人教版中学七7年级下册数学期末试题及解析.doc

人教版中学七7年级下册数学期末试题及解析
一、选择题
1．下列说法正确的是（）
A．4的平方根是2 B．的平方根是±4
C．25的平方根是±5 D．﹣36的算术平方根是6
2．四根火柴棒摆成如图所示的象形“口”字，平移此象形字火柴棒后，变成的象形文字正确的是（　　）

A． B． C． D．
3．下列各点中，在第二象限的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题是假命题的是（ ）
A．两个角的和等于平角时，这两个角互为补角 B．内错角相等
C．两条平行线被第三条直线所截，内错角相等 D．对顶角相等
5．如图所示，，OE平分∠AOD，，，则∠BOF为（　　　）

A． B． C． D．
6．下列算式，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，把一个长方形纸条沿折叠，已知，，则为（ ）

A．30° B．28° C．29° D．26°
8．如图，过点作直线：的垂线，垂足为点，过点作轴，垂足为点，过点作，垂足为点，…，这样依次作下去，得到一组线段：，，，…，则线段的长为（ ）

A． B． C． D．
九、填空题
9．已知+|3x+2y﹣15|＝0，则＝_____．
十、填空题
10．已知点P（3，﹣1）关于x轴的对称点Q的坐标是（a＋b，1﹣b），则a＝___，b＝___．
十一、填空题
11．如图，AD∥BC，BD为∠ABC的角平分线，DE、DF分别是∠ADB和∠ADC的角平分线，且∠BDF＝α，则∠A与∠C的等量关系是________________（等式中含有α）

十二、填空题
12．如图，直线a∥b，直角三角形的直角顶点在直线b上，已知∠1=48°，则∠2的度数是___度．

十三、填空题
13．把一张对边互相平行的纸条折成如图所示，是折痕，若，则______．

十四、填空题
14．规定：[x]表示不大于x的最大整数，（x）表示不小于x的最小整数，[x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），例如：[2.3]=2，（2.3）=3，[2.3）=2．当﹣1＜x＜1时，化简[x]+（x）+[x）的结果是_____．
十五、填空题
15．下列四个命题：①直角坐标系中的点与有序实数对一一对应；②若大于0，不小于0，则点在第三象限；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④若，则的算术平方根是．其中，是真命题的有______．（写出所有真命题的序号）
十六、填空题
16．如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，每次移动1个单位长度，依次得到点P1（0，1），P2（1，1），P3（1，0），P4（1，﹣1），P5（2，﹣1），P6（2，0）⋯，则P2020的坐标是___．

十七、解答题
17．计算下列各题：
（1）＋－
（2）.
十八、解答题
18．求下列各式中的值
（1）
（2）
十九、解答题
19．如图所示，完成下列填空

∵∠1＝∠5（已知）
∴a//　 　（同位角相等，两直线平行）
∵∠3＝　 　（已知）
∴a//b（　 　）
∵∠5+　 　＝180°（已知）
∴a//b（　 　）
二十、解答题
20．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系．已知三角形ABC的顶点A的坐标为A（-1，4），顶点B的坐标为（-4，3），顶点C的坐标为（-3，1）．
（1）把三角形ABC向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形A′B′C′，请你画出三角形A′B′C′，并直接写出点A′的坐标；
（2）若点P（m，n）为三角形ABC内的一点，则平移后点P在△A′B′C′内的对应点P′的坐标为 ．
（3）求三角形ABC的面积．

二十一、解答题
21．（阅读材料）
∵，即23，∴11＜2，∴1的整数部分为1，∴1的小数部分为2
（解决问题）
（1）填空：的小数部分是　　　　 　　　　 ；
（2）已知a是4的整数部分，b是4的小数部分，求代数式（﹣a）3+（b+4）2的值．
二十二、解答题
22．学校要建一个面积是81平方米的草坪，草坪周围用铁栅栏围绕，现有两种方案：有人建议建成正方形，也有人建议建成圆形，如果从节省铁栅栏费用的角度考虑（栅栏周长越小，费用越少），你选择哪种方案？请说明理由．（π取3）
二十三、解答题
23．如图1，已AB∥CD，∠C＝∠A．
（1）求证：AD∥BC；
（2）如图2，若点E是在平行线AB，CD内，AD右侧的任意一点，探究∠BAE，∠CDE，∠E之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，若∠C＝90°，且点E在线段BC上，DF平分∠EDC，射线DF在∠EDC的内部，且交BC于点M，交AE延长线于点F，∠AED+∠AEC＝180°，
①直接写出∠AED与∠FDC的数量关系： ．
②点P在射线DA上，且满足∠DEP＝2∠F，∠DEA﹣∠PEA＝∠DEB，补全图形后，求∠EPD的度数

