平面几何的26个定理.doc

高一数学竞赛班二试讲义
第1讲 平面几何中的26个定理

班级 姓名
一、知识点金
1. 梅涅劳斯定理：若直线不经过的顶点，
并且与的三边或它们的延长线
分别交于，则
注：梅涅劳斯定理的逆定理也成立

（用同一法证明）

2. 塞瓦定理： 设分别是的三边或它们的延长线上的点，
若三线共点，则
注：塞瓦定理的逆定理也成立

3. 托勒密定理：在四边形中，有，并且当且仅当四边形内接于圆时，等式成立。

E
D
C
B
A
注：托勒密定理的逆定理也成立

4. 西姆松定理：若从外接圆上一点作的垂线，
垂足分别为，则三点共线。
西姆松定理的逆定理：从一点作的垂线，垂足分别为。若三点共线，则点在的外接圆上。
5． 蝴蝶定理：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

证明：过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T，
连接OX，OY，OM，SM，MT。
∵△AMD∽△CMB 　　∴AM/CM=AD/BC 　　
∵AS=1/2AD，BT=1/2BC 　　∴AM/CM=AS/CT 　　
又∵∠A=∠C 　　∴△AMS∽△CMT 　　
∴∠MSX=∠MTY 　　
∵∠OMX=∠OSX=90° 　　∴∠OMX+∠OSX=180° 　　
∴O，S，X，M四点共圆 　　
同理，O，T，Y，M四点共圆 　　
∴∠MTY=∠MOY，∠MSX=∠MOX 　　
∴∠MOX=∠MOY ， 　　∵OM⊥PQ 　　∴XM=YM 　　　
注：把圆换成椭圆、抛物线、双曲线蝴蝶定理也成立
6． 坎迪定理：设是已知圆的弦，是上一点，弦
过点，连结，分别交于，则。
7． 斯特瓦尔特定理：设为的边上任一点，则有
。
注：斯特瓦尔特定理的逆定理也成立
8．张角定理： 设顺次分别是平面内一点所引三条射线上的点，线段
对点的张角分别为，且，则三点共线的充要条件是：

9．九点圆定理：三角形的三条高的垂足、三边的中点，以及垂心与顶点的三条连接线段的中点， 共九点共圆。此圆称为三角形的九点圆，或称欧拉圆。的九点圆的圆心是其外心与垂心所连线段的中点，九点圆的半径是的外接圆半径的。
证明：的九点圆与的外接圆，以三角形的垂心为外位似中心，又以三角形的重心为内位似中心。位似比均为。
10．欧拉线：的垂心，重心，外心三点共线。此线称为欧拉线，且有关系：
11．欧拉公式：设三角形的外接圆与内切圆的半径分别为和，则这两圆的圆心距
。由此可知，。
证明：设外心为，内心为，连结，延长交外接圆于两点，令，交外接圆于，则
12．笛沙格定理;在和中，若相交于一点，则与，与，与的交点共线。
证明：和梅尼线，；和梅尼线，；
和梅尼线，，三式相乘，得。得证
13．牛顿（Newton）定理1：
圆的外切四边形的对角线的交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重合。
证法1：设四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA与内切圆分别切于点E,F,G,H.
首先证明,直线AC,EG,FH交于一点.设EG,FH分别交AC于点I,I'.
显然 ∠AHI‘=∠BFI ’ ，因此易知 AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI'
故 AI'/CI'=AH/CF. 　　同样可证:AI/CI=AE/CG 　　
又AE=AH,CF=CG. 　　故AI/CI=AH/CF=AI'/CI'. 　　
从而I,I'重合.即直线AC,EG,FH交于一点. 　　
同理可证:直线BD,EG,FH交于一点. 因此 直线AC,BD,EG,FH交于一点。
证法2：外四边形为ABCD，对应内切四边形为EFGH。连接EG，FH交于P。
下面证明BD过P即可。
过D座EG的平行线交BA与S，过D做FH的平行线交BC于T。由于弦切角及同位角，角BEG=角CGE=角CDS=角BSD。所以SEGD四点共圆，且为等腰梯形。设此圆为圆M，圆M与圆O，内切圆交于EG，所以其根轴为EG，同理对圆N，DHFT，与圆O交于HF。HF为此两圆的根轴。由根轴定理，只需证明BD为圆M与圆N的根轴即可证明BD，EG，HF共于点P。
D在圆M和圆N上，所以其为根轴一点。由于SEGD，和DHFT为等腰梯形，所以ES=DG，DH=FT。由切线长定理，DH=DG，BE=BF；所以BE=BF，ES=FT，BS=BT。若B为圆M与圆N的根轴上一点，则BE*BS=BF*BT，其为割线长。明显等式成立。所以BD为圆M与圆N的根轴，则BD，EG，HF共于点P。同理AC，EG，HF共于点P。命题得证。

