板块模型专题.doc

例1. 如图1所示，光滑水平面上放置质量分别为m、2m的物块A和木板B，A、B间的最大静摩擦力为μmg，现用水平拉力F拉B，使A、B以同一加速度运动，求拉力F的最大值。

　　分析：为防止运动过程中A落后于B（A不受拉力F的直接作用，靠A、B间的静摩擦力加速），A、B一起加速的最大加速度由A决定。

　　解答：物块A能获得的最大加速度为：．

　　∴A、B一起加速运动时，拉力F的最大值为：

　　        ．

　　变式1. 例1中若拉力F作用在A上呢？如图2所示。

　　解答：木板B能获得的最大加速度为：。

　　∴A、B一起加速运动时，拉力F的最大值为：

　　．

　　变式2. 在变式1的基础上再改为：B与水平面间的动摩擦因数为（认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力），使A、B以同一加速度运动，求拉力F的最大值。

　　解答：木板B能获得的最大加速度为：

　　设A、B一起加速运动时，拉力F的最大值为Fm，则：

　　   解得： 
例2. 如图3所示，质量M=8kg的小车放在光滑的水平面上，在小车右端加一水平恒力F，F=8N，当小车速度达到1．5m/s时，在小车的前端轻轻放上一大小不计、质量m=2kg的物体，物体与小车间的动摩擦因数μ=0．2，小车足够长，求物体从放在小车上开始经t=1．5s通过的位移大小。（g取10m/s2）

　　解答：物体放上后先加速：a1=μg=2m/s2

　　此时小车的加速度为：       

　　当小车与物体达到共同速度时：

　　v共=a1t1=v0+a2t1       

　　解得：t1=1s   ，v共=2m/s

　　以后物体与小车相对静止： （∵，物体不会落后于小车）

　　物体在t=1．5s内通过的位移为：s=a1t12+v共 （t－t1）+ a3（t－t1）2=2．1m
练习1. 如图5所示，质量M=1kg的木板静止在粗糙的水平地面上，木板与地面间的动摩擦因数，在木板的左端放置一个质量m=1kg、大小可以忽略的铁块，铁块与木板间的动摩擦因数，取g=10m/s2，试求：

　　（1）若木板长L=1m，在铁块上加一个水平向右的恒力F=8N，经过多长时间铁块运动到木板的右端？

　　（2）若在铁块上施加一个大小从零开始连续增加的水平向右的力F，通过分析和计算后，请在图6中画出铁块受到木板的摩擦力f2随拉力F大小变化的图象。（设木板足够长）

　　（解答略）答案如下：（1）t=1s

　　（2）①当F≤N时，A、B相对静止且对地静止，f2=F；

　　②当2N<F≤6N时，M、m相对静止，

　　③当F>6N时，A、B发生相对滑动，N．

　　画出f2随拉力F大小变化的图象如图7所示。

　　从以上几例我们可以看到，无论物体的运动情景如何复杂，这类问题的解答有一个基本技巧和方法：在物体运动的每一个过程中，若两个物体的初速度不同，则两物体必然相对滑动；若两个物体的初速度相同（包括初速为0），则要先判定两个物体是否发生相对滑动，其方法是求出不受外力F作用的那个物体的最大临界加速度并用假设法求出在外力F作用下整体的加速度，比较二者的大小即可得出结论。
练习2. 如图，在光滑水平面上有一质量为m1的足够长的木板，其上叠放一质量为m2的木块。假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等。现给木块施加一随时间t增大的水平力F=kt（k是常数），木板和木块加速度的大小分别为a1和a2，下列反映a1和a2变化的图线中正确的是（ A ）
解析：主要考查摩擦力和牛顿第二定律。木块和木板之间相对静止时，所受的摩擦力为静摩擦力。在达到最大静摩擦力前，木块和木板以相同加速度运动，根据牛顿第二定律。木块和木板相对运动时， 恒定不变，。所以正确答案是A。
例3．一小圆盘静止在桌布上，位于一方桌的水平桌面的中央．桌布的一边与桌的AB边重合，如图．已知盘与桌布间的动摩擦因数为1，盘与桌面间的动摩擦因数为2．现突然以恒定加速度a将桌布抽离桌面，加速度方向是水平的且垂直于AB边．若圆盘最后未从桌面掉下，则加速度a满足的条件是什么？（以g表示重力加速度）

【分析与解】 本题涉及到圆盘和桌布两种运动，先定性分析清楚两者运动的大致过程，形成清晰的物理情景，再寻找相互间的制约关系，是解决这一问题的基本思路。
x2
a
L/2
x
x1
桌布

