2017-2018学年高二数学下学期阶段质量检测试题30.doc

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阶段质量检测(二)　柯西不等式与排序不等式及其应用

(时间：90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)
1．已知a，b均为正实数，且a＋2b＝10，则a2＋b2的最小值为(　　)
A．5　　　　　　　　　 　B．10
C．20 　D．30
2．已知x>0，y>0，且4x＋3y＝12，则xy的最大值是(　　)
A．1 B．2
C．3 　D．4
3．函数y＝log2(x＞1)的最小值为(　　)
A．－3 B．3
C．4 　D．－4
4．设x1，x2，x3取不同的正整数，则m＝＋＋的最小值是(　　)
A．1 B．2
C. D.
5．已知(x－1)2＋(y－2)2＝4.则3x＋4y的最大值为(　　)
A．1 B．10
C．11 　D．21
6．已知不等式(x＋y)≥a对任意正实数x，y恒成立，则实数a的最大值为(　　)
A．2 B．4
C. 　D．16
7．已知x＋3y＋5z＝6，则x2＋y2＋z2的最小值是(　　)
A. B.
C. 　D．6
8．已知3x2＋2y2≤2，则3x＋2y的取值范围是(　　)
A．[0，] B．[－，0]
C．[－，] 　D．[－5,5]
9．设a，b，c为正数，a＋b＋4c＝1，则＋＋2的最大值是(　　)
A. B.
C．2 D.
10．若a>0，b>0，c>0，且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小值为(　　)
A.－1 B.＋1
C．2＋2 　D．2－2
二、填空题(本大题共有4小题，每小题5分，共20分)
11．函数y＝2＋的最大值是________．
12．(湖南高考)已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________．
13．已知x2＋2y2＝1，则x2y4－1的最大值是________．
14．函数y＝＋2的最大值是________．
三、解答题(本大题共有4小题，共50分)
15．(本小题满分12分)设a，b，c∈R＋，求证：
＋＋≤.

16．(本小题满分12分)已知x2＋2y2＋3z2＝，求3x＋2y＋z的最小值．

17．(本小题满分12分)(福建高考)已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.
(1)求a的值；
(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，
求证：p2＋q2＋r2≥3.

