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北师大版九年级数学上册期末试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列说法：
①三角形的三条高一定都在三角形内
②有一个角是直角的四边形是矩形
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形
④两边及一角对应相等的两个三角形全等
⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（　　）
A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4
3．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（　　）

A． B． C． D．
5．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（　　）
A． B． C． D．
6．设函数y=（k≠0，x＞0）的图象如图所示，若z=，则z关于x的函数图象可能为（　　）
A． B． C． D．
7．若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
8．已知函数y=（m+2）是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．﹣
9．如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9
10．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作GE⊥AD于点E，若AB=2，且∠1=∠2，则下列结论：①DF⊥AB；②CG=2GA；③CG=DF+GE；④S四边形BFGC=中，说法正确的是（　　）

A．①③④ B．②③ C．①③ D．①②③
二．填空题（共10小题）
11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为　　　　　　．

12．如图，矩形ABCD中，对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB=　　　　　　．
13．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=　　　　　　．
14．设x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且x1+x2﹣x1x2=1，则x1+x2=　　　　　　，m=　　　　　　．
15．某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是　　　　　　．
16．已知一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根为x1、x2，则x12+x1x2+x22=　　　　　　．
17．如图，矩形ABCD中，AB=，BC=，点E在对角线BD上，且BE=1.8，连接AE并延长交DC于点F，则=　　　　　　．

18．已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是　 　．
19．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么=　　　　　　．

20．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y=（x＞0）的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx+b的解集是　　　　　　．
三．解答题（共10小题）
21．解方程：
（1）x2﹣3x﹣1=0． （2）x2+4x﹣2=0．

22．解方程：
（1）3x（x﹣1）=2x﹣2 （2）x2+3x+2=0．

23．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．

24． 某商场销售一种冰箱，每台进价2500元．市场调查研究表明，当售价为2900元时，平均每天能售出8台；当售价每降50元时，平均每天就能多售出4台；商场要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台售价应降低多少元？

25．如图，平行四边形ABCD中，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形AECF是菱形？证明你的结论．

26．如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积．

27．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

28．如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．
（1）求函数y=kx+b和y=的表达式；
（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M的坐标．

29．如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=的图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出方程kx+b﹣=0的解；
（3）求△AOB的面积；
（4）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．

30．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y=的图象经过点C（3，m）．
（1）求菱形OABC的周长；
（2）求点B的坐标．

北师大版九年级数学上册期末试卷
参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）
1．（2016•广安）下列说法：
①三角形的三条高一定都在三角形内
②有一个角是直角的四边形是矩形
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形
④两边及一角对应相等的两个三角形全等
⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
其中正确的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形高的性质、矩形的判定方法、菱形的判定方法、全等三角形的判定方法、平行四边形的判定方法即可解决问题．
【解答】解：①错误，理由：钝角三角形有两条高在三角形外．
②错误，理由：有一个角是直角的四边形是矩形不一定是矩形，有三个角是直角的四边形是矩形．
③正确，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
④错误，理由两边及一角对应相等的两个三角形不一定全等．
⑤错误，理由：一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形有可能是等腰梯形．
正确的只有③，
故选A．
【点评】本题考查三角形高，菱形、矩形、平行四边形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．

2．（2016•攀枝花）若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（　　）
A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4
【分析】把x=﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．
【解答】解：根据题意，将x=﹣2代入方程x2+ax﹣a2=0，得：
4﹣3a﹣a2=0，即a2+3a﹣4=0，
左边因式分解得：（a﹣1）（a+4）=0，
∴a﹣1=0，或a+4=0，
解得：a=1或﹣4，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

3．（2016•枣庄）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．
【解答】解：∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣4（kb+1）＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；
D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确；
故选：B．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．

4．（2016•兰州）如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（　　）

A． B． C． D．
【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴==，
故选C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，了解定理的内容是解答本题的关键，属于基础定义或定理，难度不大．

5．（2016•兰州）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，
∴△ABC与△DEF对应中线的比为，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．

6．（2016•杭州）设函数y=（k≠0，x＞0）的图象如图所示，若z=，则z关于x的函数图象可能为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据反比例函数解析式以及z=，即可找出z关于x的函数解析式，再根据反比例函数图象在第一象限可得出k＞0，结合x的取值范围即可得出结论．
【解答】解：∵y=（k≠0，x＞0），
∴z===（k≠0，x＞0）．
∵反比例函数y=（k≠0，x＞0）的图象在第一象限，
∴k＞0，
∴＞0．
∴z关于x的函数图象为第一象限内，且不包括原点的正比例的函数图象．
故选D．
【点评】本题考查了反比例函数的图象以及正比例函数的图象，解题的关键是找出z关于x的函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据分式的变换找出z关于x的函数关系式是关键．

