用反证法，已知系统BIBO稳定，设存在某个 ，使有 （4-6）则可构造如下一个有界输入 （4-7）16.其对应的输出如下 （4-8）即输出为无界，与已知系统BIBO稳定的假设矛盾。因此，反设不成立，证得 （4-9）17.（2）多输入多输出情形注意此时系统输出 的任一分量 ，均有 （4-10）且有限个有界函数之和仍为有界。因此，利用单输入单输出情形讨论，即可证得结论。18.定理定理4-2 对零初始状态r维输入和m维输出连续时间线性定常系统，令初始时刻 ，则系统BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限正常数 k，使脉冲响应矩阵 所有元 均满足关系式 等价地，传递函数矩阵 为真或严真有理分式阵时，的每一元素 的所有极点均具有负实部。（4-11）19.外部稳定性外部稳定性 有界输入有界输出稳定性；有界输入有界输出稳定性；线性动态系统；线性动态系统；零初始条件。零初始条件。定定义义：初初始始条条件件为为零零的的系系统统，任任何何一一个个有有界界输输入入作作用用下系统的输出也是有界的，则系统是外部稳定的。下系统的输出也是有界的，则系统是外部稳定的。BIBO稳定：稳定：Bounded input Bounded output 20.*.单输入单输出系统（模的有界性）单输入单输出系统（模的有界性）21.*.多输入多输出系统（模的有界性）多输入多输出系统（模的有界性）可用可用每个分量的模每个分量的模的有界性表征。的有界性表征。22.2内部稳定性内部稳定性 稳定性问题是系统自身运动的一种动态属性，在研究运动稳定性问题时，常限于研究无外部输入作用时的系统，这类系统通常称为自治系统。连续时间线性时变系统的状态方程为 其中，A(t)n n时变矩阵；23.当输入 为零，任给初始状态 ，自治状态方程（4-12）的解为其中，状态由任意非零初始状态 引起的零输入响应。24.定义定义4-2 如果由时刻 任意非零初始状态引起状态的零输入响应 对所有 为有界，且满足渐近属性，即成立，则称连续时间线性时变系统在时刻 为内部稳定。定理定理4-3 对n维连续时间线性时变自治系统(4-12)，系统在 时刻是内部稳定即渐近稳定的充分必要条件为：状态转移矩阵 对所有 为有界，并满足渐近属性，（4-13）25.定理定理4-4 对维连续时间线性定常自治系统 系统是内部稳定即渐近稳定的充分必要条件为，矩阵指数函数 满足渐近属性 即下式成立（4-16）（4-14）（4-17）26.内部稳定实际上是研究系统内部状态的稳定性，它和后面将要介绍的李亚普诺夫稳定性分析是一致的。27.例例 单入单出系统初始状态单入单出系统初始状态x0，分析系统的外部与内部稳定性。，分析系统的外部与内部稳定性。解：系统在输入解：系统在输入u的作用下系统的输出响应为的作用下系统的输出响应为 y1为零输入响应，为零输入响应，y2为零状态响应。为零状态响应。1）根据外部稳定性的定义，有）根据外部稳定性的定义，有x0=0，若系统对任何有界输入，若系统对任何有界输入 则该系统具有外部稳定性。即零状态响应为等幅振荡或衰减响应。则该系统具有外部稳定性。即零状态响应为等幅振荡或衰减响应。（系统（系统传递函数传递函数的的所有所有所有所有极点极点具有负实部。）具有负实部。）零极点对消？零极点对消？能控且能观？能控且能观？最小实现？最小实现？28.系统是内部稳定，即渐近稳定的充分必要条件是状态转移矩阵满足下式系统是内部稳定，即渐近稳定的充分必要条件是状态转移矩阵满足下式 2）根据内部稳定性的定义，有）根据内部稳定性的定义，有u=0，系统由任意非零初态，系统由任意非零初态x0引起的响应引起的响应xu(t)为为 对对于于线线性性定定常常系系统统，满满足足上上式式的的条条件件是是系系系系统统统统矩矩矩矩阵阵阵阵A A的的的的所所所所有有有有特特特特征征征征值值值值具具有负实部。有负实部。