二十四、解答题
24．已知，交AC于点E，交AB于点F．

（1）如图1，若点D在边BC上，
①补全图形；
②求证：．
（2）点G是线段AC上的一点，连接FG，DG．
①若点G是线段AE的中点，请你在图2中补全图形，判断，，之间的数量关系，并证明；
②若点G是线段EC上的一点，请你直接写出，，之间的数量关系．
二十五、解答题
25．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM＝30°，∠OCD＝45°．

（1）将图①中的三角板OMN沿BA的方向平移至图②的位置，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；
（2）将图①中的三角板OMN绕点O按逆时针方向旋转，使∠BON＝30°，如图③，MN与CD相交于点E，求∠CEN的度数；
（3）将图①中的三角板OMN绕点O按每秒30°的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，在第____________秒时，直线MN恰好与直线CD垂直．（直接写出结果）
【参考答案】
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据平方根和算术平方根的定义判断即可．
【详解】
解：A．4的平方根是±2，故错误，不符合题意；
B．的平方根是±2，故错误，不符合题意；
C．25的平方根是±5，故正确，符合题意；
D．-36没有算术平方根，故错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了平方根和算术平方根的概念，解题关键是熟悉相关概念，准确进行判断．
2．C
【分析】
根据火柴头的方向、平移的定义即可得．
【详解】
解：此象形字火柴棒中，有两根火柴头朝向左，一根火柴头朝向上，一根火柴头朝向下，
因为平移不改变火柴头的朝向，
所以观察四个选项可知，只有
解析：C
【分析】
根据火柴头的方向、平移的定义即可得．
【详解】
解：此象形字火柴棒中，有两根火柴头朝向左，一根火柴头朝向上，一根火柴头朝向下，
因为平移不改变火柴头的朝向，
所以观察四个选项可知，只有选项C符合，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平移，掌握理解平移的概念是解题关键．
3．B
【分析】
根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可得解．
【详解】
解：A、点在x轴上，不符合题意；
B、点在第二象限，符合题意；
C、点在第三象限，不符合题意；
D、点在第四象限，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4．B
【分析】
根据内错角、对顶角、补角的定义一一判断即可．
【详解】
解：A、两个角的和等于平角时，这两个角互为补角，为真命题；
B、两直线平行，内错角相等，故错误，为假命题；
C、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，为真命题；
D、对顶角相等，为真命题；
故选：B．
【点睛】
本题考查命题与定理、内错角、对顶角、补角的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于基础题．
5．B
【分析】
由平行线的性质和角平分线的定义，求出，，然后即可求出∠BOF的度数．
【详解】
解：∵，
∴，，
∵OE平分∠AOD，
∴，
∴；
∴；
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，以及角的和差关系，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的求出角的度数．
6．A
【分析】
根据平方根、立方根及算术平方根的概念逐一计算即可得答案．
【详解】
A.，计算正确，故该选项符合题意，
B.，故该选项计算错误，不符合题意，
C.，故该选项计算错误，不符合题意，
D.，故该选项计算错误，不符合题意，
故选：A．
【点睛】
本题考查平方根、立方根、算术平方根的概念，熟练掌握定义是解题关键．
7．C
【分析】
由 AE平行BD，可得∠AED=∠ADB=32°，可求∠BAE=122°，由折叠，可得∠BAF=∠EAF，可求∠EAF=61°即可
【详解】
∵AE//BD，
∴∠AED=∠ADB=32°，
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+32°=122°，
∵折叠，
∴∠BAF=∠EAF，
∴2∠EAF=∠BAE=122°
∴∠EAF=61°
∴∠DAF=∠EAF-∠EAD=61°-32°=29°
故选择C
【点睛】
本题考查平行线性质，掌握折叠性质，平行线性质是解题关键．
8．B
【分析】
由，可得，然后根据形的性质結合图形即可得到规律，然后按规律解答即可.
【详解】
解：由，可得
∵点A0坐标为（2，0）
∴OA0=2,
∴
∴
∴
∴A2020A2021=
故答案为：
解析：B
【分析】
由，可得，然后根据形的性质結合图形即可得到规律，然后按规律解答即可.
【详解】
解：由，可得
∵点A0坐标为（2，0）
∴OA0=2,
∴
∴
∴
∴A2020A2021=
故答案为：B
【点睛】
本题考查了规律型中点的坐标以及含30°角的直角三角形，利用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，结合图形找出变化规律是解题的关键．
九、填空题
9．3
【分析】
直接利用非负数的性质得出x，y的值进而得出答案．
【详解】
∵+|3x+2y﹣15|＝0，
∴x+3=0,3x+2y-15=0,
∴x=-3,y=12,
∴=.
故答案是：3.
【点睛
解析：3
【分析】
直接利用非负数的性质得出x，y的值进而得出答案．
【详解】
∵+|3x+2y﹣15|＝0，
∴x+3=0,3x+2y-15=0,
∴x=-3,y=12,
∴=.
故答案是：3.
【点睛】
考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
十、填空题
10．0
【分析】
根据题意结合关于x轴对称点的性质得出关于a，b的等式，进而求出答案．
【详解】
解：∵点P（3，-1）关于x轴的对称点Q的坐标是（a+b，1-b），
∴a+b=3，1-b=1，
解析：0
【分析】
根据题意结合关于x轴对称点的性质得出关于a，b的等式，进而求出答案．
【详解】
解：∵点P（3，-1）关于x轴的对称点Q的坐标是（a+b，1-b），
∴a+b=3，1-b=1，
解得：a=3，b=0，
故答案为：3，0．
【点睛】
此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
十一、填空题
11．∠A＝∠C+2α
【分析】
由角平分线定义得出∠ABC＝2∠CBD，∠ADC＝2∠ADF，又因AD∥BC得出∠A+∠ABC＝180°，∠ADC+∠C＝180°，∠CBD＝∠ADB，等量代换得∠A＝∠
解析：∠A＝∠C+2α
【分析】
由角平分线定义得出∠ABC＝2∠CBD，∠ADC＝2∠ADF，又因AD∥BC得出∠A+∠ABC＝180°，∠ADC+∠C＝180°，∠CBD＝∠ADB，等量代换得∠A＝∠C+2α即可得到答案．
【详解】
解：如图所示：