7．（2016•天津）若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】直接利用反比例函数图象的分布，结合增减性得出答案．
【解答】解：∵点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y=的图象上，
∴A，B点在第三象限，C点在第一象限，每个图象上y随x的增大减小，
∴y3一定最大，y1＞y2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，正确把握反比例函数增减性是解题关键．

8．（2016•锦江区模拟）已知函数y=（m+2）是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（　　）
A．3 B．﹣3 C．±3 D．﹣
【分析】根据反比例函数的定义先求出m的值，再由图象在第二、四象限内，求出m的值．
【解答】解：由函数y=（m+2）为反比例函数可知m2﹣10=﹣1，
解得m=﹣3，m=3，
又∵图象在第二、四象限内，
∴m+2＜0，
∴m=﹣3．
故选B．
【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y=kx﹣1（k≠0）的形式以及对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．

9．（2016•十堰）如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，已知OB=3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为（　　）

A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：9
【分析】先求出位似比，根据位似比等于相似比，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
【解答】解：∵OB=3OB′，
∴，
∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，
∴△A′B′C′∽△ABC，
∴=．
∴=，
故选D
【点评】此题是位似变换，主要考查了位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，解本题的关键是掌握位似的性质．

10．（2016•历下区三模）已知：如图，在菱形ABCD中，F为边AB的中点，DF与对角线AC交于点G，过G作GE⊥AD于点E，若AB=2，且∠1=∠2，则下列结论：①DF⊥AB；②CG=2GA；③CG=DF+GE；④S四边形BFGC=中，说法正确的是（　　）

A．①③④ B．②③ C．①③ D．①②③
【分析】①由四边形ABCD是菱形，得出对角线平分对角，求得∠GAD=∠2，得出AG=GD，AE=ED，由SAS证得△AFG≌△AEG，得出∠AFG=∠AEG=90°，即可得出①正确；
②由DF⊥AB，F为边AB的中点，证得AD=BD，证出△ABD为等边三角形，得出∠BAC=∠1=∠2=30°，由AC=2AB•cos∠BAC，AG=，求出AC，AG，即可得出②正确；
③由勾股定理求出DF=，由GE=tan∠2•ED求出GE，即可得出③正确；
④由S四边形BFGC=S△ABC﹣S△AGF求出数值，即可得出④不正确．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠FAG=∠EAG，∠1=∠GAD，AB=AD，
∵∠1=∠2，
∴∠GAD=∠2，
∴AG=GD，
∵GE⊥AD，
∴GE垂直平分AD，
∴AE=ED，
∵F为边AB的中点，
∴AF=AE，
在△AFG和△AEG中，
，
∴△AFG≌△AEG（SAS），
∴∠AFG=∠AEG=90°，
∴DF⊥AB，
∴①正确；

∵DF⊥AB，F为边AB的中点，
∴AF=AB=1，AD=BD，
∵AB=AD，
∴AD=BD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠BAD=∠BCD=60°，
∴∠BAC=∠1=∠2=30°，
∴AC=2AB•cos∠BAC=2×2×=2，
AG===，
∴CG=AC﹣AG=2﹣=，
∴CG=2GA，
∴②正确；

∵GE垂直平分AD，
∴ED=AD=1，
由勾股定理得：DF===，
GE=tan∠2•ED=tan30°×1=，
∴DF+GE=+==CG，
∴③正确；

∵∠BAC=∠1=30°，
∴△ABC的边AC上的高等于AB的一半，即为1，
FG=AG=，
S四边形BFGC=S△ABC﹣S△AGF=×2×1﹣×1×=﹣=，
∴④不正确；
故选：D．

【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度．

二．填空题（共10小题）
11．（2016•扬州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为　24　．

【分析】由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AD的长，结合菱形的周长公式即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，
∴△AOD为直角三角形．
∵OE=3，且点E为线段AD的中点，
∴AD=2OE=6．
C菱形ABCD=4AD=4×6=24．
故答案为：24．
【点评】本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是求出AD=6．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据菱形的性质找出对角线互相垂直，再通过直角三角形的性质找出菱形的一条变成是关键．

