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高中数学知识点汇总（高一）
高中数学知识点汇总（高一） 1
一、集合和命题 2
二、不等式 4
三、函数的基本性质 6
四、幂函数、指数函数和对数函数 12
（一）幂函数 12
（二）指数&指数函数 13
（三）反函数的概念及其性质 14
（四）对数&对数函数 15
五、三角比 17
六、三角函数 24
一、集合和命题
一、集合：
（1）集合的元素的性质：
确定性、互异性和无序性；
（2）元素与集合的关系：
①属于集合；
②不属于集合．
（3）常用的数集：
自然数集；正整数集；整数集；
有理数集；实数集；空集；复数集；
；；．
（4）集合的表示方法：
集合；
例如：①列举法：；②描述法：．
（5）集合之间的关系：
①集合是集合的子集；特别地，；．
②或集合与集合相等；
③集合是集合的真子集．
例：；．
④空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
（6）集合的运算：
①交集：集合与集合的交集；
②并集：集合与集合的并集；
③补集：设为全集，集合是的子集，则由中所有不属于的元素组成的集合，叫做集合在全集中的补集，记作．
④得摩根定律：；

（7）集合的子集个数：
若集合有个元素，那么该集合有个子集；个真子集；个非空子集；个非空真子集．
二、四种命题的形式：
（1）命题：能判断真假的语句．
（2）四种命题：如果用和分别表示原命题的条件和结论，用和分别表示和的否定，那么四种命题形式就是：
命题
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
表示形式
若，则
若，则；
若，则；
若，则．
逆命题关系
原命题逆命题
逆否命题否命题
否命题关系
原命题否命题
逆否命题逆命题
逆否命题关系
原命题逆否命题
逆命题否命题
同真同假关系
（3）充分条件，必要条件，充要条件：
①若，那么叫做的充分条件，叫做的必要条件；
②若且，即，那么既是的充分条件，又是的必要条件，也就是说，是的充分必要条件，简称充要条件．
③欲证明条件是结论的充分必要条件，可分两步来证：
第一步：证明充分性：条件结论；
第二步：证明必要性：结论条件．
（4）子集与推出关系：
设、是非空集合，，，
则与等价．
结论：小范围大范围；例如：小明是上海人小明是中国人．
小范围是大范围的充分非必要条件；
大范围是小范围的必要非充分条件．

二、不等式
一、不等式的性质：
不等式的性质
1、； 2、；
3、； 4、；
5、； 6、；
7、； 8、．
二、一元一次不等式：
一元一次不等式

解集

三、一元二次不等式：

的根的判别式

，

四、含有绝对值不等式的性质：
（1）； （2）．
五、分式不等式：
（1）； （2）．
六、含绝对值的不等式：

七、指数不等式：
（1）； （2）．
八、对数不等式：
（1）；
（2）．
九、不等式的证明：
（1）常用的基本不等式：
①，当且仅当时取“”号；
②，当且仅当时取“”号；
补充公式：．
③，当且仅当时取“”号；
④，当且仅当时取“”号；
⑤为大于1的自然数，，当且仅当
时取“”号；
（2）证明不等式的常用方法：
①比较法； ②分析法； ③综合法．

三、函数的基本性质
一、函数的概念：
（1）若自变量因变量，则就是的函数，记作；
的取值范围函数的定义域；的取值范围函数的值域．
求定义域一般需要注意：
①，； ②，；
③，； ④，；
⑤，且．
（2）判断是否函数图像的方法：任取平行于轴的直线，与图像最多只有一个公共点；
（3）判断两个函数是否同一个函数的方法：①定义域是否相同；②对应法则是否相同．
二、函数的基本性质：
（1）奇偶性：
函数

前提条件
“定义域关于0对称”成立
①“定义域关于0对称”；
②“”；③ “”
①不成立或者

成立

成立
奇偶性
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇偶函数
图像性质
关于轴对称
关于对称
注意：定义域包括0的奇函数必过原点．
（2）单调性和最值：
前提条件
，，任取
单调增函数
或
单调减函数
或
最小值
任取
最大值