∵BD为∠ABC的角平分线，
∴∠ABC＝2∠CBD，
又∵AD∥BC，
∴∠A+∠ABC＝180°，
∴∠A+2∠CBD＝180°，
又∵DF是∠ADC的角平分线，
∴∠ADC＝2∠ADF，
又∵∠ADF＝∠ADB+α
∴∠ADC＝2∠ADB+2α，
又∵∠ADC+∠C＝180°，
∴2∠ADB+2α+∠C＝180°，
∴∠A+2∠CBD＝2∠ADB+2α+∠C
又∵∠CBD＝∠ADB，
∴∠A＝∠C+2α，
故答案为：∠A＝∠C+2α．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题需要熟练掌握角平分线的定义，平行线的性质和等式的性质，重点掌握平行线的性质．
十二、填空题
12．42
【分析】
利用平行线的性质，平角的性质解决问题即可．
【详解】
解：∵∠4=90°，∠1=48°，
∴∠3=90°-∠1=42°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=42°，
故答案为：42．
【点
解析：42
【分析】
利用平行线的性质，平角的性质解决问题即可．
【详解】
解：∵∠4=90°，∠1=48°，

∴∠3=90°-∠1=42°，
∵a∥b，
∴∠2=∠3=42°，
故答案为：42．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
十三、填空题
13．【分析】
需理清楚折叠后，得到的新的角与原来的角相等，再结合平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可求解．
【详解】
，
，
是折痕，折叠后，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行
解析：
【分析】
需理清楚折叠后，得到的新的角与原来的角相等，再结合平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可求解．
【详解】
，
，
是折痕，折叠后，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，折叠问题，体现了数学的转化思想，模型思想．
十四、填空题
14．﹣2或﹣1或0或1或2．
【分析】
有三种情况：
①当时，[x]＝-1，（x）＝0，[x）=-1或0，
∴[x]+（x）+[x）＝-2或-1；
②当时，[x]＝0，（x）＝0，[x）=0，
∴[x]
解析：﹣2或﹣1或0或1或2．
【分析】
有三种情况：
①当时，[x]＝-1，（x）＝0，[x）=-1或0，
∴[x]+（x）+[x）＝-2或-1；
②当时，[x]＝0，（x）＝0，[x）=0，
∴[x]+（x）+[x）＝0；
③当时，[x]＝0，（x）＝1，[x）=0或1，
∴[x]+（x）+[x）＝1或2；
综上所述，化简[x]+（x）+[x）的结果是-2或﹣1或0或1或2.
故答案为-2或﹣1或0或1或2.
点睛：本题是一道阅读理解题.读懂题意并进行分类讨论是解题的关键.
【详解】
请在此输入详解！
十五、填空题
15．①④
【分析】
根据平面直角坐标系，平行线，算术平方根的概念进行判断
【详解】
解：①直角坐标系中的点与有序实数对一一对应；正确；故此命题是真命题；
②若大于0，不小于0，则＞0，≥0，点在第三象限
解析：①④
【分析】
根据平面直角坐标系，平行线，算术平方根的概念进行判断
【详解】
解：①直角坐标系中的点与有序实数对一一对应；正确；故此命题是真命题；
②若大于0，不小于0，则＞0，≥0，点在第三象限或x轴的负半轴上；故此命题是假命题；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故此命题是假命题；
④若，则x=1，y=4，则的算术平方根是，正确，故此命题是真命题．
故答案为：①④
【点睛】