14．牛顿（Newton）定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。
　　证明：设四边形ABCD是⊙I的外切四边形，E和F分别是它的对角线AC和BD的中点，连接EI只需证它过点F，即只需证△BEI与△DEI面积相等。

显然，S△BEI=S△BIC+S△CEI-S△BCE，而S△DEI=S△ADE+S△AIE-S△AID。 　　
注意两个式子，由ABCD外切于⊙I，AB+CD=AD+BC，S△BIC+S△AID=1/2*S四边形ABCD，S△ADE+S△BCE=1/2*S△ACD+1/2*S△ABC=1/2*S四边形ABCD 　　
即S△BIC+S△AID=S△ADE+S△BCE，移项得S△BIC-S△BCE=S△ADE-S△AID，由E是AC中点，S△CEI=S△AEI，故S△BIC+S△CEI-S△BCE=S△ADE+S△AIE-S△AID，即S△BEI=△DEI，而F是BD中点，由共边比例定理EI过点F即EF过点I，故结论成立。 　　
15．牛顿（Newton）定理3：完全四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三点共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。
证明：四边形ABCD,AB∩CD=E,AD∩BC=F,BD中点M,AC中点L,EF中点N 取BE中点P,BC中点R,PN∩CE=Q

R,L,Q共线，QL/LR=EA/AB；M,R,P共线，RM/MP=CD/DE； 　　
N,P,Q共线，PN/NQ=BF/FC。 　　
三式相乘得: QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC 　　
QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1 　
及梅尼线LMN，
由梅涅劳斯定理的逆定理知L，M，N三点共线。
16．布利安双定理：设一六角形外切于一条圆锥曲线，那么它的三双对顶点的连线共点。在此，提供用初等几何证明外切于圆的情形。
记六边形为ABCDEF外切于圆O，AB，BC，CD,DE,EF,FA上的切点分别是G,H,I,J,K,L.设AB,DC交于X,AF,DE交于Y.则四边形AXDY外切于圆O,切点分别是G,I,J,L。圆外切四边形对边切点连线与主对角线交于一点，有AD,GJ,LI共点(记为点P)。同理，BE,GJ,KH共点(记为点r),CF,LI,KH共点（记为点q则命题可转为证明DP,BR,FQ共点。
17．拿破仑定理：若在任意三角形的各边向外作正三角形。则它们的中心构成一个正三角形。
证明：　设等边△ABD的外接圆和等边△ACF的外接圆相交于O；连AO、CO、BO。 　　
∴ ∠ADB=∠AFC=60°； 　　∵ A、D、B、O四点共圆；A、F、C、O四点共圆； 　
∴ ∠AOB=∠AOC=120°； 　　∴ ∠BOC=120°； 　　∵ △BCE是等边三角形 　　
∴ ∠BEC=60°； 　　∴ B、E、C、O四点共圆； 　　∴ 这3个等边三角形的外接圆共点。
设等边△ABD的外接圆⊙N，等边△ACF的外接圆⊙M，等边△BCE的外接圆⊙P 相交于O；连AO、CO、BO。 　∵ A、D、B、O四点共圆； A、F、C、O四点共圆，B、E、C、O四点共圆，∠AFC=∠ADB=∠BEC=60°； 　　∴ ∠AOB=∠AOC=∠BOC=120°； 　　
∵ NP、MP、MN是连心线； 　　BO、CO、AO是公共弦； 　　∴ BO⊥NP于X； 　　CO⊥MP于Y； 　　AO⊥NM于Z。 　　
∴ X、P、Y、O四点共圆； 　　Y、M、Z、O四点共圆； 　　Z、N、X、O四点共圆； 　　
∴ ∠N=∠M=∠P=60°； 　　即△MNP是等边三角形。 　　 　　 　　
18．帕斯卡（Pascal）定理：如图，圆内接六边形ABCDEF的边AB、DE的延长线交于点G，边BC、EF的延长线交于点H，边CD、FA的延长线交于点K。则H、G、K三点共线。