可可见见，对对于于同同一一系系统统，只只有有在在一一定定条条件件下下，外外部部稳稳定定性性与与内内部部稳稳定定性性两两种定义才具有等价性。种定义才具有等价性。29.3内部稳定性和外部稳定性的关系内部稳定性和外部稳定性的关系 系统外部稳定性反映了输出的稳定性，内部稳定则是反映了系统内部状态的稳定，它们之间有什么样的内在关系，这对工程应用是有实际意义的。本节限于连续时间线性定常系统，讨论和给出内部稳定性和外部稳定性的等价条件。30.定理4-5 对连续时间线性定常系统 其中，n维状态向量；r维输入量；m维输出向量。若系统为内部稳定即渐近稳定，则系统必为BIBO稳定即外部稳定。（4-18）31.定理定理4-6 对连续时间线性定常系统式（4-18）,系统为BIBO稳定即外部稳定不能保证系统必为内部稳定即渐近稳定。在系统结构分解中指出，传递函数矩阵只能反映系统结构中能控能观测部分。因此，系统为BIBO稳定即极点均具有负实部的事实，只能保证系统的能控能观测部分特征值均具有负实部，不能保证系统的能控不能观测、不能控能观测和不能控不能观测各部分特征值均具有负实部。由此，系统为BIBO稳定不能保证系统为内部稳定。32.由定理4-5知，系统内部稳定意味着系统外部稳定。而由定理4-6可知，在系统联合完全能控和完全能观测条件下，系统外部稳定意味着系统内部稳定。系统外部稳定和系统内部稳定等价的充分必要条件是系统的状态完全能控和完全能观测。33.外部稳定性与内部稳定性之间的关系外部稳定性与内部稳定性之间的关系 单输入单输出系统单输入单输出系统1.若传递函数无零极点对消若传递函数无零极点对消不存在公因子相消，传递函数的极点与系统特征值相同。不存在公因子相消，传递函数的极点与系统特征值相同。极点极点 外部稳定性；外部稳定性；特征值特征值 状态转移矩阵状态转移矩阵 状态轨迹状态轨迹 内部稳定性；内部稳定性；内部稳定性内部稳定性 外部稳定性外部稳定性34.2.若系统存在公因子相消若系统存在公因子相消-零极点对消零极点对消 传传递递函函数数的的极极点点数数少少于于系系统统特特征征值值，由由于于可可能能消消去去的的是是正正实实部部的的极极点点，则则系系统统具具有有外外部部稳稳定定性性，但但不不一一定定具具有有内内部部稳定性。稳定性。G(G(s s)的极点只是矩阵的极点只是矩阵的极点只是矩阵的极点只是矩阵A A的特征值的子集。的特征值的子集。的特征值的子集。的特征值的子集。内部稳定内部稳定 外部稳定外部稳定外部稳定外部稳定 内部稳定内部稳定35.结论（线性定常系统）：结论（线性定常系统）：4.若系统状态是稳定的，则系统输出是稳定的。若系统状态是稳定的，则系统输出是稳定的。1.内部稳定内部稳定 外部稳定外部稳定2.外部稳定外部稳定 内部稳定内部稳定3.若系统能控能观，则内部稳定若系统能控能观，则内部稳定 外部稳定外部稳定 只只用用传传递递函函数数的的极极点点判判断断系系统统的的稳稳定定性性不不一一定定真真正正反反映映系系统统的的稳稳定定性性。此此时时，系系统统内内部部可可能能有有一一些些状状态态越越界界，导导致致系统饱和或出现危险。系统饱和或出现危险。36.4.1.2李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性系统的李雅普诺夫稳定性指的是系统在平衡状态下受到扰动时，经过“足够长”的时间以后，系统恢复到平衡状态的能力。因此，系统的稳定性是相对系统的平衡状态而言的。自治系统的静止状态就是系统的平衡状态。37.自治系统的一般形式可用显含时间变量 t 的状态方程来描述 式中，n维状态向量；线性或非线性、定常或时变的n维向量函数 初始状态 相应的解 式中，状态向量的初始值；初始时刻。（4-23）38.1.平衡状态平衡状态 设系统状态方程为 ，若对所有 ，状态满足 ，则称该状态为平衡状态，记为 。故有下式成立 由（4-24）在状态空间中所确定的点，称为平衡点。