桌布从圆盘下抽出的过程中，圆盘的初速度为零，在水平方向上受桌布对它的摩擦力F1=1mg作用，做初速为零的匀加速直线运动。桌布从圆盘下抽出后，圆盘由于受到桌面对它的摩擦力F2=2mg作用，做匀减速直线运动。
设圆盘的质量为m，桌长为L，在桌布从圆盘下抽出的过程中，盘的加速度为a1，则根据牛顿运动定律有 1mg=ma1，
桌布抽出后，盘在桌面上做匀减速运动，以a2表示加速度的大小，有 2mg=ma2。
设盘刚离开桌布时的速度为v1，移动的距离为x1，离开桌布后在桌面上再运动距离x2后便停下，
则有 ，，
盘没有从桌面上掉下的条件是 ，
设桌布从盘下抽出所经历时间为t，在这段时间内桌布移动的距离为x，有 ，，
而 ，
由以上各式解得 。
【解题策略】 这是一道牛顿运动定律与运动结合的问题，有一定的难度。命题中出现了两个相互关联的物体的运动，解决这类问题时，一要能对每个物体进行隔离分析，弄清每个物体的受力情况与运动过程；二要把握几个物体之间在空间位置和时间上的关系，注意各物理过程的衔接。
练习3. 如图所示，一足够长的木板静止在光滑水平面上，一物块静止在木板上，木板和物块间有摩擦。现用水平力向右拉木板，当物块相对木板滑动了一段距离但仍有相对运动时，撤掉拉力，此后木板和物块相对于水平面的运动情况为（ ）
A．物块先向左运动，再向右运动木板
物块
拉力

B．物块向右运动，速度逐渐增大，直到做匀速运动
C．木板向右运动，速度逐渐变小，直到做匀速运动
D．木板和物块的速度都逐渐变小，直到为零
答：B C
解：对于物块，由于运动过程中与木板存在相对滑动，且始终相对木板向左运动，因此木板对物块的摩擦力向右，所以物块相对地面向右运动，且速度不断增大，直至相对静止而做匀速直线运动，B正确；撤掉拉力后，对于木板，由作用力与反作用力可知受到物块给它的向左的摩擦力作用，则木板的速度不断减小，直到二者相对静止，而做匀速运动，C正确；由于水平面光滑，所以不会停止，D错误。
练习4. 如图18所示，小车质量M为2.0 kg，与水平地面阻力忽略不计，物体质量m为0.5 kg，物体与小车间的动摩擦因数为0.3，则：

图18

(1)小车在外力作用下以1.2 m/s2的加速度向右运动时，物体受摩擦力多大？
(2)欲使小车产生a＝3.5 m/s2的加速度，需给小车提供多大的水平推力？
(3)若要使物体m脱离小车，则至少用多大的水平力推小车？
(4)若小车长L＝1 m，静止小车在8.5 N水平推力作用下，物体由车的右端向左滑动，则滑离小车需多长时间？(物体m看作质点)
解析：(1)m与M间最大静摩擦力F1＝μmg＝1.5 N，当m与M恰好相对滑动时的加速度为：
F1＝mam，am＝＝ m/s2＝3 m/s2，
则当a＝1.2 m/s2时，m未相对滑动，
所受摩擦力F＝ma＝0.5×1.2 N＝0.6 N
(2)当a＝3.5 m/s2时，m与M相对滑动，摩擦力Ff＝mam＝0.5×3 N＝1.5 N
隔离M有F－Ff＝Ma
F＝Ff＋Ma＝1.5 N＋2.0×3.5 N＝8.5 N
(3)当a＝3 m/s2时m恰好要滑动．
F＝(M＋m)a＝2.5×3 N＝7.5 N
(4)当F＝8.5 N时，a＝3.5 m/s2
a物体＝3 m/s2
a相对＝(3.5－3) m/s2＝0.5 m/s2
由L＝a相对t2，得t＝2 s.
答案：(1)0.6 N　(2)8.5 N　(3)7.5 N　(4)2 s
练习5．如图所示，木板长L＝1.6m，质量M＝4.0kg，上表面光滑，下表面与地面间的动摩擦因数为μ＝0.4.质量m＝1.0kg的小滑块(视为质点)放在木板的右端，开始时木板与物块均处于静止状态，现给木板以向右的初速度，取g＝10m/s2，求：

(1)木板所受摩擦力的大小；
(2)使小滑块不从木板上掉下来，木板初速度的最大值．
[答案]　(1)20N　(2)4m/s
[解析]　(1)木板与地面间压力大小等于(M＋m)g①
故木板所受摩擦力Ff＝μ(M＋m)g＝20N②
(2)木板的加速度a＝＝5m/s2③
滑块静止不动，只要木板位移小于木板的长度，滑块就不掉下来，根据v－0＝2ax得
v0＝＝4m/s④
即木板初速度的最大值是4m/s
例4．如图所示，有一块木板静止在光滑且足够长的水平面上，木板质量M＝4kg，长L＝1.4m，木板右端放着一个小滑块．小滑块质量为m＝1kg，其尺寸远小于L.小滑块与木板间的动摩擦因数μ＝0.4，g＝10m/s2.

