人教版初二上学期压轴题数学综合试卷[001].doc

人教版初二上学期压轴题数学综合试卷
1．在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C与点A关于y轴对称，点P是x轴正半轴上C点右侧一动点．
（1）当2a2+4ab+4b2+2a+1＝0时，求A，B的坐标；
（2）当a+b＝0时，
①如图1，若D与P关于y轴对称，PE⊥DB并交DB延长线于E，交AB的延长线于F，求证：PB＝PF；
②如图2，把射线BP绕点B顺时针旋转45o，交x轴于点Q，当CP＝AQ时，求∠APB的大小．

2．如图1，在平面直角坐标系中，点，，且，满足，连接，，交轴于点．
（1）求点的坐标；
（2）求证：；
（3）如图2，点在线段上，作轴于点，交于点，若，求证：．

3．（1）模型：如图1，在中，平分，，，求证：．
（2）模型应用：如图2，平分交的延长线于点，求证：．
（3）类比应用：如图3，平分，，，求证：．

4．已知：在平面直角坐标系中，A为x轴负半轴上的点，B为y轴负半轴上的点．
(1)如图1，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰，若，，求C点的坐标；

(2)如图2，若点A的坐标为，点B的坐标为，点D的纵坐标为n，以B为顶点，BA为腰作等腰．当B点沿y轴负半轴向下运动且其他条件都不变时，整式的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理出；

(3)如图3，若，于点F，以OB为边作等边，连接AM交OF于点N，若，，请直接写出线段AM的长．

5．如图，在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝6cm，现有两点M、N分别从点A、B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当点N第一次回到点B时，点M、N同时停止运动，设运动时间为ts．
（1）当t为何值时，M、N两点重合；
（2）当点M、N分别在AC、BA边上运动，△AMN的形状会不断发生变化．
①当t为何值时，△AMN是等边三角形；
②当t为何值时，△AMN是直角三角形；
（3）若点M、N都在BC边上运动，当存在以MN为底边的等腰△AMN时，求t的值．

6．方法探究：
已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”．
问题解决：
(1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立；
(2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值；
(3)对于多项式，用“试根法”分解因式．
7．如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上一点，且DE＝CE，连接BD，CD．
（1）判断与的位置关系和数量关系，并证明；
（2）如图2，若将△DCE绕点E旋转一定的角度后，BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？并证明；
（3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变，求BD与AC夹角的度数．

8．在Rt△中，，∠，点是上一点．

(1)如图，平分∠，求证；
(2)如图，点在线段上，且∠，∠，求证；
(3)如图3，BM⊥AM，M是△ABC的中线AD延长线上一点，N在AD上，AN＝BM，若DM＝2，则MN＝ （直接写出结果）．
【参考答案】
2．（1）；（2）①见解析；②∠APB＝22.5°
【分析】（1）利用非负数的性质求解即可；
（2）①想办法证明∠PBF＝∠F，可得结论；②如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴
解析：（1）；（2）①见解析；②∠APB＝22.5°
【分析】（1）利用非负数的性质求解即可；
（2）①想办法证明∠PBF＝∠F，可得结论；②如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H，可得等腰直角△BQF，证明△FQH≌△QBO（AAS），再证明FQ＝FP即可解决问题．
【详解】解：（1）∵2a2+4ab+4b2+2a+1＝0，
∴（a+2b）2+（a+1）2＝0，
∵（a+2b）2≥0 ，（a+1）2≥0，
∴a+2b＝0，a+1＝0，
∴a＝﹣1，b＝，
∴A（﹣1，0），B(0，）．
（2）①证明：如图1中，