由定义式可见，平衡状态将包含在这样一个代数方程组中。对不同类型的系统平衡点求解如下（4-24）39.(1)线性定常系统的平衡点 方程(4-23)化成平衡状态 应满足代数方程 。解此方程，当A是非奇异时，则系统存在惟一的一个平衡点 。当A是奇异时，则系统的平衡点可能不止一个。（a）A为非奇异阵，原点是唯一平衡状态为非奇异阵，原点是唯一平衡状态（b）A为奇异阵，还有其他平衡状态为奇异阵，还有其他平衡状态40.例：例：注意：注意：在在t0时刻的平衡状态，指时刻的平衡状态，指t t0时，所有满足时，所有满足A(t)x=0的状态。的状态。当系统处于平衡状态时，若无输入作用，则系统一直处于该状态。当系统处于平衡状态时，若无输入作用，则系统一直处于该状态。由由Ax=0，可知平衡状态为，可知平衡状态为x1R,x2=0原点必为一个平衡状态。原点必为一个平衡状态。41.(2)非线性系统的平衡点方程的解可能有多个，视系统方程而定。如其平衡状态应满足式(4-24)，即 得该系统存在三个平衡状态：42.例：例：由平衡状态定义，令由平衡状态定义，令f(x1,x2)=0，可求得平衡状态，可求得平衡状态43.注：注：1、线线性性系系统统的的任任意意平平衡衡状状态态均均可可通通过过坐坐标标变变换换将将其其移移 到到 状状 态态 空空 间间 原原 点点，其其 稳稳 定定 性性 是是 一一 致致 的的。不不失失一一般般性性的的，我我们们认认为为线线性性系系统统的的平平衡衡状状态态确确定定为为xe=0，也也就就是是说说我们只取坐标原点作为平衡点进行研究。2、对对线线性性定定常常系系统统，可可以以认认为为是是研研究究系系统统的的稳稳定定性性；而而对对其其他他系系统统，只只能能认认为为是是研研究究某某一一平平衡衡态态下下的的稳稳定定性。性。44.2.范数的概念范数的概念 李雅普诺夫稳定性定义中采用了范数的概念。1）范数n维状态空间中，向量x的长度称为向量x的范数，用|x|表示，则45.2）向量的距离）向量的距离长度 称为向量x与xe的距离，写成当 的范数限定在某一范围之内时，则记 上式有其几何意义，在三维状态空间中表示以 xe为球心、以 为半径的一个球域，可记为 。46.3.李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性 李雅普诺夫稳定性定义与工程上经典的定义不完全一致，在概念上有一些区别。下面分别介绍这些定义并指出它们之间的联系与差异。图4-1 球域47.如图所示三个系统，均处于平衡状态，考察其受扰动作如图所示三个系统，均处于平衡状态，考察其受扰动作用，自平衡状态偏离后的系统响应。用，自平衡状态偏离后的系统响应。（a）自由响应）自由响应有界有界；（b）自由响应）自由响应有界，且最终返回原来初态有界，且最终返回原来初态；（c）自用响应）自用响应无界无界。(a)(b)(c)李雅普诺夫把以上三种情况分别定义为李雅普诺夫把以上三种情况分别定义为稳定、渐近稳定、不稳定稳定、渐近稳定、不稳定。48.1）李雅普诺夫意义下的稳定性 定义定义4-3 对于系统 ，若任意给定实数 ，都存在另一实数 ，使当时，从任意初态 出发的解 满足 ，(tt0)则称系统的平衡状态是稳定的，其中 是与有关的实数；若与t0无关，则称是一致稳定的。（4-26）49.几何意义几何意义 上述定义中，范数划出了一个球域 ，它能将 解 的所有各点都包围在内。由此可以找到另一个对应球域 ，它的范数为 ，其中包含了初始状态x0允许取值的范围。李雅普诺夫意义下的稳定性是指从 发出的轨线，在 的任何时刻总不会超出 。50.对于定常系统，与t0无关，此时稳定的平衡状态一定是一致稳定的。图4-2 李氏稳定性示意图51.2）渐近稳定性 定义定义4-4 对于系统 ，若任意给定实数 ，存在 ，使当 时，从任意初态 出发的解 满足 且对于实数 和任意给定的实数 ，对应地存在实数，总有则称平衡状态xe是渐近稳定的。