证明：延长AB、CD、EF，分别交直线CD、EF、AB于M、N、L三点，构成△LMN。
直线BC截LM、MN、NL于B、C、H三点，则…①
直线DE截LM、MN、NL于G、D、E三点，则|LG|/|MG|.|MD|/|ND|.|NE|/|LE|=1…②
直线AF截LM、MN、NL于A、K、F三点，则…③
连BE，则LA·LB=LF·LE，∴…④。同理…⑤，…⑥。
将①②③④⑤⑥相乘，得。
∵点H、G、K在△LMN的边LN、LM、MN的延长线上，∴H、G、K三点共线。
19．蒙日定理（根心定理）：平面上任意三个圆，若这三个圆圆心不共线，则三条根轴相交于一点，这个点叫它们的根心；若三圆圆心共线，则三条根轴互相平行。
　注：在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线称为这两个圆的根轴。 另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴，或者称作等幂轴。
（1）平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线； 　　
（2）若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线； 　　
（3）若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线； 　　
20．莫利定理（Morley's theorem），也称为莫雷角三分线定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。 　　

证法一： 在△ABR中，由正弦定理，得AR=csinβ/sin(α+β)。 　　不失一般性，△ABC外接圆直径为1，则由正弦定理，知c=sin3γ，所以AR= 　　（sin3γ*sinβ）/sin(60°-γ)=[sinβ*sinγ(3-4sin^2 γ)]/[1/2(√3cosγ-sinγ)]= 　　2sinβsinγ（√3cosγ+sinγ）=4sinβsinγsin（60°+γ）. 　　同理,AQ=4sinβsinγsin(60°+β) 　　在△ARQ中,由余弦定理,得RQ^2 =16sin^2 βsin^2 γ[sin^2 (60+γ)+sin^2 (60°+β)-2sin(60°+γ)*sin（60°+β）cosα]=16sin^2 αsin^2 βsin^2 γ. 　　这是一个关于α，β，γ的对称式，同理可得PQ^2 ，PR^2 有相同的对称性，故PQ=RQ=PR,所以△PQR是正三角形。 　　
证法二： ∵AE：AC=sinγ：sin（α+γ）， 　　AF：AB=sinβ：sin（α+β） ， 　　
AB：AC=sin3γ：sin3β， 　　∴AE:AF=（ACsin（α+γ）/sinγ）：（ABsin（α+β）/sinβ）， 　　
而sin3γ：sin3β=（sinγsin(60°+γ)sin(60°-γ) ）：（sinβ sin(60°+β) sin(60°-β) ）， 　　
∴AE：AF=sin(60°+γ)：sin(60°+β)， 　　∴在△AEF中，∠AEF=60°+γ， 　　
同理∠CED=60°+α， 　　∴∠DEF=60°， 　　∴△DEF为正三角形。
21．斯坦纳—莱默斯定理：
