数值分析-第五版-考试总结.doc

.第一章：数值分析与科学计算引论截断误差：近似解与精确解之间的误差。近似值的误差为准确值：近似值的误差限：近似值相对误差较小时约等：近似值相对误差限：函数值的误差限：近似值有n位有效数字：第二章：插值法其中：2.拉格朗日插值次插值基函数：引入记号：余项：3.牛顿插值多项式：阶均差把中间去掉，分别填在左边和右边：余项：4.牛顿前插公式令，计算点值，不是多项式：阶差分：余项：5.泰勒插值多项式：阶重节点的均差：6.埃尔米特三次插值：其中，A的标定为：7.分段线性插值：第三章：函数逼近与快速傅里叶变换1. 属于维空间：2.范数：3.带权内积和带权正交：4.最正确逼近的分类范数的不同、是否离散：最优一致-范数逼近多项式：最正确平方-范数逼近多项式：最小二乘拟合离散点：5.正交多项式递推关系：6.勒让德多项式：正交性：奇偶性：递推关系：7切比雪夫多项式：递推关系：正交性：在上有个零点：在上有个零点：最优一致逼近首项的系数：8.最正确平方逼近：法方程：正交函数族的最正确平方逼近：9.最小二乘法：法方程：正交多项式的最小二乘拟合:第四章 数值积分与数值微分1.求积公式具有次代数精度求积公式多项式与函数值乘积的和，对于次数不超过的多项式成立，不成立2.插值型求积公式时的余项4.牛顿-柯特斯公式：将划分为等份构造出插值型求积公式5.梯形公式：当n=1时，6.辛普森公式：当n=2时，7.复合求积公式：复合梯形公式：复合辛普森公式：8.高斯求积公式求待定参数和：1求高斯点：令与任何次数不超过的多项式带权正交，即那么，由个方程求出高斯点。2求待定参数：，也为次数不超过的多项式。9.高斯-勒让德求积公式：取权函数为的勒让德多项式的零点即为求积公式的高斯点。10.高斯-切比雪夫求积公式：取权函数为的切比雪夫多项式的零点即为求积公式的高斯点。第五章 解线性方程组的直接方法1.矩阵的附属范数：2.条件数：第六章 解线性方程组的迭代法1.迭代法：2.迭代法收敛：存在。3.迭代法收敛的充分必要条件：，谱半径4.渐进收敛速度：，迭代次数估计：5.雅可比迭代法：6.高斯-塞德尔迭代法：7.严格对角占优矩阵：此矩阵为非奇异矩阵，其雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法均收敛。8.弱对角占优矩阵：假设此矩阵也为不可约矩阵，那么其雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法均收敛。其中，可约矩阵：n阶矩阵A有如下型式，否那么为不可约矩阵。9.超松弛迭代法：为高斯-塞德尔迭代法的一种修正。10.最速下降法：是对称正定矩阵令：使下式最小：那么：其中：故而：11.共轭梯度法：1令，计算，取2对，计算3假设或，计算停止。第七章 非线性方程与方程组的数值解法1.二分法：1计算在有根区间的端值, 2计算区间中点值 3判断或者2.不动点迭代法：3.不动点迭代法收敛：4. 在上存在不动点：压缩映射5. 不动点迭代法收敛性：满足上条，那么不动点迭代法收敛，误差为：6.局部收敛：存在的某个邻域内的任意的，迭代法产生的序列收敛到。7.不动点迭代法局部收敛：其中为的不动点，在邻域连续。8. P阶收敛：当时，迭代误差，满足9.牛顿重根法:10.简化的牛顿法：11.牛顿下山法：从开始试算，之后逐次减半，直到满足下降条件：为止。12.弦截法：第八章 矩阵特征值计算1.格什戈林圆盘：以为圆心，以为半径的所有圆盘2. 的每个特征值必属于某个圆盘之中：3. 有个圆盘组成一个连通的并集，与和余下个圆盘是别离的，那么内恰包含的个特征值。4.幂法：设的特征值满足条件：任取非零向量，构造向量序列，假设：那么：5.收敛速度：6.幂法改良：7.加速方法原点平移法：构造矩阵，应用幂法使在计算其主特征值的过程中得到加速。8.假设，称矩阵为初等反射矩阵，可得：10.设为两个不等的维向量，令，那么，那么可推导出：11.豪斯霍尔德约化定理：12.吉文斯变换：12.矩阵的QR分解：1设非奇异，那么存在正交矩阵，使，其中为上三角矩阵。2设非奇异，那么存在正交矩阵与上三角矩阵，使，当对角元素为正分解唯一。13.豪斯霍尔德约化矩阵为上海森伯格矩阵：14.方法：1计算上海森伯格矩阵的全部特征值；2计算对称三对角矩阵的全部特征值。第九章 常微分方程初值问题数值解法1.一阶常微分初值问题：2.利普西茨条件：满足此条件，上述问题存在唯一的连续可微解。3.欧拉方法：4.后退的欧拉法：5.梯形方法：6.改良欧拉公式：实用文档.