（4-27）（4-28）52.几何意义几何意义 定义4-4指出，如果xe满足李雅普诺夫意义下的稳定性，并且从球域 内出发的任意一个解，当时 ，不仅不会超出球域 之外，而且最终收敛于xe，则为渐近稳定。显然，渐近稳定比稳定性有更强的性质，工程上常常要求渐近稳定，而把不是渐近稳定的运动与不稳定的运动同样看待。53.定义定义4-4 另一表述：如如果果平平衡衡状状态态x0不不仅仅是是李李雅雅普普诺诺夫夫意意义义下下稳稳定定的的，且且从从球球域域S()出出发发的的任任意意解解x，时时间间趋趋于于无无穷穷大大时时，不不仅仅不不会会超超出球域出球域S()，而且最终收敛于平衡状态，而且最终收敛于平衡状态xe或其邻域，即或其邻域，即 则称平衡状态则称平衡状态xe是是渐近稳定的。渐近稳定的。几何含义几何含义 注意，渐近稳定首先应是李雅普诺夫意义下的稳定。注意，渐近稳定首先应是李雅普诺夫意义下的稳定。54.x1x2s()s()x0渐近稳定渐近稳定 工程上往往喜欢渐近工程上往往喜欢渐近稳定，因为希望干扰除去后，稳定，因为希望干扰除去后，系统又会回到原来的工作状系统又会回到原来的工作状态，这个状态正是我们设计态，这个状态正是我们设计系统时所期望的，也就是前系统时所期望的，也就是前面所说的平衡状态。面所说的平衡状态。无无论论是是李李雅雅普普诺诺夫夫意意义义下下的的稳稳定定、渐渐进进稳稳定定，都都属属于于系系统统在在平平衡衡状状态态附附近近一一小小范范围围内内的的局局部部性性质质。因因为为系系统统只只要要在在包包围围 xe 的的小小范范围围内内，能能找找到到和和满满足足定定义义中中条条件件即即可可。至至于于从从s()外外的的状状态态出出发发的的运运动动，却却完完全全可可以以超超出出s()。因因此此，上上面涉及的是小范围稳定或小范围渐近稳定。面涉及的是小范围稳定或小范围渐近稳定。55.而而从从实实用用观观点点出出发发，仅仅仅仅判判知知系系统统是是小小范范围围渐渐近近稳稳定定的的，系系统统不不一一定定能能正正常常工工作作，一一旦旦实实际际存存在在的的干干扰扰，使使系系统统的的初初始始状状态态偏偏离离而而超超出出s()的的范范围围，就就会会导导致致x有有可可能能不不返返回回xe。解解决决办办法法是是确确定定渐渐近近稳稳定定的的最最大大范范围围。然然后后把把实实际际干干扰扰的的大大小小限限制制在在此此范范围围内内。实实际际上上，此此范范围围的的确确定定非非常常困困难难，且且限限制制干干扰扰的的大大小小，也也不不一一定定能能做做到到。因因此此，工工程程上上对对大大范范围渐近稳定围渐近稳定更感兴趣。更感兴趣。56.图4-3 渐近稳定性的几何解释和变化轨迹57.3）大范围渐近稳定性 定义定义4-5 如果系统在任意初态下的每一个解，当 时，都收敛于 ，那么系统的平衡状态叫做大范围渐近稳定的。实质上，大范围渐近稳定是把状态解的运动范围和初始状态的取值范围扩展到了整个状态空间。对于状态空间中的所有各点，如果由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则该平衡状态称为大范围渐近稳定的。58.由各状态点出发的轨迹都收敛于xe，这类系统的状态空间中不存在其它渐近稳定的平衡状态，这也是大范围渐近稳定系统的必要条件。对于线性系统，由于其满足叠加原理，所以系统若是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。一般来说，渐近稳定是个局部的性质。在控制工程中，通常总是希望系统具有大范围稳定的特性。59.大范围渐近稳定大范围渐近稳定 如如果果系系统统在在任任意意初初始始条条件件下下的的解解x，当当t的的过过程程中中，收收敛敛于于平平衡衡状状态态xe或或其其邻邻域域，则则平平衡衡状状态态xe是是渐渐近近稳稳定定的的，且且其其范范围围包包含含整整个个状状态态空空间间，则则称称xe是是大大范范围围渐渐近近稳稳定定，或或称称全全局局渐近稳定渐近稳定的平衡状态。