∵a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴OA＝OB，
   又∵∠AOB＝90°，
∴∠BAO＝∠ABO＝45°，
∵D与P关于y轴对称，
∴BD＝BP，
∴∠BDP＝∠BPD，
设∠BDP＝∠BPD＝α，
则∠PBF＝∠BAP+∠BPA＝45°+α，
∵PE⊥DB，
∴∠BEF＝90°，
∴∠F＝90°﹣∠EBF，
又∠EBF＝∠ABD＝∠BAO﹣∠BDP＝45°﹣α，
∴∠F＝45°+α，
∴∠PBF＝∠F，
∴PB＝PF．
②解：如图2中，过点Q作QF⊥QB交PB于F，过点F作FH⊥x轴于H．可得等腰直角△BQF，

∵∠BOQ＝∠BQF＝∠FHQ＝90°，
∴∠BQO+∠FQH＝90°，∠FQH+∠QFH＝90°，
∴∠BQO＝∠QFH，
∵QB＝QF，
∴△FQH≌△QBO（AAS），
∴HQ＝OB＝OA，
∴HO＝AQ＝PC，
∴PH＝OC＝OB＝QH，
∴FQ＝FP，
又∠BFQ＝45°，
∴∠APB＝22.5°．
【点睛】本题考查完全平方公式、实数的非负性、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用相关知识解题．
3．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】（1）由非负性可求a，b的值，即可求解；
（2）由“SAS”可证△ABP≌△BCQ，可得AB=BC，∠BAP=∠CBQ，可证△ABC是等腰直
解析：（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【分析】（1）由非负性可求a，b的值，即可求解；
（2）由“SAS”可证△ABP≌△BCQ，可得AB=BC，∠BAP=∠CBQ，可证△ABC是等腰直角三角形，可得∠BAC=45°，可得结论；
（3）由“AAS”可证△ATO≌△EAG，可得AT=AE，OT=AG，由“SAS”可证△TAD≌△EAD，可得TD=ED，∠TDA=∠EDA，由平行线的性质可得∠EFD=∠EDF，可得EF=ED，即可得结论．
【详解】解：（1）∵a2-2ab+2b2-16b+64=0，
∴（a-b）2+（b-8）2=0，
∴a=b=8，
∴b-6=2，
∴点C（2，-8）；
（2）∵a=b=8，
∴点A（0，6），点B（8，0），点C（2，-8），
∴AO=6，OB=8，
如图1，过点B作PQ⊥x轴，过点A作AP⊥PQ，交PQ于点P，过点C作CQ⊥PQ，交PQ于点Q，

∴四边形AOBP是矩形，
∴AO=BP=6，AP=OB=8，
∵点B（8，0），点C（2-8），
∴CQ=6，BQ=8，
∴AP=BQ，CQ=BP，
又∠APB=∠BCQ
∴△ABP≌△BCQ（SAS），
∴AB=BC，∠BAP=∠CBQ，
∵∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠ABP+∠CBQ=90°，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
∵∠OAD+∠ADO=∠OAD+∠BAC+∠ABO=90°，
∴∠OAC+∠ABO=45°；
（3）如图2，过点A作AT⊥AB，交x轴于T，连接ED，

∴∠TAE=90°=∠AGE，
∴∠ATO+∠TAO=90°=∠TAO+∠GAE=∠GAE+∠AEG，
∴∠ATO=∠GAE，∠TAO=∠AEG，
又∵EG=AO，
∴△ATO≌△EAG（AAS），
∴AT=AE，OT=AG，
∵∠BAC=45°，
∴∠TAD=∠EAD=45°，
又∵AD=AD，
∴△TAD≌△EAD（SAS），
∴TD=ED，∠TDA=∠EDA，
∵EG⊥AG，
∴EG∥OB，
∴∠EFD=∠TDA，
∴∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED，
∴EF=ED=TD=OT+OD=AG+OD，
∴EF=AG+OD．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
4．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；
【分析】（1）由题意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC；
（2）在AB上取点E，使得AE=AC，根据题意可证△ACD≌△AED，从而
解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析；
【分析】（1）由题意得DE=DF，，，即可得出：=AB：AC；
（2）在AB上取点E，使得AE=AC，根据题意可证△ACD≌△AED，从而可求出，，即可求解；
（3）延长BE至M，使EM=DC，连接AM，根据题意可证△ADC≌△AEM，故而得出AE为∠BAM的角平分线，即，即可得出答案；
【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE⊥AC，
∴DE=DF，
∵ ，，
∴：=AB：AC；
（2）如图，在AB上取点E，使得AE=AC，连接DE
又∵ AD平分∠CAE，
∴ ∠CAD=∠DAE，
在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED（SAS），
∴CD=DE且∠ADC=∠ADE，
∴ ，
∴ ，
∴AB：AC=BD：CD；