如图，已知△ABC中，两内角的平分线BD=CE。求证：AB=AC。 　　
证法① 　作∠BDF=∠BCE；并使DF=BC 　　
∵BD=EC， ∴△BDF≌△ECB,BF=BE,∠BEC=∠DBF.
设∠ABD=∠DBC=α,∠ACE=∠ECB=β，
∠FBC=∠BEC+α=180°-2α-β+α=180°-(α+β); 　　∠CDF=∠FDB+∠CDB=β+180-2β-α=180°-(α+β); 　　∴∠FBC=∠CDF， 　　∵2α+2β<180°, 　　
∴α+β<90°， 　　∴∠FBC=∠CDF>90° 　　
∴过C点作FB的垂线和过F点作CD的垂线必都在FB和CD的延长线上. 　　
设垂足分别为G、H;∠HDF=∠CBG;∵BC=DF,∴Rt△CGB≌Rt△FHD，∴CG=FH,BC=FD 　　连接CF，∵CF=FC,FH=CG，∴Rt△CGF≌△FHC（HL），∴FG=CH, 又∵BG=DH,∴BF=CD, 又∵BF=BE,∴CD=BE，∵BE=CD,BC=CB,EC=DB,∴△BEC≌△CDB，∴∠ABC=∠ACB 　　∴AB=AC. 　　
证法② 设二角的一半分别为α、β ,sin(2α+β)/ sin2α= BC/CE = BC/BD = sin(α+2β)/ sin2β, 　　∴2sinαcosαsin(α+2β) - 2sinβcosβsin(2α+β) =0 　　
→sinα[sin2(α+β)+sin 2β]- sinβ[sin2（α+β）+ sin2α]=0 　　
→sin2(α+β)[sinα-sinβ]+2 sinαsinβ[cosβ- cosα]=0 　　
→sin [(α-β)/2][sin2(α+β) cos[(α+β)/2] + 2 sinαsinβsin [(α+β)/2]=0 　　，
∴sin[(α-β)/2]=0 　　∴α=β,∴AB=AC. 　　
证法③ 用张角定理： 2cosα/BE=1/BC+1/AB ,2cosβ/CD=1/BC+1/AC ,　　
若α>β 可推出AB>AC矛盾！ 若α<β 可推出AB <AC矛盾！　所以AB=AC
22．费尔马点：费尔马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最短的点。 对于一个顶角不超过120度的三角形，费尔马点是对各边的张角都是120度的点。 对于一个顶角超过120度的三角形，费尔马点就是最大的内角的顶点。
证明：
在平面三角形中:
(1).三内角皆小于120°的三角形，分别以 AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABC1,ACB1,BCA1,然后连接AA1,BB1,CC1,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.

(2).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求.
(3)当△ABC为等边三角形时,此时外心与费马点重合
（1） 等边三角形中BP=PC=PA，BP、PC、PA分别为三角形三边上的高和中线、三角上的角分线。是内切圆和外切圆的中心。△BPC≌△CPA≌△PBA。
（2） 当BC=BA但CA≠AB时，BP为三角形CA上的高和中线、三角上的角分线。