12．（2015•广东）如图，矩形ABCD中，对角线AC=2，E为BC边上一点，BC=3BE，将矩形ABCD沿AE所在的直线折叠，B点恰好落在对角线AC上的B′处，则AB=　　．

【分析】先根据折叠得出BE=B′E，且∠AB′E=∠B=90°，可知△EB′C是直角三角形，由已知的BC=3BE得EC=2B′E，得出∠ACB=30°，从而得出AC与AB的关系，求出AB的长．
【解答】解：由折叠得：BE=B′E，∠AB′E=∠B=90°，
∴∠EB′C=90°，
∵BC=3BE，
∴EC=2BE=2B′E，
∴∠ACB=30°，
在Rt△ABC中，AC=2AB，
∴AB=AC=×2=，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质和翻折问题，明确翻折前后的图形全等是本题的关键，同时还运用了直角三角形中如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角是30°这一结论，是常考题型．

13．（2016•菏泽）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=　6　．
【分析】根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，通过变形可以得到2m2﹣4m值，本题得以解决．
【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，
∴m2﹣2m﹣3=0，
∴m2﹣2m=3，
∴2m2﹣4m=6，
故答案为：6．
【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

14．（2016•南京）设x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且x1+x2﹣x1x2=1，则x1+x2=　4　，m=　3　．
【分析】根据根与系数的关系找出x1+x2=﹣=4，x1x2==m，将其代入等式x1+x2﹣x1x2=1中得出关于m的一元一次方程，解方程即可得出m的值，从而此题得解．
【解答】解：∵x1、x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根，
∴x1+x2=﹣=4，x1x2==m．
∵x1+x2﹣x1x2=4﹣m=1，
∴m=3．
故答案为：4；3．
【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出x1+x2=4，x1x2=m．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系找出两根之和与两根之积是关键．

15．（2016•十堰）某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是　10%　．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后的售价是原来的（1﹣x），那么第二次降价后的售价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得
100×（1﹣x）2=81，
解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不符合题意，舍去）．
答：这两次的百分率是10%．
故答案为：10%．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．

16．（2016•宜宾）已知一元二次方程x2+3x﹣4=0的两根为x1、x2，则x12+x1x2+x22=　13　．
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣3，x1x2=﹣4，再利用完全平方公式变形得到x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣3，x1x2=﹣4，
所以x12+x1x2+x22=（x1+x2）2﹣x1x2=（﹣3）2﹣（﹣4）=13．
故答案为13．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．

17．（2016•滨州）如图，矩形ABCD中，AB=，BC=，点E在对角线BD上，且BE=1.8，连接AE并延长交DC于点F，则=　　．

【分析】根据勾股定理求出BD，得到DE的长，根据相似三角形的性质得到比例式，代入计算即可求出DF的长，求出CF，计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，又AB=，BC=，
∴BD==3，
∵BE=1.8，
∴DE=3﹣1.8=1.2，
∵AB∥CD，
∴=，即=，
解得，DF=，
则CF=CD﹣DF=，
∴==，
故答案为：．
【点评】本题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键．

18．（2016•邯郸校级自主招生）已知实数a，b，c满足a+b+c=10，且，则的值是　　．
【分析】根据已知条件把所求的式子进行整理，即可求出答案；
【解答】解∵a+b+c=10，
∴a=10﹣（b+c），b=10﹣（a+c），c=10﹣（a+b），
∴
=﹣+﹣+﹣
=﹣1+﹣1+﹣1
=++﹣3，
∵，
∴原式=×10﹣3=﹣3=．
故填：．
【点评】本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．

19．（2016•闸北区一模）如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么=　　．

【分析】由三角形的重心定理得出=，=，由平行线分线段成比例定理得出=，即可得出结果．
【解答】解：∵线段AD、BE是△ABC的中线，
∴=，=，
∵EF∥BC，=，
∴=．
故答案为：．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的重心定理；熟练掌握三角形的重心定理，由平行线分线段成比例定理得出FG：DG=1：2是解决问题的关键

20．（2016•岳阳）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y=（x＞0）的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx+b的解集是　1＜x＜4　．

【分析】先根据图形得出A、B的坐标，根据两点的坐标和图形得出不等式的解集即可．
【解答】解：∵由图象可知：A（1，4），B（4，1），x＞0，
∴不等式＜kx+b的解集为1＜x＜4，
故答案为：1＜x＜4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点的应用，能读懂图象是解此题的关键，数形结合思想的应用．

