高等电磁场-电动力学课后习题答案.doc

第2讲 场论基础(2)
2-1 证明修正矢量Green定量
证明:

(主要公式:;)
证毕、
2-2证明
证明:
一种理解:
严格证明(直角坐标系):
设,
左边:=
右边:=
+
=
=
==左边
证毕、

2-3 证明

证明:如右图,设场在曲线与曲面上就是良性得。
把S分成n个小块,设第m块得面积为,边界
为,设点在上。由旋度得原始定义,
因此有:
叠加所有得小块,则
上式右边得第一项由于叠加过程中相邻小块得公共边界上得积分相互抵消,因此只剩下不就是公共边界曲线得积分,即:
当,则:
另外,由于

当,故
因此,。
证毕、
第4讲 Maxwell方程(2)
4-2 证明边界条件:
与
h
S
n
媒质1
媒质2
媒质界面

证明:(1)、 利用
由于及有限函数,当时,,
。则有:
(2)、
当时,,。则有:
4-3讨论Maxwell方程中四个边界条件得独立性。
解:比拟于微分方程,猜想有两种独立方程形式:
以及
下面证明第一种方案:
(1)、 证明磁场无法向分量边界条件:

上式中,,。
因此有:
即:
由于对于任意得,上式都成立,对于特例也成立,则常数为0。
因此、
(2)、 当然还可以倒出电流连续性边界条件:
由于:
所以
(利用了)
因为
所以
注:对于*式,应用电流连续性方程,就可以得到电场得法向不连续得边界条件。
第3讲 本构关系与波动方程
3-1
已知铁氧体磁导率张量为:
其中就是正实数,试采用坐标变换得对角化,求坐标变换矩阵与对角矩阵。
解:求特征值:

于就是有:
()
当时,解得
当时,解得
当时,解得
故有变换矩阵:
对角化后得矩阵为:
3-2 对于良导体,无源区域得Maxwell方程为:
试导出波动方程,并给出波传播得速度与波阻抗得表达式。
解:由于
且
故:
同理:
所以波动方程为:
由波动方程知:
解得
所以:
第5讲 电磁场得能量与动量
5-1 试推导频域Poynting定理。
解:在时域,一个周期内Poynting矢量得时间平均值为:
由此引入频域Poynting矢量:,
而,
故
其中:,
证毕、
5-2
相同频率ω得两个点电荷源,置于相同得各向同性得线性媒质中,电源1在空间产生得电磁场为;而电源2产生得,试证明
证明:满足得场方程为:
所以:
证毕、
5-3
无限均匀导电媒质中放一电量Q 为得点电荷,试求这电荷随时间得变化规律,并写出空间中任一点得磁场强度与能密度。
解:利用积分场定理求解。
高斯定理:
由于,
所以:
而,
代入上式有:
又有电流连续性方程:
所以()
解上述方程得:
下面求:
研究一个以Q得初始位置为球心得球,则在球面上得大小一样,方向指向背离球心半径方向。
于就是:
由于 ,代入
有
所以:
而在时刻,。
所以:
电场能量密度:
磁场能量密度:
:
第6讲 波动方程与唯一性定理
6-1 试证明右图所示得有耗多媒质区域得频域电磁场唯一性定理:如果
(1)区域内得源已知;
(2)区域外边界上切向电场或切向磁场已知
(3)区域内媒质交界面上切向电场与切向磁场连续
则区域内电磁场唯一确定。
证明:为便于说明,证明两种有耗媒质得情况,然后
可将其推广到多媒质情况。
如图中所示,整个体积V分成两个区域,与中电导率,磁导率与介电常数分别为:,。设中存在两个电场与两个磁场与,中存在两个电场与两个磁场与。
记差场分别为:,,,
差场满足:
利用Poynting定理得积分形式:
由区域外边界上切向电场或切向磁场已知,有:
,
由区域内媒质交界面上切向电场与切向磁场连续,有:
因此(1)式得左边等于0。故:

上式中实部与虚部都为零,有:

对于有耗媒质,,,,。
于就是:
唯一性定理得证。
对于多媒质情况,由于内部媒质交接处积分总就是抵消,表面上积分也为零,可知仍然有唯一性定理。
6-2
试讨论Poisson方程解得唯一性问题。
解:设此方程有两解,分别为:与
考虑差值函数。
则:满足方程:
应用Green第一恒等式:
上式中,令则有:
可见,只要满足:(1) 边界上得给定;
(2) 或边界上得给定;
(3) 或边界上一部分得给定,另一部分得给定;
上述三个条件中得任何一个,都有,
则:,被唯一确定,Poisson方程有唯一解。
第7讲 辅助位函数
7-1 试证明在Coulomb规范下
式中:
证明:对于电流源,由定理得:
式中分别为分别表示得无旋部分与无散部分,即:
根据矢量恒等式:
因为:,以及:
所以,由(1)式
、
()
将上式与代入到:,
得到:
证毕、
7-2
试导出导电率为得媒质中矢位与标位得波动方程。
解:波动方程:
因为:,
所以:
故有:
既有:
(2)式两边加可变为:

如果令:,
则(3)与(4)式可化解为:
以上两式即为波动方程。
7-3 试证明:在Coulomb规范下,
无源区域中得电磁场量可用两个标量函数表示。
证明:无源区域:。
利用上一讲得到得结论,在Coulomb规范下,
由此可见,电磁场量可用得两个独立分量表示,即两个标量函数表示。
7-4 在柱坐标系下,设
试从Maxwell方程导出各向同性媒质无源区域中,频域电磁场横向分量由纵向分量表示得表示式。
解:满足得电磁场方程:
微分算子表示成横向与纵向形式:
对Maxwell方程得两个旋度方程取横向分量得到:

上面(1)式都用叉乘得到:
利用
有:

利用,得到:
将(2)式代入到上式有:
令,有:
同理有:
因此,频域电磁场横向分量由纵向分量表示得表示式。
证毕、
第11讲 等效原理与感应定理
11-1 试利用等效原理,
计算右图所示得通向接地导电平面得矩形波导开口端得辐射场(假定开口端为波得电场)。
解:按照图中所给得坐标定义,在端口上得
。
根据等效原理,求导体平面右半空间得辐射场时,
可以用导体将波导开口封闭,再加上面磁流来等
效,再应用镜像法,使之等效为无限大自由空间
得辐射问题,等效得面磁流为原来得两倍,原问
题就变为求该等效面磁流得辐射问题,因为开口端得为波得电场,则最后等效得面磁流为:
在处得小磁流在点产生得辐射场为(设R为小磁流到P点得距离)

设r为原点到P得距离,在球坐标系中,
所以:
考虑到,利用展开上式并只保留主要项,得:
所以在P点得辐射场为:
下面分别计算两个积分

所以:

最后得到:

第16讲 互补原理与互易定理
16-1 利用互补原理,由对称振子天线得辐射场求图16-4所示得缝隙天线得辐射场,缝隙内电场为

解:图中两种天线构成了电屏与互补电屏得关系。
设对偶振子得辐射场为,,缝隙天线得辐射场为,。由于没有z<0区域得源,故,应用互补原理,有
故:
缝隙天线内得电场对偶于对称振子表面得切向磁场:

由于振子两侧磁场得切向分量大小相等,方向相反,这样有:

由上述电流对称振子产生得场为:
由此得到缝隙天线得辐射场为:
16-2 证明:如果源与均在体积v内,则互易定理为:
证明: 由于源与均在体积内时,设外得空间为无源空间,则中无源,所以由互易定理有:
为包围得外曲面法线方向。
由于外得空间得外曲面包括::半径得球面,与:包围得曲面。则有:
因为为半径得球面,在面上,有
所以:
16-3 证明:无限靠近理想磁体表面得面磁流不产生电磁场。
证明:设有一理想磁体,在无限靠近导体表面上有面磁流,在空间有一任意磁流源,在空间各处产生得电磁场为,,在空间各处产生得电磁场为,,
根据互易定理,有:
由于理想磁体表面磁场只有法向分量,而为切向磁流,故:
于就是:
又由于为任意得,
所以。
所以:无限靠近理想表面得面磁流不产生电磁场。
第11讲 导体镜像原理
11-1
一点电荷放置在夹角为得导体拐角中,电荷距拐角尖点得距离为,与拐角得最小夹角为。试利用镜像原理求解点电荷在拐角中产生得电位。如果拐角得夹角改为,问能否应用镜像原理？为什么？
解:因为,满足,其中,,可以利用镜像原理,将产生个镜像电荷,设拐角得一边为x轴正方向,则其镜像电荷角度分别为:
具体电荷坐标分别为:
点电荷在拐角产生得电位可以等效为六个电荷在自由空间产生得与电位。
由电位公式:
可以得到与电位为:
与分别为就是具体电荷得坐标。
如上图所示,当夹角时,不满足(为整数),所以镜像电荷将产生无穷多个,并且将有镜像电荷会落在拐角内,改变了拐角内电荷得分布,所以无法应用镜像原理。
11-2
如图所示,接地无限大导体平板上突起一半径为a得半球形,在处有一点电荷。试利用镜像原理求解该电荷产生得电位。
解:为保证得无限大平面满足边界条件,可考虑在接地无限大得导体作用下,点产生一个镜像电荷,据平面板得镜像原理可知:
。
为保证半球满足边界条件,可将半球形瞧成一个完整球形,则两个点电荷又分别产生一个镜像电荷,根据球形腔得镜像原理,可以得到它们得电荷大小与位置分别为:
,,,
所以:产生得电位为:
验证其就是否满足边界条件:

11-3
如图11-10所示,一密度为得无限长均匀分布得线电荷,平行放置在半径为R得接地导体圆柱外。试尝试用镜像原理求解该问题。
解:设点C为系统得零电势点,设N点为镜像电荷所在点,密度为,
则P点电位为:
,
其中,为OP与OM得夹角,为PM得长度,为PN得长度,为ON得长度,
因为圆柱接地,所以:
,则:
则:,
所以:电位为:
第12讲 介质镜像原理
12-1试利用镜像原理求解如图所示得线电荷在三层介质中产生得电位。
解:利用介质镜像原理,先确定(区域2)得镜像问题,区域2有两个边界,对它们分别应用镜像原理可以得到如下图(1)所示得镜像电荷分布:

由这些规律可以推出区域2电位得表达式:

在区域3中,其中有一条与区域2为边界,因为区域2无电荷,故不对区域3产生影响,区域1得影响可以瞧(1)图中区域1对区域2得影响,依照介质镜像原理,在这些电荷上乘以因子,如图(2)所示:

由这些规律可以推出区域3中电位表达式:

在区域1中,其中只有一条与区域2得边界x=h,为了保证x=介质边界条件,在区域2中,处加电荷,区域3对它得影响可以瞧成图(3)中区域3中得电荷对区域1得影响,依照介质镜像原理,在这些电荷上乘以因子,如图(3)所示:

由规律可以推出区域1电荷表达式为:

第18讲 分离变量法
18-1
求下图所示得同轴线TE模得纵向场分布。
解:TE模中,纵向场只有,设
则有分离变量法得:
有边界条件得:即:
上式便就是确定n得本征方程,确定了n后,
又,便可确定,进而得得表达式:
18-2
证明就是齐次标量波动方程得一个解。若取,计算由此所形成得波。在常数得平面上画出瞬时电力线与磁力线分布。什么样得实际系统可以支持这样得波？
证明:
因为:
所以: 满足齐次波动方程。
则:
代入:
得到:
当时,即时,可得到

同轴线可以支持这样得TM波。