(1)现用恒力F作用于木板M上，为使m能从M上滑落，F的大小范围是多少？
(2)其他条件不变，若恒力F＝22.8N且始终作用于M上，最终使m能从M上滑落，m在M上滑动的时间是多少？
[答案]　(1)F>20N　(2)2s
[解析]　(1)小滑块与木块间的滑动摩擦力
Fμ＝μFN＝μmg.
小滑块在滑动摩擦力Fμ作用下向右做匀加速运动的加速度
a1＝＝μg＝4m/s2.
木板在拉力F和滑动摩擦力Fμ作用下向右做匀加速运动的加速度a2＝，
使m能从A上滑落的条件为a2>a1，
即>，
解得F>μ(M＋m)g＝20N.
(2) 设m在M上面滑行的时间为t，恒力F＝22.8N，木板的加速度a2＝＝4.7m/s2，小滑块在时间t内运动位移s1＝a1t2，木板在时间t内运动的位移s2＝a2t2，又s2－s1＝L，解得t＝2s.
例5. 一长木板在水平地面上运动，在ｔ=0时刻将一相对于地面静止的物块轻放到木板上，以后木板运动的速度－时间图像如图所示。己知物块与木板的质量相等，物块与木板间及木板与地面间均有摩擦.物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且物块始终在木板上。取重力加速度的大小g＝１０ｍ／ｓ２求:
(1) 物块与木板间；木板与地面间的动摩擦因数:
(2) 从ｔ＝０时刻到物块与木板均停止运动时，物块相对于木板的位移的大小.

解析：（1）由图可知，当t=0.5s时，物块与木板的共同速度为v1=1m/s
T=0.5s前，物块相对于木板向后滑动，设物块与木板间动摩擦因数为，木板与地面间动摩擦因数为
对物块：加速度a1==
又据a=得：==2m/s
则=0.2
对木板：加速度为a2=
据a=得：==-8 则（2）t=0.5s前，a1==2m/s
a2==-8m/s2，
木板对地位移为x1==1.5m

当t=0.5s时，具有共同速度v1=1m/s，
t=0.5s后物块对地速度大于木板对地速度，此时物块相对于木板响枪滑动，摩擦力方向改变。
木板加速度：
a3=
=-4m/s2
位移为x2==m
物块加速度大小不变，但方向改变，=-a1=-2m/s2
当木板速度为零时；由于=fmax,故木板静止而物块仍在木板上以a1的加速度做减速滑动，最后静止在木板上
在整个过程中，物块对地位移为x==0.5m
物块相对木板的位移为L
L=(x1+x2)-x=m

例6．如图所示，一块质量为m，长为L的均质长木板放在很长的光滑水平桌面上，板的左端有一质量为m′的小物体(可视为质点)，物体上连接一根很长的细绳，细绳跨过位于桌边的定滑轮．某人以恒定的速度v向下拉绳，物体最多只能到达板的中点，已知整个过程中板的右端都不会到达桌边定滑轮处．试求：
(1)当物体刚到达木板中点时木板的位移；
(2)若木板与桌面之间有摩擦，为使物体能达到板的右端，板与桌面之间的动摩擦因数应满足什么条件？
【解析】　(1)m与m′相对滑动过程中
m′做匀速运动，有：vt＝s1　①
m做匀加速运动，有：vt＝s2　②
s1－s2＝L/2　③
联立以上三式解得：s2＝L/2
(2)设m与m′之间动摩擦因数为μ1
当桌面光滑时有：m′gμ1＝ma1　④
v2＝2a1s2　⑤
由④⑤解得：μ1＝
如果板与桌面有摩擦，因为m与桌面的动摩擦因数越大，m′越易从右端滑下，所以当m′滑到m右端两者刚好共速时该动摩擦因数最小，设为μ2
对m有：ma2＝m′gμ1－(m′＋m)gμ2　⑥
t′＝s2′　⑦
v2＝2a2s2′　⑧
对m′有：vt′＝s1′　⑨
s1′－s2′＝L　⑩
联立解得：μ2＝
所以桌面与板间的动摩擦因数μ≥

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