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八年级上册压轴题模拟数学质量检测试题附答案[003].doc

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八年级上册压轴题模拟数学质量检测试题附答案 1.(初步探索)(1)如图:在四边形中,,,、分别是、上的点,且,探究图中、、之间的数量关系. (1)(1)小明同学探究此问题的方法是:延长到点,使.连接,先证明,再证明,可得出结论,他的结论应是_____________; (2)(灵活运用)(2)如图2,若在四边形中,,,、分别是、上的点,且,上述结论是否仍然成立,并说明理由; 2.在平面直角坐标系中,A(a,0),B(0,b)分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点,点C与点A关于y轴对称,点P是x轴正半轴上C点右侧一动点. (1)当2a2+4ab+4b2+2a+1=0时,求A,B的坐标; (2)当a+b=0时, ①如图1,若D与P关于y轴对称,PE⊥DB并交DB延长线于E,交AB的延长线于F,求证:PB=PF; ②如图2,把射线BP绕点B顺时针旋转45o,交x轴于点Q,当CP=AQ时,求∠APB的大小. 3.如图1,在平面直角坐标系中,点A、B分别在x、y轴上,以AB为边作等腰直角三角形ABC,使,点C在第一象限. (1)若点A(a,0),B(0,b),且a、b满足,则______,_____,点C的坐标为_________; (2)如图2,过点C作轴于点D,BE平分,交x轴于点E,交CD于点F,交AC于点G,求证:CG垂直平分EF; (3)试探究(2)中OD,OE与DF之间的关系,并说明理由. 4.以点为顶点作等腰,等腰,其中,如图1所示放置,使得一直角边重合,连接、. (1)试判断、的数量关系,并说明理由; (2)延长交于点试求的度数; (3)把两个等腰直角三角形按如图2放置,(1)、(2)中的结论是否仍成立?请说明理由. 5.在平面直角坐标系中,点A在x轴的负半轴上,点B在y轴的正半轴上,点A与点C关于y轴对称. (1)如图1,OA=OB,AF平分∠BAC交BC于F,BE⊥AF交AC于E,请直接写出EF与EC的数量关系为   ; (2)如图2,AF平分∠BAC交BC于F,若AF=2OB,求∠ABC的度数; (3)如图3,OA=OB,点G在BO的垂直平分线上,作∠GOH=45°交BA的延长线于H,连接GH,试探究OG与GH的数量和位置关系. 6.如图,在△ABC中,点D为直线BC上一动点,∠DAE=90°,AD=AE. (1)如果∠BAC=90°,AB=AC. ①如图1,当点D在线段BC上时,线段CE与BD的位置关系为__________,数量关系为__________; ②如图2,当点D在线段BC的延长线上时,①中的结论是否仍然成立?请说明理由; (2)如图3,若△ABC是锐角三角形,∠ACB=45°,当点D在线段BC上运动时,证明:CE⊥BD. 7.方法探究: 已知二次多项式,我们把代入多项式,发现,由此可以推断多项式中有因式(x+3).设另一个因式为(x+k),多项式可以表示成,则有,因为对应项的系数是对应相等的,即,解得,因此多项式分解因式得:.我们把以上分解因式的方法叫“试根法”. 问题解决: (1)对于二次多项式,我们把x= 代入该式,会发现成立; (2)对于三次多项式,我们把x=1代入多项式,发现,由此可以推断多项式中有因式(),设另一个因式为(),多项式可以表示成,试求出题目中a,b的值; (3)对于多项式,用“试根法”分解因式. 8.已知:为的中线,分别以和为一边在的外部作等腰三角形和等腰三角形,且,连接,. (1)如图1,若,求的度数. (2)如图1,求证:. (3)如图2,设交于点,交于点与交于点,若点为中点,且,请探究和的数量关系,并直接写出答案(不需要证明). 【参考答案】 2.