（3）如图延长BE至M，使EM=DC，连接AM，
∵ ∠D+∠AEB=180°，
又∵∠AEB+∠AEM=180°，
∴∠D=∠AEM，
在△ADC与△AEM中，
，
∴△ADC≌△AEM（SAS），
∴∠DAC=∠EAM=∠BAE，AC=AM，
∴AE为∠BAM的角平分线，
故 ，
∴BE：CD=AB：AC；

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、以及三角形的面积的应用，正确掌握知识点是解题的关键；
5．(1)
(2)整式的值不发生变化．其值为
(3)
【分析】（1）过点作于点，可以证明，由，，再由条件就可以求出的坐标；
（2）过点作于点，可以证明，则有为定值，从而可以得出结论的值不变为；
解析：(1)
(2)整式的值不发生变化．其值为
(3)
【分析】（1）过点作于点，可以证明，由，，再由条件就可以求出的坐标；
（2）过点作于点，可以证明，则有为定值，从而可以得出结论的值不变为；
（3）在上截取，连接，证明，由全等三角形的性质得出．由等腰三角形的性质可得出结论．
(1)
解：如图1，过点作于点，

，
等腰直角三角形，
，，
．
，
，．
，，
，，
，
；
(2)
解：整式的值不会变化．
理由如下：
如图2，过点作于点，

，
等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
当点沿轴负半轴向下运动时，
，
整式的值不变，为；
(3)
．
证明：如图3，在上截取，连接，

是等边三角形，
，，

为等腰直角三角形，
，，
，
,
，
，，
，
，
．
，
，，
，
，

，
，
，
，
即．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确的做出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键．
6．（1）当M、N运动6秒时，点N追上点M；（2）①，△AMN是等边三角形；②当或时，△AMN是直角三角形；（3）
【详解】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的
解析：（1）当M、N运动6秒时，点N追上点M；（2）①，△AMN是等边三角形；②当或时，△AMN是直角三角形；（3）
【详解】（1）首先设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，表示出M，N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多6cm，列出方程求解即可；
（2）①根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，然后表示出AM，AN的长，由于∠A等于60°，所以只要AM＝AN三角形ANM就是等边三角形；
②分别就∠AMN＝90°和∠ANM＝90°列方程求解可得；
（3）首先假设△AMN是等腰三角形，可证出△ACM≌△ABN，可得CM＝BN，设出运动时间，表示出CM，NB，NM的长，列出方程，可解出未知数的值．
【解答】解：（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+6＝2x，
解得：x＝6，
即当M、N运动6秒时，点N追上点M；
（2）①设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图1，

AM＝t，AN＝6﹣2t，
∵AB＝AC＝BC＝6cm，
∴∠A＝60°，当AM＝AN时，△AMN是等边三角形，
∴t＝6﹣2t，
解得t＝2，
∴点M、N运动2秒后，可得到等边三角形△AMN．
②当点N在AB上运动时，如图2，

若∠AMN＝90°，
∵BN＝2t，AM＝t，
∴AN＝6﹣2t，
∵∠A＝60°，
∴2AM＝AN，即2t＝6﹣2t，
解得；
如图3，若∠ANM＝90°，

由2AN＝AM得2（6﹣2t）＝t，
解得．
综上所述，当t为或时，△AMN是直角三角形；
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知6秒时M、N两点重合，恰好在C处，
如图4，假设△AMN是等腰三角形，