的平衡状态。大大范范围围渐渐近近稳稳定定的的必必要要条条件件是是：状状态态空空间间中中系系统统中中只只有有一一个个平平衡状态。衡状态。（经典控制理论当中，只有渐近稳定才是稳定）（经典控制理论当中，只有渐近稳定才是稳定）例：例：可可知知零零状状态态必必然然是是系系统统的的平平衡衡状状态态，而而若若零零状状态态渐渐近近稳稳定定，因因为它是系统唯一的孤立平衡状态，则必然是大范围渐近稳定的。为它是系统唯一的孤立平衡状态，则必然是大范围渐近稳定的。可见，线性系统稳定性与初始条件无关。可见，线性系统稳定性与初始条件无关。60.4）不稳定性 定定义义4-6 如果对于某个实数 0和任一实数 0，当 时，总存在一个初始状态x0，使则称平衡状态xe是不稳定的。几何意义：对于某个给定的球域 ，无论球域 取得多么小，内部总存在着一个初始状态x0，使得从这一状态出发的轨迹最终会超出球域 。，(tt0)(4-29)61.图4-4 不稳定几何解释和轨线在二维空间中，不稳定的几何解释和轨线变化如图4-4所示。62.对于不稳定平衡状态的轨迹，虽然越出了 ，但是并不意味着轨迹一定趋向无穷远处 例如对于非线性系统，轨迹还可能趋于 以外的某个稳定平衡点。当然，对于线性系统，从不稳定平衡状态出发的轨迹，理论上一定趋于无穷远。63.几种典型情况就可用能量观点来说明其稳定性：图4-5(a)平衡点所具有的势能是最小的，其附近的势能都比它大，也就是说，平衡点附近的势能变化率为负，所以该平衡点是稳定的，而且是大范围渐近稳定的。图4-5(b)平衡点所具有的势能最大，其附近各点的势能都比它小。64.换句话说，平衡点附近的能量对平衡点的变化率是增加的，为正，所以该平衡点是不稳定的。图4-5(c)各点所具有的能量都相同，这就是通常说的随遇平衡，在李亚普诺夫意义下，任意点都是大范围稳定。图4-5(d)是局部渐近稳定的，图4-5(e)为局部不稳定。图4-5 平衡状态稳定性示意图65.局部局部渐近稳定渐近稳定局部局部不稳定不稳定稳定稳定不稳定不稳定大范围大范围渐近稳定渐近稳定局部稳定局部稳定66.1.线线性性定定常常系系统统：任任一一孤孤立立平平衡衡状状态态，都都可可通通过过坐坐标标变变换换移移到到状状态态空空间的原点，分析原点的稳定性具有代表性。间的原点，分析原点的稳定性具有代表性。2.非非线线性性系系统统：各各个个平平衡衡点点的的稳稳定定性性不不同同，应应该该分分别别分分析析各各平平衡衡状状态态xe的稳定性。的稳定性。3.稳稳定定只只要要求求状状态态轨轨迹迹在在球球域域s()中中，而而渐渐近近稳稳定定要要求求x最最终终收收敛敛于于或或无限接近于平衡状态无限接近于平衡状态xe。4.实际中希望实际中希望xe为大范围渐近稳定。为大范围渐近稳定。5.对对于于线线性性系系统统：若若平平衡衡状状态态是是渐渐近近稳稳定定的的，则则一一定定是是大大范范围围渐渐近近稳稳定。定。6.在在经经典典控控制制理理论论中中的的稳稳定定性性概概念念与与Lyapunov意意义义下下的的稳稳定定性性概概念念是是有有一一定定的的区区别别的的，例例如如，在在经经典典控控制制理理论论中中只只有有渐渐近近稳稳定定的的系系统统才才称称为为稳稳定定的的系系统统；在在Lyapunov意意义义下下是是稳稳定定的的，但但却却不不是是渐渐近近稳稳定定的的系系统，则叫做不稳定系统。统，则叫做不稳定系统。结论结论（重要）（重要）67.例例解解 令令u=0，系统的平衡状态为，系统的平衡状态为 xe1=任意值任意值68.输入信号为输入信号为0时，状态方程的解为时，状态方程的解为 在在t的的过过程程中中，由由于于系系统统的的解解x不不是是收收敛敛于于平平衡衡状状态态 xe，系系统统是是稳稳定定的的，但但不不是是渐渐近近稳稳定定的的。