此题主要考查了命题与定理，正确掌握相关定义是解题关键．
十六、填空题
16．（673，-1）
【分析】
先根据P6（2，0），P12（4，0），即可得到P6n（2n，0），P6n+4（2n+1，-1），再根据P6×336（2×336，0），可得P2016（672，0），进而
解析：（673，-1）
【分析】
先根据P6（2，0），P12（4，0），即可得到P6n（2n，0），P6n+4（2n+1，-1），再根据P6×336（2×336，0），可得P2016（672，0），进而得到P2020（673，-1）．
【详解】
解：由图可得，P6（2，0），P12（4，0），…，P6n（2n，0），P6n+4（2n+1，-1），
∵2016÷6=336，
∴P6×336（2×336，0），即P2016（672，0），
∴P2020（673，-1）．
故答案为：（673，-1）．
【点睛】
本题主要考查了点的坐标变化规律，解决问题的关键是根据图形的变化规律得到P6n（2n，0）．
十七、解答题
17．（1）1 （2）
【详解】
试题分析：（1）先化简根式，再加减即可；（2）先化简根式，再加减即可；
试题解析：
（1）原式＝；
（2）原式＝－3－0－+0.5+
＝
解析：（1）1 （2）
【详解】
试题分析：（1）先化简根式，再加减即可；（2）先化简根式，再加减即可；
试题解析：
（1）原式＝；
（2）原式＝－3－0－+0.5+
＝
十八、解答题
18．（1）；（2）．
【分析】
（1）根据平方根的性质，直接开方，即可解答；
（2）根据立方根，直接开立方，即可解答．
【详解】
解：（1）
，
．
（2）
．
【点睛】
本题考查平方根、立方根，
解析：（1）；（2）．
【分析】
（1）根据平方根的性质，直接开方，即可解答；
（2）根据立方根，直接开立方，即可解答．
【详解】
解：（1）

，
．
（2）

．
【点睛】
本题考查平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的相关性质．
十九、解答题
19．b，∠5，内错角相等，两直线平行，∠4，同旁内角互补，两直线平行．
【分析】
准确的找出“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角，然后根据平行线的判定定理进行求解．
【详解】
解：∵∠1＝∠5，（已
解析：b，∠5，内错角相等，两直线平行，∠4，同旁内角互补，两直线平行．
【分析】
准确的找出“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角，然后根据平行线的判定定理进行求解．
【详解】
解：∵∠1＝∠5，（已知）
∴a∥b（同位角相等，两直线平行）；
∵∠3＝∠5，（已知）
∴a∥b（内错角相等，两直线平行）；
∵∠5＋∠4＝180°，（已知）
∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案是：b，∠5，内错角相等，两直线平行，∠4，同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】
本题考查平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．
二十、解答题
20．（1）作图见解析，A′（4，0）；（2）（m+5，n-4）；（3）3.5．
【分析】
（1）首先确定A、B、C三点平移后的位置，再连接即可；
（2）利用平移的性质得出P（m，n）的对应点P′的坐标即
解析：（1）作图见解析，A′（4，0）；（2）（m+5，n-4）；（3）3.5．
【分析】
（1）首先确定A、B、C三点平移后的位置，再连接即可；
（2）利用平移的性质得出P（m，n）的对应点P′的坐标即可；
（3）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求：

