角平分线模型精华篇.doc

角平分线有关的辅助线
角平分线是天然的涉及对称的模型，通常有下列四种作辅助线的方法：
（1）角平分线+两边垂线→全等三角形：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边距离相等；
已知：AD平分∠BAC，CD⊥AC，垂足为C，过点D作DB⊥AB，垂足为B；
辅助线：过点D作DB⊥AB，垂足为B；
结论：① △ACD≌△ABD；② CD= DB

（角分线垂两边，对称全等必呈现）
（2）角平分线+垂线模型 等腰三角形必呈现：
遇到垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形；

已知：OP平分∠AOB，MP⊥OP，垂足为P，延长MP交OB于点N；
结论：① △OPM≌△OPN ；
② △OMN为等腰三角形；
③ P是MN的中点（三线合一）；

（3）在角的两边上截取相等的线段，构造全等三角形：
已知：OC是∠AOB的角平分线，D为OC上一点；
辅助线：在OA上取一点E，在OB取一点F，使得OE=OF，并连接DE，
结论：△OED≌△OFD ；

（4）作平行线
① 以角分线上一点作角的另一边的平行线，则△OAB等腰三角形；
② 过一边上的点作角平分线的平行线与另一边的反向延长线相交，则△ODH等腰三角形；
已知：OP平分∠MON，AB∥ON， 已知：OC平分∠AOD，DH∥OC，
结论： △OAB等腰三角形 结论： △ODH等腰三角形

一、 角平分线模型应用
1. 角平分线+两边垂线→全等三角形
辅助线：过点G作GE射线AC
已知：AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AC，DB⊥AB，
求证：CD=DB
证明：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠1=∠2，
∵CD⊥AC，DB⊥AB，
∴∠ACD=∠ABD=90°，
在△ACD和△ABD中，

∴△ACD≌△ABD（AAS）
∴CD=BD

例1：已知：∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC．

例2：如图，AB＞AC，∠A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DE⊥AB、DF⊥AC，
垂足分别为E、F．求证：BE=CF．

例3：如图，在△ABC中，AC＞AB，M是BC中点，AN平分∠BAC，若AN⊥BD且交BD的延长线于点D， 求证：MN=（AC-AB）.

例4：如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．

角平分线+垂线模型 等腰三角形必呈现
例：如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BE交BA的延长于F．
求证：BD=2CE

例、如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，且AB=AD，作CM⊥AD交AD的延长线于M. 求证：2AM=（AB+AC）

例：如图，已知△ABC中，CF平分∠ACB，且AF⊥CF，∠AFE+∠CAF=180°，
求证：EF∥BC.

截取构造全等：
例.    如图，AB>AC，∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。

例:  如图，AB//CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.

例: 在中，，是的平分线．是上任意一点．
求证：．

例: 已知△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B的平分线交AC于D，
A
C
B
D
求证：AD＋BD＝BC

角平分线+平行线模型
例1、△ABC的两条角平分线OB、OC相交于点O，MN经过点O，且 MN∥BC交AB、 A C分别于点M、N；求证：△AMN的周长是AB+ A C；

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