(1)(初步探索)结论:∠BAE+∠FAD=∠EAF; (2)(灵活运用)成立,理由见解析 【分析】(1)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,可判定△ABE≌△ADG,进而得出∠BAE=∠D 解析:(1)(初步探索)结论:∠BAE+∠FAD=∠EAF; (2)(灵活运用)成立,理由见解析 【分析】(1)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,可判定△ABE≌△ADG,进而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判定△AEF≌△AGF,可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF,据此得出结论; (2)延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先判定△ABE≌△ADG,进而得出∠BAE=∠DAG,AE=AG,再判定△AEF≌△AGF,可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF. (1) 解:∠BAE+∠FAD=∠EAF. 理由:如图1,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, ∵, ∴, ∵DG=BE,, ∴△ABE≌△ADG, ∴∠BAE=∠DAG,AE=AG, ∵EF=BE+FD,DG=BE, ∴,且AE=AG,AF=AF, ∴△AEF≌△AGF, ∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF. 故答案为:∠BAE+∠FAD=∠EAF; (2) 如图2,延长FD到点G,使DG=BE,连接AG, ∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=180°, ∴∠B=∠ADG, 又∵AB=AD, ∴△ABE≌△ADG(SAS), ∴∠BAE=∠DAG,AE=AG, ∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF, ∴△AEF≌△AGF(SSS), ∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF 【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及性质的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,根据全等三角形的对应角相等进行推导变形.解题时注意:同角的补角相等. 3.(1);(2)①见解析;②∠APB=22.5° 【分析】(1)利用非负数的性质求解即可; (2)①想办法证明∠PBF=∠F,可得结论;②如图2中,过点Q作QF⊥QB交PB于F,过点F作FH⊥x轴 解析:(1);(2)①见解析;②∠APB=22.5° 【分析】(1)利用非负数的性质求解即可; (2)①想办法证明∠PBF=∠F,可得结论;②如图2中,过点Q作QF⊥QB交PB于F,过点F作FH⊥x轴于H,可得等腰直角△BQF,证明△FQH≌△QBO(AAS),再证明FQ=FP即可解决问题. 【详解】解:(1)∵2a2+4ab+4b2+2a+1=0, ∴(a+2b)2+(a+1)2=0, ∵(a+2b)2≥0 ,(a+1)2≥0, ∴a+2b=0,a+1=0, ∴a=﹣1,b=, ∴A(﹣1,0),B(0,). (2)①证明:如图1中, ∵a+b=0, ∴a=﹣b, ∴OA=OB,    又∵∠AOB=90°, ∴∠BAO=∠ABO=45°, ∵D与P关于y轴对称, ∴BD=BP, ∴∠BDP=∠BPD, 设∠BDP=∠BPD=α, 则∠PBF=∠BAP+∠BPA=45°+α, ∵PE⊥DB, ∴∠BEF=90°, ∴∠F=90°﹣∠EBF, 又∠EBF=∠ABD=∠BAO﹣∠BDP=45°﹣α, ∴∠F=45°+α, ∴∠PBF=∠F, ∴PB=PF. ②解:如图2中,过点Q作QF⊥QB交PB于F,过点F作FH⊥x轴于H.可得等腰直角△BQF, ∵∠BOQ=∠BQF=∠FHQ=90°, ∴∠BQO+∠FQH=90°,∠FQH+∠QFH=90°, ∴∠BQO=∠QFH, ∵QB=QF, ∴△FQH≌△QBO(AAS), ∴HQ=OB=OA, ∴HO=AQ=PC, ∴PH=OC=OB=QH, ∴FQ=FP, 又∠BFQ=45°, ∴∠APB=22.5°. 【点睛】本题考查完全平方公式、实数的非负性、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质,解题的关键是综合运用相关知识解题. 4.(1),;C(8,4); (2)证明见解析; (3),理由见解析. 