实实际际上上，只只要要每每个个特特征征值值均均具具有有负负实实部部，则则每每个个状状态态分分量量的的零零输输入入解解将将衰衰减减为为0，即即收收敛敛于于0平平衡衡状状态，系统是渐近稳定的。态，系统是渐近稳定的。实实际际上上，由由于于是是线线性性系系统统，分分析析原原点点的的平平衡衡状状态态的的稳稳定定性即可。性即可。69.例直接用定义判断系统渐近稳定性和输入输出稳定性例直接用定义判断系统渐近稳定性和输入输出稳定性解：令解：令u=0，系统的平衡状态为，系统的平衡状态为系统系统0输入的状态解为输入的状态解为系统渐近稳定系统渐近稳定70.系统状态稳定，系统的输出为系统状态稳定，系统的输出为系统的总输出系统的总输出=输入激励的响应。系统的输出稳定。输入激励的响应。系统的输出稳定。A阵特征值阵特征值1=-2，2=-3，可知渐近稳定，外部稳定。，可知渐近稳定，外部稳定。实际上可以直接判断：实际上可以直接判断：71.注意：1、对于线性系统，渐近稳定等价于大范围渐近 稳定。但对于非线性系统，一般只考虑吸引 区为有限的给定范围的渐近稳定。2、稳定含义之间的区别经典控制理论(线性系统）不稳定(Re(s)0)临界情况(Re(s)=0)稳定(Re(s)0，C 0，则对任意t0和tt0，有 则称系统一致渐近稳定。（4-34）（4-35）83.按照李雅普诺夫关于稳定性的诸定义证明前三项结论是很容易的。对于最后一项，实际上是二、三两项的组合，因为 N 满足了一致稳定条件；又因为所以有满足了渐近稳定条件。（4-36）（4-37）（4-38）84.3.非线性定常系统 实际系统常常是非线性的，为了便于研究，常常用微偏线性化的方法处理，也就是用与它近似的线性系统代替它。但是，运动的稳定性有严格的定义，不是一个可以用某种近似计算来处理的工程问题。那么，用一个线性系统近似地代替非线性系统，会不会在运动稳定性问题上得出错误的结论呢？这是一个需要严格论证的问题。85.定理定理 4-9 设非线性定常系统的自治状态方程为 ，对状态向量 有连续的偏导数，在平衡状态 处展成泰勒级数，则得式中，雅可比矩阵，它定义为（4-39）（4-40）86.其中，包含对 的二次及二次以上的高阶导数项。取展开式的一次近似式，得线性化方程为 (1)若 的特征值都具有负实部，则系统是在 的足够小邻域内渐近稳定的。线性化过程中被忽略的高于一阶的项不会使运动变成不稳定。(2)若 的特征值中，至少有一个具有正的实部，则不论被忽略的高阶导数项 如何，系统的平衡状态总是不稳定的。87.(3)若 的特征值中，没有正的实部但至少有一个实部为零，此时原非线性系统不能用线性化方程来判断其稳定性，平衡状态 小范围局部稳定性取决于被忽略的高阶项，若要研究原系统稳定性，必须分析原始非线性方程。88.例例4-1设非线性系统方程为则在 的平衡点，其线性化方程的矩阵 为89.特征方程为特征根为一对虚根，对应临界情况，它不代表原非线性系统稳定性。90.例例 分析系统平衡态的稳定性。分析系统平衡态的稳定性。2.线性化线性化3.求线性化后的特征根求线性化后的特征根4.由劳斯判据可知，系统的特征根全部具有负实部，系统在平衡由劳斯判据可知，系统的特征根全部具有负实部，系统在平衡 状态处渐近稳定。状态处渐近稳定。解：解：1.求系统的平衡状态求系统的平衡状态91.李雅普诺夫第一法的意义和贡献在于它使线性化研究方法有了坚实可靠的理论基础，从而使线性化研究方法在工程上成为现实可行的。92.线性离散系统稳定性分析线性离散系统稳定性分析定理定理 线性定常离散系统线性定常离散系统 的的零零平平衡衡状状态态xe是是渐渐近近稳稳定定的的充充要要条条件件是是：系系统统矩矩阵阵G阵阵的的所所有特征值的模全部位于根平面的单位圆内，即有特征值的模全部位于根平面的单位圆内，即 93.例例 试确定系统在原点的稳定性试确定系统在原点的稳定性 G阵阵的的所所有有特特征征值值的的模模都都小小于于1，加加上上系系统统只只有有一一个个平平衡衡状态，因此此离散系统在平衡点处是大范围渐近稳定的。