∴AN＝AM，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠AMC＝∠ANB，
∵AB＝BC＝AC，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中，
∵∠AMC＝∠ANB，∠C＝∠B，AC＝AB，
∴△ACM≌△ABN（AAS），
∴CM＝BN，
∴t﹣6＝18﹣2t，
解得t＝8，符合题意．
所以假设成立，当M、N运动8秒时，能得到以MN为底的等腰三角形．
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，将动点问题转化为线段的长是解题的关键．
7．(1)±2
(2)a=0，b=-3；
(3)
【分析】（1）将x=±2代入即可；
（2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可；
（
解析：(1)±2
(2)a=0，b=-3；
(3)
【分析】（1）将x=±2代入即可；
（2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可；
（3）多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可．
(1)
解：当x=±2时，x2-4=0，
故答案为：±2；
(2)
解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b），
∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，
∴1-a=1，b=-3，
∴a=0，b=-3；
(3)
解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0，
∴多项式有因式（x-2），
设另一个因式为（x2+ax+b），
∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b），
∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，
∴a-2=4，2b=18，
∴a=6，b=9，
∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2．
【点睛】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键．
8．（1）， ；（2）， ；（3）．
【分析】（1）先判断出，再判定，再判断，
（2）先判断出，再得到同理（1）可得结论；
（3）先判断出，再判断出，最后计算即可．
【详解】解：（1）与的位置关
解析：（1）， ；（2）， ；（3）．
【分析】（1）先判断出，再判定，再判断，
（2）先判断出，再得到同理（1）可得结论；
（3）先判断出，再判断出，最后计算即可．
【详解】解：（1）与的位置关系是：，数量关系是．
理由如下：
如图1，延长交于点．

于，
．
，，
，
，，．
，
．
AE⊥BC
∴，
，
．
（2）与的位置关系是：，数量关系是．
如图，线段AC与线段BD交于点F，线段AE与线段BD交于点G，

，
，
即．
，，
，
，．
AE⊥BC
∴，
又∵
，
．
（3）如图，线段AC与线段BD交于点F，

和是等边三角形，
，，，，
，
，
在和中，

，
∴，
，

与的夹角度数为．
【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，判断垂直的方法，解本题的关键是判断．
9．(1)见解析
(2)见解析
(3)8
【分析】（1）如图1中，作DH⊥AB于H．证明△ADC≌△ADH即可解决问题．
（2）如图2中，过点C作CM⊥CE交AD的延长线于M，连接BM．证明△A
解析：(1)见解析
(2)见解析
(3)8
【分析】（1）如图1中，作DH⊥AB于H．证明△ADC≌△ADH即可解决问题．
（2）如图2中，过点C作CM⊥CE交AD的延长线于M，连接BM．证明△ACE≌△BCM（SAS），推出AE=BM，再利用直角三角形30度角的性质即可解决问题．
（3）如图3中，作CH⊥MN于H．证明得到，进一步证明即可解决问题．
(1)
证明：如图1中，作DH⊥AB于H．

∵∠ACD＝∠AHD＝90°，AD＝AD，∠DAC＝∠DAH，
∴△ADC≌△ADH（ASA），
∴AC＝AH，DC＝DH，
∵CA＝CB，∠C＝90°，
∴∠B＝45°，
∵∠DHB＝90°，
∴∠HDB＝∠B＝45°，
∴HD＝HB，
∴BH＝CD，
∴AB＝AH+BH＝AC+CD．
(2)
如图2中，作CM⊥CE交AD的延长线于M，连接BM．

，
，
，
，
，
∵∠ACB＝∠ECM＝90°，
，
，
∵CA＝CB，CE＝CM，
∴△ACE≌△BCM（SAS），
∴AE＝BM，
∵在Rt△EMB中，∠MEB＝30°，
∴BE＝2BM＝2AE．
(3)
解：如图3中，作CH⊥MN于H．

，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
是的中线，
，
，，
，
，
，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．