证明
(1)费马点对边的张角为120度。

△CC1B和△AA1B中,BC=BA1,BA=BC1,∠CBC1=∠B+60度=∠ABA1,
△CC1B和△AA1B是全等三角形,得到∠PCB=∠PA1B
同理可得∠CBP=∠CA1P
由∠PA1B+∠CA1P=60度，得∠PCB+∠CBP=60度,所以∠CPB=120度
同理,∠APB=120度，∠APC=120度
(2)PA+PB+PC=AA1
将△BPC以点B为旋转中心旋转60度与△BDA1重合，连结PD，则△PDB为等边三角形，所以∠BPD=60度
又∠BPA=120度，因此A、P、D三点在同一直线上，
又∠CPB=∠A1DB=120度，∠PDB=60度，∠PDA1=180度，所以A、P、D、A1四点在同一直线上，故PA+PB+PC=AA1。
(3)PA+PB+PC最短
在△ABC内任意取一点M（不与点P重合），连结AM、BM、CM，将△BMC以点B为旋转中心旋转60度与△BGA1重合，连结AM、GM、A1G(同上)，则AA1<A1G+GM+MA=AM+BM+CM.所以费马点到三个顶点A、B、C的距离最短。
平面四边形费马点
平面四边形中费马点证明相对于三角型中较为简易，也较容易研究。
（1）在凸四边形ABCD中，费马点为两对角线AC、BD交点P。
（2）在凹四边形ABCD中，费马点为凹顶点D（P）。
23．等差幂线定理：已知A、B亮点，则满足AP²-BP²=k(k为常数)的点P轨迹是垂直于AB的一条直线。
24．婆罗摩笈多定理
若圆内接四边形ABCD的对角线相互垂直，则垂直于一边CD且过对角线交点E的直线EF将AB平分对边。 　　

25．莱莫恩（Lemoine）定理：过△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB所在直线交于P、Q、R，则P、Q、R三点共线。直线PQR称为△ABC的莱莫恩线。

证明：由弦切角定理可以得到： sin∠ACR=sin∠ABC ，sin∠BCR=sin∠BAC
sin∠BAP=sin∠BCA， sin∠CAP=sin∠ABC 　　
sin∠CBQ=sin∠BAC 　　sin∠ABQ=sin∠BCA 　　
所以，我们可以得到：(sin∠ACR/sin∠BCR)*(sin∠BAP/sin∠CAP)*(sin∠CBQ/sin∠ABQ)=1，这是角元形式的梅涅劳斯定理，所以，由此，得到△ABC被直线PQR所截，即P、Q、R共线。

26．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F，则D、E、F在同一直线上

证明：设P、Q为△ABC的外接圆上异于A、B、C的两点，P关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，且QU、QV、QW分别交三边BC、CA、AB或其延长线于D、E、F 　　这时，P、Q两点和D、F、E、三点有如下关系： 将三角形的三边或者其延长线作为镜面，则从P点出发的光线照到D点经过BC反射以后通过Q点，从P点出发的光线照到E点经AC的延长线反射后通过Q点，从P点出发的光线照到F点后通过Q点 　　从而，如果P、Q两点重合，则D、E、F三点成为从P（即Q）点向BC，CA，AB或者它们的延长线所引的垂线的垂足。于是，如果P、Q两点重合，清宫定理就成为西摩松定理。 　　
我们决定将证明清宫定理的方针确定如下：因为D、E、F三点中，有两点在△ABC的边上，其余一点在边的延长线上， 如证明（BD/DC）·（CE/EA）·（AF/FB）=1， 　　
则根据梅涅劳斯定理的逆定理，就可证明DEF三点在同一直线上。 　　
首先，A、B、P、C四点在同一圆周上，因此∠PCE=∠ABP 　　
但是，点P和V关于CA对称 　　所以∠PCV=2∠PCE 　　
又因为P和Ｗ关于AB对称，所以 　　∠PBW=2∠ABP 　　
从这三个式子，有 ∠PCV=∠PBW 　　
另一方面，因为∠PCQ和∠PBQ都是弦PQ所对的圆周角，
所以∠PCQ=∠PBQ 　　两式相加，有∠PCV+∠PCQ=∠PBW+∠PBQ 　　
即∠QCV=∠QBW 　　即△QCV和△QBW有一个顶角相等，
因此 S（△QCV）/S（△QBW）=（CV·CQ）/（BW·BQ） 　　
但是CV=CP，BW=BP，所以S（△QCV）/S（△QBW）=（CP·CQ）/（BP·BQ） 　
　同理S（△QAW）/Ｓ（△QCU）=（AP·AQ）/（CP·CQ） 　　
S（△QBU）/S（△QAV）=（BP·BQ）/（AP·AQ） 　　
于是（BD/DC）·（CE/EA）·（AF/FB）=[S（△QBU）/S（△QCU）]·[S（△QCV）/S（△QAV）]·[S（△QAW）/S（△QBW）] =[S（△QBU）/S（△QAV）]·[S（△QCV）/S（△QBW）]·[S（△QAW）/S（△QCU）] =[（BP·BQ)/（AP·AQ）]·[（CP·CQ)/（BP·BQ）]· 　　[（AP·AQ)/（CP·CQ）] =1 　　
根据梅涅劳斯定理的逆定理，D、E、F三点在同一直线上