状态，因此此离散系统在平衡点处是大范围渐近稳定的。解解 求离散系统的特征值求离散系统的特征值94.4.2.2 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法 李雅普诺夫第二法又称李雅普诺夫直接法。运用此法可以在不求出状态方程解的条件下，直接确定系统的稳定性。通常，求非线性系统和时变系统的状态方程的解是很困难的，所以直接法显出更大的优越性，它不但适用于任意阶系统，而且是确定非线性系统和时变系统稳定性的更为一般的方法。95.1.李雅普诺夫第二法中的二次型函数 在李雅普诺夫第二法理论分析中，用到了一类重要的标量函数，即二次型函数。1）二次型函数的定义及其表达式 （1）二次型函数的定义 代数式中常见的一种多项式函数为其中每项的次数都是二次的，这样的多项式称为二次齐次多项式或二次型。以上是对只含有两个变量 96.x和y的二次函数来说的；如果将变量个数扩展到n，仍具有相同的含义。定义4-8 设R是n维实空间，是它的一组基，xR，且则变量 的二次齐次多项式称为R内关于基 的一个二次齐次式或二次型。（4-41）97.由于多项式的同类项可以合并，在式（4-41）中，当ij时，与 为同类项，合并后可再平分系数分项，整理成对称系数，即 例如 可见，任一二次型都可以整理成相应交叉项系数相等的对称形式。98.（2）二次型的矩阵表达式将二次型（4-41）式写成（4-42）99.其中 是由各项系数排成的一个nn矩阵，称为二次型（4-42）的矩阵。因为aij=aji，故A=AT为一对称矩阵。显然，二次型 完全由矩阵 确定。因此，二次型和它的矩阵是相互惟一决定的。矩阵的秩称为二次型的秩。100.例4-2 可见，任一二次型通过整理，都可以化成式（4-42）的矩阵形式，但它们代表一个标量函数。101.（3）二次型的标准型 只含有平方项的二次型称为二次型的标准型，如它是二次型中最简单的一种形式。根据线性代数理论，二次型具有以下性质：二次型经线性非奇异变换后变成另一个二次型，但它们的矩阵都是对称矩阵，且秩相同。102.任意一个二次型都可以经过非奇异线性变换化成标准型，标准型的矩阵是对角阵。二次型的标准型不是惟一的。二次型函数 （设 是实对称矩阵），必存在一个正交矩阵 ，通过变换 103.使之化为（4-43）其中，对称阵 的特征值，且均为实数。104.2）标量函数 的定号性 设 是欧氏状态空间中非零向量，是向量 的标量函数。(1)如果对所有在域 中的非零向量 ，有 ，且在 处有 ，则在域 内称为 正定的，即例如，正定。（4-44）105.(2)如果标量函数 除了在原点以及某些状态处等于零外，在域 内其余状态处都是正的，则称 为正半定的，即 例如，正半定。(3)如果 是正定的，则称为 负定的，即例如，负定。（4-45）（4-46）106.(4)如果 是正半定的，则称 为负半定的，即（4-47）例如，负半定 (5)如果在 域内，即可正也可负，则称为不定的。例如，不定。107.3）二次型标量函数定号性判别准则 对于 为实对称矩阵的二次型函数 的定号性，可以用赛尔维斯特(Sylvester)准则来判定。（1）正定：二次型函数 为正定的充要条件是，阵的所有各阶首主子行列式均大于零，即（4-48）108.（2）负定：二次型函数 为负定的充要条件是 阵的各阶首主子行列式满足 ，即 （3）正半定：二次型函数 为正半定的充要条件是 阵的各阶首主子行列式满足109.（4）负半定：二次型函数为负半定的充要条件是阵各阶首主子行列式满足 （5）实对称矩阵 的定号性，由赛尔维斯特准则知，二次型 的定号性由阵 的主子式来判别，故定义 阵的定号性与 一致，则 阵定号性的讨论110.可代表 定号性的讨论。