三．解答题（共10小题）
21．（2016•环县校级模拟）解方程：
（1）x2﹣3x﹣1=0．
（2）x2+4x﹣2=0．
【分析】（1）利用一元二次方程的求根公式直接求解即可；
（2）利用配方法解方程即可．
【解答】解：（1）∵a=1，b=﹣3，c=﹣1，
∴b2﹣4ac=9+4=13，
∴x=，
∴方程的解为：x1=，x2=；

（2）移项得：x2+4x=2，
配方得：x2+4x+4=2+4，
即（x+2）2=6，
∴x+2=±，
∴x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据不同的一元二次方程选择不同的求根方法，难度不大．

22．（2016•曲靖一模）解方程：
（1）3x（x﹣1）=2x﹣2
（2）x2+3x+2=0．
【分析】（1）先变形得到3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，然后利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，
（x﹣1）（3x﹣2）=0，
x﹣1=0或3x﹣2=0，
所以x1=1，x2=；
（2）（x+1）（x+2）=0，
x+1=0或x+2=0，
所以x1=﹣1，x2=﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

23．（2016•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x12+x22=6x1x2时，求m的值．
【分析】（1）根据一元二次方程x2﹣2x+m﹣1=0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系求出x1+x2，x1•x2的值，代入x12+x22=6x1x2求解即可．
【解答】解：（1）∵原方程有两个实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4（m﹣1）≥0，
整理得：4﹣4m+4≥0，
解得：m≤2；
（2）∵x1+x2=2，x1•x2=m﹣1，x12+x22=6x1x2，
∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=6x1•x2，
即4=8（m﹣1），
解得：m=．
∵m=＜2，
∴符合条件的m的值为．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解答本题的关键是掌握两根之和与两根之积的表达方式．

24．（2016•南海区校级模拟）某商场销售一种冰箱，每台进价2500元．市场调查研究表明，当售价为2900元时，平均每天能售出8台；当售价每降50元时，平均每天就能多售出4台；商场要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台售价应降低多少元？
【分析】销售利润=一台冰箱的利润×销售冰箱数量，一台冰箱的利润=售价﹣进价，降低售价的同时，销售量就会提高，“一减一加”，根据每台的盈利×销售的件数=5000元，即可列方程求解．
【解答】解：设每台冰箱的定价应为x元，依题意得（x﹣2500）（8+×4）=5000
解方程得x1=x2=2750
经检验x1=x2=2750符合题意．
答：每台冰箱的定价应为2750元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是会表示一台冰箱的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．

25．（2016•市北区二模）如图，平行四边形ABCD中，过A作AM⊥BC于M，交BD于E，过C作CN⊥AD于N，交BD于F，连结AF、CE．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当四边形ABCD满足什么条件时，四边形AECF是菱形？证明你的结论．

【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB=CD，∠ABE=∠CDF，再因为MA⊥AN，NC⊥BC可得∠BAM=∠DCN，利用SAS定理可证得结论；
（2）利用菱形的性质可得AC⊥EF，由全等三角形的性质可得AE=CF，由平行四边形的判定定理可得四边形AECF为平行四边形，利用菱形的判定定理得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，∠BAD=∠BCD，
∵MA⊥AN，NC⊥BC，
∴∠BAM=∠DCN，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）解：四边形ABCD是菱形时，四边形AECF是菱形．
∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵MA⊥AN，NC⊥BC，
∴AM∥CN，
∴四边形AECF为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和菱形的性质及判定定理，综合运用各定理是解答此题的关键．

26．（2016•怀化）如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点E、H分别在AB、AC上，已知BC=40cm，AD=30cm．
（1）求证：△AEH∽△ABC；
（2）求这个正方形的边长与面积．

【分析】（1）根据EH∥BC即可证明．
（2）如图设AD与EH交于点H，首先证明四边形EFDH是矩形，设正方形边长为x，再利用△AEH∽△ABC，得=，列出方程即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形EFGH是正方形，
∴EH∥BC，
∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，
∴△AEH∽△ABC．
（2）解：如图设AD与EH交于点H．
∵∠EFD=∠FEH=∠FDH=90°，
∴四边形EFDH是矩形，
∴EF=DH，设正方形EFGH的边长为x，
∵△AEH∽△ABC，
∴=，
∴=，
∴x=，
∴正方形EFGH的边长为cm，面积为cm2．

【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的相似比对于高的比，学会用方程的思想解决问题，属于中考常考题型．

27．（2016•兴化市校级二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；
（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．
【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴，
∵DF=DC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴，
又∵DF=DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10．
【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．