3、通过活动，使学生养成博览群书的好习惯。
B比率分析法和比较分析法不能测算出各因素的影响程度。√
C采用约当产量比例法，分配原材料费用与分配加工费用所用的完工率都是一致的。Ｘ
C采用直接分配法分配辅助生产费用时，应考虑各辅助生产车间之间相互提供产品或劳务的情况。错
C产品的实际生产成本包括废品损失和停工损失。√
C成本报表是对外报告的会计报表。×
C成本分析的首要程序是发现问题、分析原因。×
C成本会计的对象是指成本核算。×
C成本计算的辅助方法一般应与基本方法结合使用而不单独使用。√
C成本计算方法中的最基本的方法是分步法。X
D当车间生产多种产品时，“废品损失”、“停工损失”的借方余额，月末均直接记入该产品的产品成本
中。×
D定额法是为了简化成本计算而采用的一种成本计算方法。×
F“废品损失”账户月末没有余额。√
F废品损失是指在生产过程中发现和入库后发现的不可修复废品的生产成本和可修复废品的修复费用。Ｘ
F分步法的一个重要特点是各步骤之间要进行成本结转。(√)
G各月末在产品数量变化不大的产品，可不计算月末在产品成本。错
G工资费用就是成本项目。(×)
G归集在基本生产车间的制造费用最后均应分配计入产品成本中。对
J计算计时工资费用，应以考勤记录中的工作时间记录为依据。(√)
J简化的分批法就是不计算在产品成本的分批法。(×)
J简化分批法是不分批计算在产品成本的方法。对
J加班加点工资既可能是直接计人费用，又可能是间接计人费用。√
J接生产工艺过程的特点，工业企业的生产可分为大量生产、成批生产和单件生产三种，X
K可修复废品是指技术上可以修复使用的废品。错
K可修复废品是指经过修理可以使用，而不管修复费用在经济上是否合算的废品。Ｘ
P品种法只适用于大量大批的单步骤生产的企业。×
Q企业的制造费用一定要通过“制造费用”科目核算。Ｘ
Q企业职工的医药费、医务部门、职工浴室等部门职工的工资，均应通过“应付工资”科目核算。Ｘ
S生产车间耗用的材料，全部计入“直接材料”成本项目。Ｘ
S适应生产特点和管理要求，采用适当的成本计算方法，是成本核算的基础工作。(×)
W完工产品费用等于月初在产品费用加本月生产费用减月末在产品费用。对
Y“预提费用”可能出现借方余额，其性质属于资产，实际上是待摊费用。对
Y引起资产和负债同时减少的支出是费用性支出。X
Y以应付票据去偿付购买材料的费用，是成本性支出。X
Y原材料分工序一次投入与原材料在每道工序陆续投入，其完工率的计算方法是完全一致的。Ｘ
Y运用连环替代法进行分析，即使随意改变各构成因素的替换顺序，各因素的影响结果加总后仍等于指标的总差异，因此更换各因索替换顺序，不会影响分析的结果。(×)
Z在产品品种规格繁多的情况下，应该采用分类法计算产品成本。对
Z直接生产费用就是直接计人费用。X
Z逐步结转分步法也称为计列半成品分步法。√

A按年度计划分配率分配制造费用，“制造费用”账户月末(可能有月末余额/可能有借方余额/可能有贷方余额/可能无月末余额)。
A按年度计划分配率分配制造费用的方法适用于(季节性生产企业)

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