设二次型函数，则定义如下：当 是正定的，称 是正定的，记为 ；当 是负定的，称 是负定的，记为 ；当 是正半定的，称是正半定的，记为 ；当 是负半定的，称是负半定的，记为 。111.例4-3 已知 ，试判定 是否正定。解 阵的各阶主子式为 所以是正定的。112.4）李雅普诺夫函数 李氏第二法是从能量观点出发得来的，它的基本思想是建立在古典的力学振动系统中一个直观的物理事实上。如果系统的总能量（含动能和势能）随时间增长而连续地衰减，直到平衡状态为止，那么振动系统是稳定的。如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，那么当它运动到平衡状态的邻域内时，系统积蓄的能量随时间的增长而衰减，直到平衡状态处达到最小值。113.若能找到一个完全描述上述过程的所谓能量函数，则系统的稳定性问题也就容易解决了。可是，由于系统的形式是多种多样的，不能找到一种定义“能量函数”的统一形式和简便方法。为了克服这一困难，李雅普诺夫引出了一个虚构的广义能量函数，这个函数具有能量的含义，但比能量更为一般，它有如下一些基本特征：114.能量函数一定是状态变量 的函数。因为状态变量 可以对系统的动态行为进行完全描述，因此能量函数也一定是状态变量 的函数。是正定的 具有连续的一阶偏导数。根据以上特征构造一个正定的标量函数 ，作为虚构的广义能量函数，然后根据 的符号特征来判断平衡状态处的稳定性。对于一个给定的系统，如果能找到一个正定的标量函数 ，直接利用 及 的符号特征判别出平衡状态处的稳定性，则这标量函数 就称为李雅普诺夫函数。115.2.李雅普诺夫第二法 定理4-10 设系统的状态方程为 ，其平衡状态为 。如果存在一个具有连续的一阶偏导数的标量函数 ，在围绕状态空间原点的一个域 内，使得对于非零状态 和所有 ，满足条件：是正定且有界，是负定且有界，则系统原点的平衡状态在域 内是一致渐近稳定的。116.如果对状态空间中所有非零初始状态 满足上述条件，且当 时，有 ，则在原点处的平衡状态是在大范围一致渐近稳定的。117.定理的几点解释：（1）定理的物理意义：一个系统的自由运动过程，是因为其内部储存能量的缘故。例如，位移动能 、旋转动能 、电能 、磁能 。李雅普诺夫函数 实际上是参照了物理系统的一般能量函数形式而构成的，它突出了两个特点：一是物理系统储存的能量显然总是正值，即 ；二是若能量是在不停地消耗，则 。当能量最终耗尽，此时系统又回到平衡状态。此观点明显符合渐储能元件储能元件电容电容C电感电感L质量质量M转动惯量转动惯量J弹簧弹簧K能量方程能量方程Cu2/2Li2/2Mv2/2J2/2Kx2/2物理变量物理变量电压电压u电流电流i速度速度v转速转速长度变化长度变化x118.近稳定性的定义。（2）定义的几何意义：设x是n维向量，若存在表征能量的函数 ，取一常值 ，显然在 状态 所处的 维空间中围成一个封闭的超曲面。当 时，于是这时的 也使封闭超曲面扩展到整个状态空间，而将 的所有状态均包含在内。讨论二维空间的情况，设李氏函数为二次标准型，则有119.若令 ，取一系列常值 ，则能量函数 代表了不同能量的等值线，其几何形状为以原点为中心、以 为半径的同心圆族。越逼近圆心，半径越小，代表的能量越小，当 时，收敛于原点。当 时，有 ，所以圆族可以扩展到整个状态平面。若 ，表示随着时间的推移，状态轨线与等值线不断相交，且从每个圆外向圆内穿过，最后当 时，收敛于原点，如图4-6。120.图4-6 能量等值线族于点型轨线 （3）该定理给出了渐近稳定的充分条件，即如果能找到满足定理条件的 ，则系统一定是一致渐近稳定的。但如果找不到这样的 ，也并不意味着系统是不稳定的，何况对于复杂的系统。要想找到一个李雅普诺夫函数可能是十分困难的。退一步说，即使能否定李氏函数的存在，也不能就此断定系统121.不稳定。（4）李雅普诺夫函数的存在形式并不是惟一的，其中最简单的形式是二次型函数但在一般情况下，不一定都是这种简