注意：
①复合函数的单调性：
函数
单调性
外函数

内函数

复合函数

②如果函数在某个区间上是增（减）函数，那么函数在区间上是单调函数，区间叫做函数的单调区间．

（3）零点：若，且，则叫做函数的零点．
零点定理：；特别地，当是单调函数，
且，则该函数在区间上有且仅有一个零点，即存在唯一，使得．
（4）平移的规律：“左加右减，下加上减”．
函数
向左平移
向右平移
向上平移
向下平移
备注

（5）对称性：
①轴对称的两个函数：
函数

对称轴
轴
轴

函数

②中心对称的两个函数：
函数
对称中心
函数

③轴对称的函数：
函数

对称轴
轴

条件

注意：关于对称；
关于对称；
关于对称，即是偶函数．
④中心对称的函数：
函数

对称中心

条件

注意：关于点对称；
关于点对称；
关于点对称；
关于点对称，即是奇函数．
（6）凹凸性：
设函数，如果对任意，且，都有，则称函数在上是凹函数；例如：．
进一步，如果对任意，都有，则称函数在上是凹函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式；
设函数，如果对任意，且，都有，则称函数在上是凸函数．例如：．
进一步，如果对任意，都有，则称函数在上是凸函数；该不等式也称琴生不等式或詹森不等式．

（7）翻折：
函数
翻折后
翻折过程

将在轴右边的图像不变，并将其翻折到轴左边，并覆盖．

将在轴上边的图像不变，并将其翻折到轴下边，并覆盖．

第一步：将在轴右边的图像不变，并将其翻折到左边，并覆盖；
第二步：将轴上边的图像不变，并将其翻折到轴下边，并覆盖．

将在轴上边的图像保持不变，并将轴下边的图像翻折到轴上边，不覆盖．
（8）周期性：
若，，，恒有，则称为这个函数的周期．
注意：若是的周期，那么也是这个函数的周期；
周期函数的周期有无穷多个，但不一定有最小正周期．
①，是周期函数，且其中一个周期；
（阴影部分下略）
②，；
③，；
④或，；
⑤或，；
⑥或，；
⑦关于直线，，都对称；
⑧关于两点，，都成中心对称；
⑨关于点，成中心对称，且关于直线，对称；
⑩若（为常数，），则是以为周期的周期函数；
若（为常数，为正偶数），则是以为周期的周期函数．
三、V函数：
定义
形如的函数，称作V函数．
分类

图像

定义域

值域

对称轴

开口
向上
向下
顶点

单调性
在上单调递减；
在上单调递增．
在上单调递增；
在上单调递减．
注意
当时，该函数为偶函数

四、分式函数：
定义
形如的函数，称作分式函数．
分类
（耐克函数）

图像

定义域

值域

渐近线
，
单调性
在，上单调递增；
在，上单调递减．
在，上单调递增；
五、曼哈顿距离：
在平面上，，，则称为的曼哈顿距离．
六、某类带有绝对值的函数：
1、对于函数，在时取最小值；
2、对于函数，，在时取最小值；
3、对于函数，，在时取最小值；
4、对于函数，，在时取最小值；
5、推广到，，在时取最小值；
，，在时取最小值．
思考：对于函数，在_________时取最小值．

四、幂函数、指数函数和对数函数
（一）幂函数
（1）幂函数的定义：
形如的函数称作幂函数，定义域因而异．
（2）当时，幂函数在区间上的图像分三类，如图所示．

（3）作幂函数的草图，可分两步：
①根据的大小，作出该函数在区间上的图像；
②根据该函数的定义域及其奇偶性，补全该函数在上的图像．
（4）判断幂函数的的大小比较：
方法一：与直线的交点越靠上，越大；
方法二：与直线的交点越靠下，越大
（5）关于形如的变形幂函数的作图：
①作渐近线（用虚线）：、；
②选取特殊点：任取该函数图像上一点，建议取；
③画出大致图像：结合渐近线和特殊点，判断图像的方位（右上左下、左上右下）．