28．（2016•安徽）如图，一次函数y=kx+b的图象分别与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（4，3），与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．
（1）求函数y=kx+b和y=的表达式；
（2）已知点C（0，5），试在该一次函数图象上确定一点M，使得MB=MC，求此时点M的坐标．

【分析】（1）利用待定系数法即可解答；
（2）设点M的坐标为（x，2x﹣5），根据MB=MC，得到，即可解答．
【解答】解：（1）把点A（4，3）代入函数y=得：a=3×4=12，
∴y=．
OA==5，
∵OA=OB，
∴OB=5，
∴点B的坐标为（0，﹣5），
把B（0，﹣5），A（4，3）代入y=kx+b得：

解得：
∴y=2x﹣5．
（2）∵点M在一次函数y=2x﹣5上，
∴设点M的坐标为（x，2x﹣5），
∵MB=MC，
∴
解得：x=2.5，
∴点M的坐标为（2.5，0）．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，解决本题的关键是利用待定系数法求解析式．

29．（2016•自贡）如图，已知A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b和反比例函数y=的图象的两个交点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出方程kx+b﹣=0的解；
（3）求△AOB的面积；
（4）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＜0的解集．

【分析】（1）把B （2，﹣4）代入反比例函数y=得出m的值，再把A（﹣4，n）代入一次函数的解析式y=kx+b，运用待定系数法分别求其解析式；
（2）经过观察可发现所求方程的解应为所给函数的两个交点的横坐标；
（3）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；
（4）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，即使kx+b﹣＜0．
【解答】解：（1）∵B（2，﹣4）在y=上，
∴m=﹣8．
∴反比例函数的解析式为y=﹣．
∵点A（﹣4，n）在y=﹣上，
∴n=2．
∴A（﹣4，2）．
∵y=kx+b经过A（﹣4，2），B（2，﹣4），
∴．
解得：．
∴一次函数的解析式为y=﹣x﹣2．

（2）∵A（﹣4，n），B（2，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，
∴方程kx+b﹣=0的解是x1=﹣4，x2=2．

（3）∵当x=0时，y=﹣2．
∴点C（0，﹣2）．
∴OC=2．
∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×4+×2×2=6；

（4）不等式kx+b﹣＜0的解集为﹣4＜x＜0或x＞2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了观察函数图象的能力以及用待定系数法确定一次函数的解析式．

30．（2016•桐乡市一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，反比例函数y=的图象经过点C（3，m）．
（1）求菱形OABC的周长；
（2）求点B的坐标．

【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据勾股定理，可得OC的长，根据菱形的周长，可得答案；
（2）根据菱形的性质，可得BC与OA的关系，BE与CD的关系，根据线段的和差，可得OE的长，可得答案．
【解答】解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点C（3，m），
∴m=4．
作CD⊥x轴于点D，如图，
由勾股定理，得OC==5．
∴菱形OABC的周长是20；

（2）作BE⊥x轴于点E，如图2，
∵BC=OA=5，OD=3，
∴OE=8．
又∵BC∥OA，
∴BE=CD=4，
∴B（8，4）．

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用自变量与函数值的对应关系得出C点坐标是解题关键，又利用了勾股定理．
　 3、通过活动，使学生养成博览群书的好习惯。
B比率分析法和比较分析法不能测算出各因素的影响程度。√
C采用约当产量比例法，分配原材料费用与分配加工费用所用的完工率都是一致的。Ｘ
C采用直接分配法分配辅助生产费用时，应考虑各辅助生产车间之间相互提供产品或劳务的情况。错
C产品的实际生产成本包括废品损失和停工损失。√
C成本报表是对外报告的会计报表。×
C成本分析的首要程序是发现问题、分析原因。×
C成本会计的对象是指成本核算。×
C成本计算的辅助方法一般应与基本方法结合使用而不单独使用。√
C成本计算方法中的最基本的方法是分步法。X
D当车间生产多种产品时，“废品损失”、“停工损失”的借方余额，月末均直接记入该产品的产品成本
中。×
D定额法是为了简化成本计算而采用的一种成本计算方法。×
F“废品损失”账户月末没有余额。√
F废品损失是指在生产过程中发现和入库后发现的不可修复废品的生产成本和可修复废品的修复费用。Ｘ
F分步法的一个重要特点是各步骤之间要进行成本结转。(√)
G各月末在产品数量变化不大的产品，可不计算月末在