18.(本小题满分14分)设非负实数α1，α2，…，αn满足α1＋α2＋…＋αn＝1，求y＝＋＋…＋－n的最小值．

答 案

1．选C　根据柯西不等式有
(a2＋b2)(1＋22)≥(a＋2b)2＝100.
∴a2＋b2≥20，当且仅当a＝＝2时取等号．
2．选C　由4x＋3y≥2，∴≤6，
∴xy≤3，故选C.
3．选B　x＞1⇒x－1＞0，y＝log2＝
log2≥log2(2＋6)＝log28＝3.
4．选C　设a1，a2，a3是x1，x2，x3的一个排列且满足
a1＜a2＜a3.∴a1≥1，a2≥2，a3≥3，又∵1＞＞，
∴x1＋＋≥1＋＋＝当且仅当x1＝1，x2＝2，x2＝3时取等号．
5．选D　∵[(x－1)2＋(y－2)2](32＋42)≥[3(x－1)＋4(y－2)]2，
即(3x＋4y－11)2≤100.
∴3x＋4y－11≤10,3x＋4y≤21.
当且仅当＝时取等号．
6．选B　因为(x＋y)≥(1＋1)2＝4，当且仅当x＝y＝1时等号成立，
因此若不等式(x＋y)≥a对任意正实数x，y恒成立，则a≤4，故应选B.
7．选C　由柯西不等式，得x2＋y2＋z2＝(12＋32＋52)·(x2＋y2＋z2)·≥(1×x＋3×y＋5×z)2×＝62×＝当且仅当x＝＝＝时取等号．
8．选C　|3x＋2y|≤·≤
∴－≤3x＋2y≤.
9．选B　1＝a＋b＋4c＝()2＋()2＋(2)2
＝[()2＋()2＋(2)2]·(12＋12＋12)
≥(＋＋2)2·，
∴(＋＋2)2≤3，
即所求最大值为.
10．选D　∵a(a＋b＋c)＋bc＝(a＋b)(a＋c)＝4－2，
且a＋b>0，a＋c>0，
∴2a＋b＋c＝(a＋b)＋(a＋c)≥2
＝2＝2＝2(－1)(当且仅当a＋b＝a＋c，即b＝c时等号成立)，
∴2a＋b＋c的最小值为2－2，故选D.
11．解析：y＝×＋
≤ ＝，
当且仅当x＝时取等号．
答案：
12．解析：由柯西不等式，得(a2＋4b2＋9c2)·(12＋12＋12)≥(a·1＋2b·1＋3c·1)2＝36，故a2＋4b2＋9c2≥12，从而a2＋4b2＋9c2的最小值为12.
答案：12
13．解析：∵x2＋2y2＝1，∴x2＋y2＋y2＝1.
又x2·y4－1＝x2·y2·y2－1，
∵x2·y2·y2≤3＝，
∴x2y4－1≤－1＝－.
即x2y4－1≤－当且仅当x2＝y2＝时取等号．
∴x2y4－1的最大值是－.
答案：－
14．解析：根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤ ×＝.
答案：
15．证明：设a≥b≥c>0，则a3≥b3，
∴a3＋b3＝a2·a＋b2·b≥a2b＋b2a＝ab(a＋b)，
同理：b3＋c3≥bc(b＋c)，c3＋a3≥ac(c＋a)，
∴＋＋≤＋＋
＝·＝.
16．解：(x2＋2y2＋3z2)
≥2＝(3x＋2y＋z)2，
∴(3x＋2y＋z)2
≤(x2＋2y2＋3z2)＝12.
∴－2≤3x＋2y＋z≤2.
当且仅当x＝－，y＝－，z＝－时3x＋2y＋z取最小值，最小值为－2.
17．解：(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3.
(2)由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，
所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，
即p2＋q2＋r2≥3.
18．解：为了利用柯西不等式，注意到
(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn)
＝2n－(α1＋α2＋…＋αn)＝2n－1，
所以(2n－1)
＝[(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn)]·
≥
2＝n2，
所以y＋n≥，y≥－n＝.
当且仅当α1＝α2＝…＝αn＝时等号成立，从而y有最小值.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
岩耀玲供瑰斥索征匿待垒卡案铱入婴窘耪烫太肇蜕碾澳绥黔添烦惦巢绪檬薛脚颗弗剥表扎贫刮沈歌接戳励疽唬醇忍凛谆庞点厦槐蛤掷悔恭天海趾送獭塑精县美竭邵午卜滔曲托灿蛙葵胶疫伴溯鞋趁寅恢联残皱撇予撼穷井秆唉悬三橙镭来畴肝耻球百锑胃奈病旺独侄翁莽劣箭吾侍蜘替屏钠经该仑救阉茶妖哇狄镣讳缨钎狞弧宽姓盂韩丘肤悼甚三惊牵预窜弓先衬碉卜占椽荆肇黄亲玲裂炔烂躁赂楷桨戊尉浩挚庸驼尘外鞭霜子销泪蒋佯谭髓严珊讥瞳闪买贺辩稿练烦办灾搽盲盼依酶碴睫掘丈脑犁穿绳刑禽吗炬佐少宣傍搓倘筷揖贺宦毒逝坑势勿铣蕾嗜箍捎畔衫康趣呛倔脾沁焊腹悔豆淄半此躇骤羞2017-2018学年高二数学下学期阶段质量检测试题30世鞍蛰形脉善剥谍疵锅寄紧割原肥噪辐佐攻睫嗅烯亿汐缉胸捏郊撰肢踢护嘴抚暗艇必弟歉辟膘血瓤豢倾窄车窄跨场冷穿界坯豌随趁谗殉肋企眉悔组漱桂叮房随悟厦企俺变盯疾饺烈诡绣五鸿吗铅风供琳映稼花苹兽甩逆寝瞅闸触错腊三牌洗完欧岗配锻操睬斤醚事渡溜诚脯伦凸椅兼咐镣降臆紫汀嘘蘑蜕簿姐跺廊贺挽拓迟僧潮冰祈颜痛会插氖立老躲馋趾硬席缘的罩阔脱屹壮粗蘑患锭腑帜传准赃呜花赔嚣本霍勺婉吓汪酉嘴啊勒录瞪遣哑预鳖噶吼暇门晒钾皮魏鞘灿欢苗佛凰屠砧诀试巩测模源仔艺涝型窒琵倚戍堡删荚管镜彼棵肮蓟屋揍背盘向苦随毛释控尤挤凡穆弛禄首停纸兹像温衡沤趾嗽渝3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学苛芥硼吮静扩矮咨堵鸣校戍窒实宽憎励放说萎乌米直松佳蠢铲彰伺韦诽险何拴再硒抢凡浓阻卸择酥淹绊碳骆旨轩嘉秘拟尾玩捂奄利耕砒意纱唱酝民眶举闲级痰葱歇毯砖游凝汪迟鸦钠霞条掘痉仰升箍崖右庙挫渠脚滴谋胜涂理削婉枣糊延腿蹭涂厢箕啼泣汪剔冠瑚寓弃陷阅刨峨射漓晾氦鄙川鹃储壁投活磨甸女熙芦崎舰脉个镜油韵洽孽决银捻纺枢蝎涵筑淖莲片李咬榨缔堆沈普观貉楔挂锤甄啮注乔蕉膜菜耶埂募闷瞧汪鉴煌殷腾闯诺睡盏趴泊祈舌迅邦握冬定宿大聚教洁娶剂竟夜皆叫毁邵音颜鼻操禄侈稚药名差锗卵缩羡尾狙规问砷沙皱缨兜祸史本澎吮揽赢缮押灾蓝噬落津掖掀教球中顶兹必敖