（二）指数&指数函数
1、指数运算法则：
①；②；③；④，其中．
2、指数函数图像及其性质：
/

图像

定义域

值域

奇偶性
非奇非偶函数
渐近线
轴
单调性
在上单调递增；
在上单调递减；
性质
①指数函数的函数值恒大于零；
②指数函数的图像经过点；
③当时，；
当时，．
③当时，；
当时，．
3、判断指数函数中参数的大小：
方法一：与直线的交点越靠上，越大；
方法二：与直线的交点越靠下，越大．

（三）反函数的概念及其性质
1、反函数的概念：
对于函数，设它的定义域为，值域为，如果对于中任意一个值，在中总有唯一确定的值与它对应，且满足，这样得到的关于的函数叫做的反函数，记作．在习惯上，自变量常用表示，而函数用表示，所以把它改写为．
2、求反函数的步骤：（“解”“换”“求”）
①将看作方程，解出；
②将、互换，得到；
③标出反函数的定义域（原函数的值域）．
3、反函数的条件：
定义域与值域中的元素一一对应．
4、反函数的性质：
①原函数过点，则反函数过点；
②原函数与反函数关于对称，且单调性相同；
③奇函数的反函数必为奇函数．
5、原函数与反函数的关系：
/
函数

定义域

值域

（四）对数&对数函数
1、指数与对数的关系：

底数
指数
幂

对数
真数
2、对数的运算法则：
①，，；②常用对数，自然对数；
③，，；
④，，，，．
3、对数函数图像及其性质：
/

图像

定义域

值域

奇偶性
非奇非偶函数
渐近线
轴
单调性
在上单调递增；
在上单调递减；
性质
①对数函数的图像在轴的右方；
②对数函数的图像经过点；
③当时，；
当时，．
③当时，；
当时，．

4、判断对数函数中参数的大小：
方法一：与直线的交点越靠右，越大；
方法二：与直线的交点越靠左，越大．

五、三角比
1、角的定义：
（1）终边相同的角：
①与表示终边相同的角度；
②终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
③与表示终边共线的角（同向或反向）．
（2）特殊位置的角的集合的表示：
位置
角的集合
在轴正半轴上

在轴负半轴上

在轴上

在轴正半轴上

在轴负半轴上

在轴上

在坐标轴上

在第一象限内

在第二象限内

在第三象限内

在第四象限内

（3）弧度制与角度制互化：
①； ②； ③．
（4）扇形有关公式：
①；
②弧长公式：；
③扇形面积公式：（想象三角形面积公式）．

（5）集合中常见角的合并：

（6）三角比公式及其在各象限的正负情况：
以角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴建立直角坐标系，在的终边上任取一个异
于原点的点，点到原点的距离记为，则

（7）特殊角的三角比：

角度制

弧度制
0

0

1
0

0

1

0

0
1

0

1

无
0
无
0

（8）一些重要的结论：（注意，如果没有特别指明，的取值范围是）
①角和角的终边：
角和角的终边
关于轴对称
关于轴对称
关于原点对称

②的终边与的终边的关系．
的终边在第一象限；
的终边在第二象限；
的终边在第三象限；
的终边在第四象限．
③与的大小关系：
的终边在直线右边（）；
的终边在直线左边（）；
的终边在直线上（）．
④与的大小关系：
的终边在或；
的终边在或；
，的终边在．

2、三角比公式：
（1）诱导公式：（诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限）
第一组诱导公式： 第二组诱导公式： 第三组诱导公式：
（周期性） （奇偶性） （中心对称性）