【分析】(1)利用绝对值的非负性求出a,b的值,作轴交于点D, 证明,进一步可求出点C坐标; (2)利用已知证明,,再证 解析:(1),;C(8,4); (2)证明见解析; (3),理由见解析. 【分析】(1)利用绝对值的非负性求出a,b的值,作轴交于点D, 证明,进一步可求出点C坐标; (2)利用已知证明,,再证明,得到,,利用平行性质得到,进一步得,再利用HL定理证明,可得,即可证明CG垂直平分EF; (3)证明得到,,又由(2)可知,进一步可得. (1) 解:∵,即:, ∴,, 作轴交于点D, ∵,, ∴, 在和中, ∴, ∴,, ∴,即. (2) 证明:∵,BE平分, ∴,, 在和中, ∴, ∴,, ∵, ∴, ∴, ∴, ∴, 在和中, ∴, ∴,即CG垂直平分EF. (3) 解:,理由如下: ∵, , ∴, 在和中, ∴, ∴,, ∵, ∴, 又由(2)可知, ∴,即. 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,绝对值非负性,垂直平分线的判定,平行线的性质,坐标与图形.本题综合性较强,熟练掌握等腰三角形的性质,证明三角形全等是解题的关键. 5.(1)BD=CE,理由见解析;(2)90°;(3)成立,理由见解析. 【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC,∠BAD=∠EAC=90°,AD=AE,利用“SAS”可证明△ADB≌△ 解析:(1)BD=CE,理由见解析;(2)90°;(3)成立,理由见解析. 【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到AB=AC,∠BAD=∠EAC=90°,AD=AE,利用“SAS”可证明△ADB≌△AEC,则BD=CE; (2)由△ADB≌△AEC得到∠ACE=∠DBA,利用三角形内角和定理可得到∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°; (3)与(1)一样可证明△ADB≌△AEC,得到BD=CE,∠ACE=∠DBA,利用三角形内角和定理得到∠BFC=∠DAB=90°. 【详解】(1)∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形, ∴AB=AC,∠BAD=∠EAC=90°,AD=AE, ∵在△ADB和△AEC中, ∴△ADB≌△AEC(SAS),∴BD=CE; (2)∵△ADB≌△AEC,∴∠ACE=∠ABD, 而在△CDF中,∠BFC=180°-∠ACE-∠CDF, 又∵∠CDF=∠BDA, ∴∠BFC=180°-∠DBA-∠BDA=∠DAB=90°; (3)BD=CE成立,且两线段所在直线互相垂直,即∠BFC=90°.理由如下: ∵△ABC、△ADE是等腰直角三角形, ∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD=90°, ∵∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD, ∴∠BAD=∠CAE, 在△ADB和△AEC中, , ∴△ADB≌△AEC(SAS), ∴BD=CE,∠ACE=∠DBA, ∴∠BFC=∠DAB=90°. 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质.判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”,熟知判定方法并根据题目条件选择合适的方法进行解答. 6.(1)EF=EC (2)72° (3)GH=GO,GH⊥GO 【分析】(1)如图1中,设AF交BE于点J.首先证明AB=AE,再证明∠AEF=∠ABF=90°,可得结论; (2)如图2中,取 解析:(1)EF=EC (2)72° (3)GH=GO,GH⊥GO 【分析】(1)如图1中,设AF交BE于点J.首先证明AB=AE,再证明∠AEF=∠ABF=90°,可得结论; (2)如图2中,取CF的中点T,连接OT.由OA=OC,BO⊥AC,推出BA=BC,推出∠BAC=∠BCA,∠ABO=∠CBO,设∠BAC=∠BCA=2α,利用三角形内角和定理,构建方程求解即可; (3)结论:OG=GH,OG⊥GH.如图3中,连接GB,在BA上取一点H′,使得GB=GH′,连接OH′,设AB交DG于点W,交OG于点K,连接OW.