几种特殊函数的积分.ppt

4-5 几种特殊类型函数的积分 一、有理函数的积分；二、三角函数有理式的积分；三、简单无理函数的积分.1积分法原 函 数选择u有效方法基本积分表第一换元法 第二换元法直接积分法分部积分法不 定 积 分线性性复习2有理函数的定义：两个多项式的商表示的函数称之.一、有理函数的积分3假定分子与分母之间没有公因式这有理函数是真分式；这有理函数是假分式；利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例难点 将有理函数化为部分分式之和.4（1）分母中若有因式）分母中若有因式 ，则分解后为，则分解后为有理函数化为部分分式之和的一般规律：特殊地：分解后为5（2）分母中若有因式）分母中若有因式 ，其中，其中则分解后为则分解后为特殊地：分解后为6真分式化为部分分式之和的待定系数法例17代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数取取取取取取并将并将 值代入值代入例28例3整理得9例4 求积分 解10例5 求积分 解11例6 求积分解令令1213说明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况：多项式；多项式；讨论积分令令14则记15这三类积分均可积出,且原函数都是初等函数.结论 有理函数的原函数都是初等函数.16三角有理式的定义：由三角函数和常数经过有限次四则运算由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之一般记为构成的函数称之一般记为二、三角函数有理式的积分17令令（万能置换公式）18例7 求积分解由万能置换公式19202024/5/8 周三21例8 求积分解（一）22解（二）修改万能置换公式,令23解（三）可以不用万能置换公式.结论 比较以上三种解法,便知万能置换不一定是最佳方法,故三角有理式的计算中先考虑其它手段,不得已才用万能置换.24例9 求积分解2526讨论类型解决方法作代换去掉根号.例例1010 求积分求积分解解 令令三、简单无理函数的积分2728例11 求积分解解 令令说明 无理函数去根号时,取根指数的最小公倍数.29例12 求积分解先对分母进行有理化原式30简单无理式的积分.有理式分解成部分分式之和的积分.（注意：必须化成真分式）三角有理式的积分.（万能置换公式）（注意：万能公式并不万能）四、小结31思考题将分式分解成部分分式之和时应注意什么？32思考题解答分解后的部分分式必须是最简分式.33练习题343536练习题答案练习题答案373839402024/5/8 周三41