第四组诱导公式： 第五组诱导公式： 第六组诱导公式：
（轴对称） （互余性）

（2）同角三角比的关系：
倒数关系： 商数关系： 平方关系：

（3）两角和差的正弦公式：；
两角和差的余弦公式：；
两角和差的正切公式：．

（4）二倍角的正弦公式：；
二倍角的余弦公式：；
二倍角的正切公式：；
降次公式： 万能置换公式：
；
半角公式：；
（5）辅助角公式：
①版本一：
，其中．
②版本二：
，其中．
3、正余弦函数的五点法作图：
以为例，令依次为，求出对应的与值，描点作图．

4、正弦定理和余弦定理：
（1）正弦定理：为外接圆半径；
其中常见的结论有：
①，，；
②，，；
③；
④；；．
（2）余弦定理：版本一：；版本二：；
（3）任意三角形射影定理（第一余弦定理）：．
5、与三角形有关的三角比：
（1）三角形的面积：
①；
②；
③，为的周长．
（2）在中，
①；
②若是锐角三角形，则；
③；；；
④；；
⑤；；；
；
⑥；
；
⑦；．
其中，第一组可以利用琴生不等式来证明；第二组可以结合第一组及基本不等式证明．
（3）在中，角、、成等差数列．
（4）的内切圆半径为．
6、仰角、俯角、方位角：
略
7、和差化积与积化和差公式（理科）：
（1）积化和差公式： ；
（2）和差化积公式：．

六、三角函数
1、正弦函数、余弦函数和正切函数的性质、图像：

定义域

值域

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
周期性
最小正周期
最小正周期
最小正周期
单调性
；
．
（）
；
．
（）
（）
最值
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
无
图像

例1：求函数的周期、单调区间和最值．（当的系数为负数时，单调性相反）
解析：周期，由函数的递增区间，可得
，即，
于是，函数的递增区间为．
同理可得函数递减区间为．
当，即时，函数取最大值5；
当，即时，函数取最大值．
例2：求函数的单调区间和最值．
解析：由，可得．
然后画出的终边图，然后就可以得出
当，即时，函数单调递增；
当，即时，函数单调递减．
同时，当，即时，函数取最大值12；
当，即时，函数取最小值；
注意：当的系数为负数时，单调性的分析正好相反．

2、函数&&，其中：
（1）复合三角函数的基本性质：
三角函数

其中

其中

其中
振幅

无
基准线

定义域

值域

最小正周期

频率

相位

初相

（2）函数与函数的图像的关系如下：
①相位变换：
当时，；
当时，；
②周期变换：
当时，；
当时，；
③振幅变换：
当时，；
当时，；
④最值变换：
当时，；
当时，；
注意：函数和函数的变换情况同上．

3、三角函数的值域：
（1）型：
设，化为一次函数在闭区间上求最值．
（2），型：
引入辅助角，化为．
（3）型：
设，化为二次函数求解．
（4）型：
设，则，化为二次函数在闭
区间上求最值．

（5）型：
设，化为，用“Nike函数”或“差函数”求解．
（6）型：
方法一：常数分离、分层求解；方法二：利用有界性，化为求解．
（7）型：
化为，合并，利用有界性，
求解．
（8），（不全为0）型：
利用降次公式，可得，然后利用辅
助角公式即可．
4、三角函数的对称性：

对称中心
对称轴方程

，
，

，
，

/

/
备注：①和的对称中心在其函数图像上；
②和的对称中心不一定在其函数图像上．（有可能在渐近线上）
例3：求函数的对称轴方程和对称中心．
解析：由函数的对称轴方程，，可得，
解得，．
所以，函数的对称轴方程为，．
由函数的中心对称点，，可得，
解得，．
所以，函数的对称中心为，．
5、反正弦、反余弦、反正切函数的性质和图像：

定义域

值域

奇偶性
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在上是增函数
在上是减函数
在上是增函数
对称中心
点
点
点
图像

重要结论：
（1）先反三角函数后三角函数：
①；
②．
（2）先三角函数后反三角函数：
①；
②；
③．
（3）反三角函数对称中心特征方程式：
①；
②；
③．
6、解三角方程公式：
．
精选文本