A′（4，0）；
（2）∵△ABC先向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到△A′B′C′，
∴P（m，n）的对应点P′的坐标为（m+5，n-4）；
（3）△ABC的面积=3×3−×2×1−×3×1−×3×2=3.5．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形的变化－平移，三角形面积求法以及坐标系内图形平移，正确得出对应点位置是解题关键．
二十一、解答题
21．（1）；（2）21．
【分析】
（1）由于81＜91＜100，可求的整数部分，进一步得出的小数部分；
（2）先求出4的整数部分和小数部分，再代入代数式进行计算即可．
【详解】
（1）∵81＜91＜1
解析：（1）；（2）21．
【分析】
（1）由于81＜91＜100，可求的整数部分，进一步得出的小数部分；
（2）先求出4的整数部分和小数部分，再代入代数式进行计算即可．
【详解】
（1）∵81＜91＜100，
∴9＜＜10，
∴的整数部分是9，
∴的小数部分是9；
（2）∵16＜21＜25，
∴4＜＜5，
∵a是4的整数部分，b是4的小数部分，
∴a=4﹣4=0，b4，
∴（﹣a）3+（b+4）2=0+21=21．
【点睛】
本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法和无理数整数部分和小数部分的表示方法是解题关键．
二十二、解答题
22．选择建成圆形草坪的方案，理由详见解析
【分析】
根据正方形的面积公式、算术平方根的概念求出正方形的边长，求出正方形的周长，根据圆的面积公式、算术平方根的概念求出圆的半径，求出圆的周长，比较大小得到答
解析：选择建成圆形草坪的方案，理由详见解析
【分析】
根据正方形的面积公式、算术平方根的概念求出正方形的边长，求出正方形的周长，根据圆的面积公式、算术平方根的概念求出圆的半径，求出圆的周长，比较大小得到答案．
【详解】
解：选择建成圆形草坪的方案，理由如下：
设建成正方形时的边长为x米，
由题意得：x2=81，
解得：x=±9，
∵x>0，
∴x=9，
∴正方形的周长为4×9=36，
设建成圆形时圆的半径为r米，
由题意得：πr2=81．
解得：，
∵r>0．
∴，
∴圆的周长=，
∵，
∴，
∴建成圆形草坪时所花的费用较少，
故选择建成圆形草坪的方案．
【点睛】
本题考查的是算术平方根的应用，掌握算术平方根概念是解题的关键．
二十三、解答题
23．（1）见解析；（2）∠BAE+∠CDE=∠AED，证明见解析；（3）①∠AED-∠FDC=45°，理由见解析；②50°
【分析】
（1）根据平行线的性质及判定可得结论；
（2）过点E作EF∥AB，根
解析：（1）见解析；（2）∠BAE+∠CDE=∠AED，证明见解析；（3）①∠AED-∠FDC=45°，理由见解析；②50°
【分析】
（1）根据平行线的性质及判定可得结论；
（2）过点E作EF∥AB，根据平行线的性质得AB∥CD∥EF，然后由两直线平行内错角相等可得结论；
（3）①根据∠AED+∠AEC=180°，∠AED+∠DEC+∠AEB=180°，DF平分∠EDC，可得出2∠AED+（90°-2∠FDC）=180°，即可导出角的关系；
②先根据∠AED=∠F+∠FDE，∠AED-∠FDC=45°得出∠DEP=2∠F=90°，再根据∠DEA-∠PEA=∠DEB，求出∠AED=50°，即可得出∠EPD的度数．
【详解】
解：（1）证明：AB∥CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠C=∠A，
∴∠C+∠D=180°，
∴AD∥BC；
（2）∠BAE+∠CDE=∠AED，理由如下：
如图2，过点E作EF∥AB，