证明∠GOH′=GOH=45°,推出点H与点H′重合,可得结论. (1)解:(1)结论:EF=EC.理由:如图1中,设AF交BE于点J.∵AF平分∠BAC,∴∠BAF=∠CAF,∵BE⊥AF,∴∠BAF+∠ABE=90°,∠CAF+∠AEB=90°,∴∠ABE=∠AEB,∴AB=AE,∵A,C关于y轴对称,∴OA=OC,∵OA=OB,∴OA=OB=OC,∴∠OAB=∠OBA=45°,∠OCB=∠OBC=45°,∴∠ABC=90°,在△ABF和△AEF中,,∴△ABF≌△AEF(SAS),∴∠AEF=∠ABF=90°,∴∠CEF=90°,∴∠ECF=∠EFC=45°,∴EF=EC; (2)解:如图2中,取CF的中点T,连接OT.∵AO=OC,FT=TC,∴OT∥AF,OT=AF,∵AF=2OB,∴OB=OT,∴∠OBT=∠OTB,∵OA=OC,BO⊥AC,∴BA=BC,∴∠BAC=∠BCA,∠ABO=∠CBO,设∠BAC=∠BCA=2α,∵AF平分∠BAC,∴∠BAF=∠CAF=α,∵OT∥AF,∴∠TOC=∠CAF=α,∴∠OBT=∠OTB=∠TOC+∠TCO=3α,∵∠OBC+∠OCB=90°,∴5α=90°,∴α=18°,∴∠OBC=36°,∴∠ABC=2∠OBC=72°; (3)解:结论:OG=GH,OG⊥GH.理由:如图3中,连接GB,在BA上取一点H′,使得GB=GH′,连接OH′,设AB交DG于点W,交OG于点K,连接OW.设∠OGB=m,∠OGH′=n,∵GD垂直平分线段OB,∴GB=GO,∠DGB=∠DGO=m,∵GB=GO=GH′,∴∠GH′O=(180°-n)=90°-n,∠GH′B=(180°-m-n)=90°-m-n,∴∠KH′O=∠GH′O-∠GH′B=90°-n-(90°-m-n)=m,∴∠KH′O=∠KGW,∵∠GKW=∠H′KO,∴∠H′OK=∠GWK,∵DG∥OA,∴∠GWK=∠OAB=45°,∴∠COH′=45°,∵∠COH=45°,∴∠COH=∠COH′,∴点H与点H′重合,∴OG=GH,∴∠GHO=∠GOH=45°,∴∠OGH=90°,∴GH=GO,GH⊥GO. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质等知识,第三个问题比较难,采用了同一法解决问题. 7.(1)①CE⊥BD;CE=BD;②结论仍成立,理由见解析; (2)证明见解析. 【分析】(1)①根据∠BAD=∠CAE,BA=CA,AD=AE,运用“SAS”证明△ABD≌△ACE,根据全等三角 解析:(1)①CE⊥BD;CE=BD;②结论仍成立,理由见解析; (2)证明见解析. 【分析】(1)①根据∠BAD=∠CAE,BA=CA,AD=AE,运用“SAS”证明△ABD≌△ACE,根据全等三角形性质得出对应边相等,对应角相等,即可得到线段CE、BD之间的关系; ②先根据“SAS”证明△ABD≌△ACE,再根据全等三角形性质得出对应边相等,对应角相等,即可得到①中的结论仍然成立; (2)先过点A作AG⊥AC交BC于点G,画出符合要求的图形,再结合图形判定△GAD≌△CAE,得出对应角相等,即可得出结论. (1) ①∵∠BAD=90°-∠DAC,∠CAE=90°-∠DAC, ∴∠BAD=∠CAE. 又 BA=CA,AD=AE, ∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴∠ACE=∠B=45°,CE=BD. ∵∠ACB=∠B=45°, ∴∠ECB=45°+45°=90°, 即 CE⊥BD. 故答案为:CE⊥BD;CE=BD. ②当点D在BC的延长线上时,①的结论仍成立. ∵∠DAE=90°,∠BAC=90°, ∴∠DAE=∠BAC, ∴∠DAB=∠EAC, 又AB=AC,AD=AE, ∴△DAB≌△EAC(SAS), ∴CE=BD,∠ACE=∠ABD. ∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠ABC=45°, ∴∠ACE=45°, ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°, 即 CE⊥BD; (2) 证明:过点A作AG⊥AC交BC于点G, ∵∠ACB=45°, ∴∠AGC=45°, ∴AC=AG, 即△ACG是等腰直角三角形, ∵∠GAD+∠DAC=90°=∠CAE+∠DAC, ∴∠GAD=∠CAE, 又∵DA=EA, ∴△GAD≌△CAE(SAS), ∴∠ACE=∠AGD=45°, ∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°, 即CE⊥BD. 【点睛】此题为三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,根据全等三角形的对应边相等,对应角相等进行求解. 8.(1)±2 (2)a=0,b=-3; (3) 【分析】(1)将x=±2代入即可; (2)由题意得x3-x2-3x+3=x3-(1-a)x2-(a-b)x-b,再由系数关系求a、b即可; ( 解析:(1)±2 (2)a=0,b=-3; (3) 【分析】(1)将x=±2代入即可; (2)由题意得x3-x2-3x+3=x3-(1-a)x2-(a-b)x-b,再由系数关系求a、b即可; (3)多项式有因式(x-2),设另一个因式为(x2+ax+b),则x3+4x2-3x-18=x3+(a-2)x2-(2a-b)x-2b,再由系数关系求a、b即可. (1) 解:当x=±2时,x2-4=0, 故答案为:±2; (2) 解:由题意可知x3-x2-3x+3=(x-1)(x2+ax+b), ∴x3-x2-3x+3=x3-(1-a)x2-(a-b)x-b, ∴1-a=1,b=-3, ∴a=0,b=-3; (3) 解:当x=2时,x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0, ∴多项式有因式(x-2), 设另一个因式为(x2+ax+b), ∴x3+4x2-3x-18=(x-2)(x2+ax+b), ∴x3+4x2-3x-18=x3+(a-2)x2-(2a-b)x-2b, ∴a-2=4,2b=18, ∴a=6,b=9, ∴x3+4x2-3x-18=(x-2)(x2+6x+9)=(x-2)(x+3)2. 【点睛】本题考查因式分解的意义,理解“试根法”的本质,多项式乘多项式的正确展开是解题的关键. 9.(1)∠BAC=50°; (2)见解析; (3) 【分析】(1)利用三角形内角和定理求出∠EAB和∠CAF,再根据构建方程即可解决问题; (2)延长AD至H,使DH=AD,连接BH,想办法证 解析:(1)∠BAC=50°; (2)见解析; (3) 【分析】(1)利用三角形内角和定理求出∠EAB和∠CAF,再根据构建方程即可解决问题; (2)延长AD至H,使DH=AD,连接BH,想办法证明△ABH≌△EAF即可解决问题; (3)先证明△ACD≌△FAG,推出∠ACD=∠FAG,再证明∠BCF=150°即可. (1) ∵AE=AB, ∴∠AEB=∠ABE=65°, ∴∠EAB=50°, ∵AC=AF, ∴∠ACF=∠AFC=75°, ∴∠CAF=30°, ∵∠EAF+∠BAC=180°, ∴∠EAB+2∠ABC+∠FAC=180°, ∴50°+2∠BAC+30°=180°, ∴∠BAC=50°. (2) 证明:延长AD至H,使DH=AD,连接BH, ∵EF=2AD, ∴AH=EF, 在△BDH和△CDA中, , ∴△BDH≌△CDA, ∴HB=AC=AF,∠BHD=∠CAD, ∴AC∥BH, ∴∠ABH+∠BAC=180°, ∵∠EAF+∠BAC=180°, ∴∠EAF=∠ABH, 在△ABH和△EAF中, , ∴△ABH≌△EAF, ∴∠AEF=∠ABH,EF=AH=2AD, (3) 结论:∠GAF-∠CAF=60°. 由(1)得,AD=EF,又点G为EF中点, ∴EG=AD, 在△EAG和△ABD中, , ∴△EAG≌△ABD, ∴∠EAG=∠ABC=60°, ∴△AEB是等边三角形, ∴∠ABE=60°, ∴∠CBM=60°, 在△ACD和△FAG中, , ∴△ACD≌△FAG, ∴∠ACD=∠FAG, ∵AC=AF,∴∠ACF=∠AFC, 在四边形ABCF中,∠ABC+∠BCF+∠CFA+∠BAF=360°, ∴60°+2∠BCF=360°, ∴∠BCF=150°, ∴∠BCA+∠ACF=150°, ∴∠GAF+(180°-∠CAF)=150°, ∴∠GAF-∠CAF=60°. . 【点睛】本题考查三角形综合题,涉及全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.
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