∵AB∥CD
∴AB∥CD∥EF
∴∠BAE=∠AEF，∠CDE=∠DEF
即∠FEA+∠FED=∠CDE+∠BAE
∴∠BAE+∠CDE=∠AED；
（3）①∠AED-∠FDC=45°；
∵∠AED+∠AEC=180°，∠AED+∠DEC+∠AEB=180°，
∴∠AEC=∠DEC+∠AEB，
∴∠AED=∠AEB，
∵DF平分∠EDC
∠DEC=2∠FDC
∴∠DEC=90°-2∠FDC，
∴2∠AED+（90°-2∠FDC）=180°，
∴∠AED-∠FDC=45°，
故答案为：∠AED-∠FDC=45°；
②如图3，

∵∠AED=∠F+∠FDE，∠AED-∠FDC=45°，
∴∠F=45°，
∴∠DEP=2∠F=90°，
∵∠DEA-∠PEA=∠DEB=∠DEA，
∴∠PEA=∠AED，
∴∠DEP=∠PEA+∠AED=∠AED=90°，
∴∠AED=70°，
∵∠AED+∠AEC=180°，
∴∠DEC+2∠AED=180°，
∴∠DEC=40°，
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC=40°，
在△PDE中，∠EPD=180°-∠DEP-∠AED=50°，
即∠EPD=50°．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质，角平分线的性质等知识点是解题的关键．
二十四、解答题
24．（1）①见解析；②；见解析（2）①∠AFG+∠EDG=∠DGF；②∠AFG-∠EDG=∠DGF
【分析】
（1）①根据题意画出图形；②依据DE∥AB，DF∥AC，可得∠EDF+∠AFD=180°，∠
解析：（1）①见解析；②；见解析（2）①∠AFG+∠EDG=∠DGF；②∠AFG-∠EDG=∠DGF
【分析】
（1）①根据题意画出图形；②依据DE∥AB，DF∥AC，可得∠EDF+∠AFD=180°，∠A+∠AFD=180°，进而得出∠EDF=∠A；
（2）①过G作GH∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠AFG+∠EDG=∠FGH+∠DGH=∠DGF；②过G作GH∥AB，依据平行线的性质，即可得到∠AFG-∠EDG=∠FGH-∠DGH=∠DGF．
【详解】
解：（1）①如图，

②∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠EDF+∠AFD=180°，∠A+∠AFD=180°，
∴∠EDF=∠A；
（2）①∠AFG+∠EDG=∠DGF．
如图2所示，过G作GH∥AB，
∵AB∥DE，
∴GH∥DE，
∴∠AFG=∠FGH，∠EDG=∠DGH，
∴∠AFG+∠EDG=∠FGH+∠DGH=∠DGF；

②∠AFG-∠EDG=∠DGF．
如图所示，过G作GH∥AB，
∵AB∥DE，
∴GH∥DE，
∴∠AFG=∠FGH，∠EDG=∠DGH，
∴∠AFG-∠EDG=∠FGH-∠DGH=∠DGF．

【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质：两直线平行，内错角相等．正确的作出辅助线是解题的关键．
二十五、解答题
25．（1）105°；（2）135°；（3）5.5或11.5.
【分析】
（1）在△CEN中，用三角形内角和定理即可求出；
（2）由∠BON＝30°，∠N=30°可得MN∥CB，再根据两直线平行，同旁内角
解析：（1）105°；（2）135°；（3）5.5或11.5.
【分析】
（1）在△CEN中，用三角形内角和定理即可求出；
（2）由∠BON＝30°，∠N=30°可得MN∥CB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠CEN的度数.
（3）画出图形，求出在MN⊥CD时的旋转角，再除以30°即得结果.
【详解】
解：（1）在△CEN中，∠CEN=180°－∠ECN－∠CNE=180°－45°－30°=105°；
（2）∵∠BON＝30°，∠N=30°，
∴∠BON＝∠N，
∴MN∥CB.
∴∠OCD+∠CEN=180°，
∵∠OCD=45°
∴∠CEN=180°－45°=135°；
（3）如图，MN⊥CD时，旋转角为360°－90°－45°－60°=165°，或360°－（60°－45°）=345°，所以在第165°÷30°=5.5或345°÷30°=11.5秒时，直线MN恰好与直线CD垂直．

【点睛】
本题以学生熟悉的三角板为载体，考查了三角形的内角和、平行线的判定和性质、垂直的定义和旋转的性质，前两小题难度不大，难点是第（3）小题，解题的关键是画出适合题意的几何图形，弄清求旋转角的思路和方法，本题的第一种情况是将旋转角∠DOM放在四边形DOMF中，用四边形内角和求解，第二种情况是用周角减去∠DOM的度数.