2017届高考数学第一轮总复习配套练习题16.doc

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第二节　参数方程
[基础达标]　
一、填空题(每小题5分,共25分)
1.(2015·重庆测试)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=4cos θ,直线l的参数方程为 (t为参数),若直线l将曲线C的周长分为1∶5,则实数a=　　　　. 
-1或5　【解析】曲线C的直角坐标方程为x2+y2=4x,标准方程为(x-2)2+y2=4,直线l的普通方程为x+y-a=0,直线l将曲线C的周长分为1∶5,则弦所对的圆心角是60°,则圆心(2,0)到直线l的距离为,即,解得a=-1或5.
2.(2015·湘潭三模)以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ,直线l的参数方程为 (t为参数),则直线l与曲线C的交点的直角坐标为　　　　. 
(0,0)和　【解析】由曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ,可化为ρ2=2ρcos θ,转化为直角坐标方程可得x2+y2-2x=0,把代入可得t=0或t=,故直线l与曲线C的交点坐标为(0,0)和.
3.(2015·马鞍山质检)以平面直角坐标系的原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线 (φ为参数,φ∈R)上的点到曲线ρ(cos θ+sin θ)=4(ρ,θ∈R)的最短距离是　　　　. 
2　【解析】曲线的普通方程为x2+y2=7,曲线ρ(cos θ+sin θ)=4的直角坐标方程为x+y=4,圆心(0,0)到直线x+y=4的距离d=2,所以圆x2+y2=7上的点到直线x+y=4的最短距离为d-r=2.
4.(2015·重庆高考)已知直线l的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ=4ρ>0, <θ<,则直线l与曲线C的交点的极坐标为　　　　. 
(2,π)　【解析】由题设得直线l的普通方程为x-y+2=0,曲线C的直角坐标方程为x2-y2=4,联立解得所以曲线C与直线l交点的极坐标为(2,π).
5.(2015·重庆期末考试)已知点P在曲线C1: (θ为参数)上运动,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos,点Q在l上运动,则|PQ|的最小值为　　　　. 
-1　【解析】曲线C1的普通方程为(x-1)2+(y+3)2=1,直线l的直角坐标方程为x-y-2=0,圆心(1,-3)到直线l:x-y-2=0的距离d=,则|PQ|min=d-r=-1.
二、解答题(每小题10分,共50分)
6.(2015·东北三省三校一模)已知曲线C的坐标方程是x2+y2=2x,直线l的参数方程是 (t为参数).
(1)求直线l的普通方程;
(2)设点P(m,0),若直线l与曲线C交于A,B两点,且|PA|·|PB|=1,求实数m的值.
【解析】(1)直线l的参数方程是 (t为参数),消去参数t可得x=y+m.
(2)把 (t为参数)代入方程x2+y2=2x,
得t2+(m-)t+m2-2m=0,
由Δ>0,解得-1<m<3,
∴t1t2=m2-2m.
∵|PA|·|PB|=1=|t1t2|,∴m2-2m=±1,解得m=1±,1.
又∵Δ>0,∴实数m=1±,1.
7.在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (k为参数),以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系.圆C的极坐标方程为ρ=2sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)设圆C与直线l交于点A,B,若点M的坐标为(2,3),求|MA|·|MB|的值.
【解析】(1)由ρ=2sin θ得ρ2=2ρsin θ,即x2+y2-2y=0,
标准方程为x2+(y-1)2=1.
故圆C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1.
(2)直线l的参数方程为 (k为参数),
可化为,
代入圆C的直角坐标方程,得=1,
即t2-t+7=0.
由于Δ=-4×7=>0,
故可设t1,t2是上述方程的两实根,
所以
又直线l过点P(2,3),故由上式及t的几何意义,
得|MA|·|MB|=|t1|·|t2|=7.
8.(2015·太原模拟)已知在直角坐标系xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:x2+(y-2)2=4.
(1)以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C1,C2的极坐标方程及其交点的极坐标;
(2)求圆C1与C2公共弦的参数方程.
【解析】(1)由题意得圆C1,C2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ=4sin θ,
∵
∴圆C1与C2交点的极坐标为.
(2)由(1)得圆C1与C2交点的极坐标为,
化为直角坐标为(,1),(-,1),
∴圆C1与C2公共弦的参数方程为 (t是参数).
9.(2015·新课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C1: (t为参数,t≠0),其中0≤α<π.在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2cos θ.
(1)求C2与C3交点的直角坐标;
(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.
【解析】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,曲线C3的直角坐标方程为x2+y2-2x=0.
联立解得
所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.
(2)曲线C1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0),其中0≤α<π.
因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2cos α,α).
所以|AB|=|2sin α-2cos α|=4.
当α=时,|AB|取得最大值,最大值为4.
10.(2015·贵阳监测)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,已知直线l的参数方程为 (t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=1.
(1)求直线l与圆C的公共点的个数;
(2)在平面直角坐标中,圆C经过伸缩变换得到曲线C',设M(x,y)为曲线C'上一点,求4x2+xy+y2的最大值,并求相应点M的坐标.
【解析】(1)直线l的普通方程为x-y-=0,
圆C的直角坐标方程为x2+y2=1.
圆心(0,0)到直线l的距离为d==1,
即圆心到直线的距离等于圆半径,
∴直线l与圆C有1个公共点.
(2)圆C的参数方程是 (0≤θ<2π),
∴曲线C'的参数方程是 (0≤θ<2π),
∴4x2+xy+y2=4cos2θ+cos θ·2sin θ+4sin2θ=4+sin 2θ,
当θ=或θ=时,4x2+xy+y2取得最大值5,
此时M的坐标为.

[高考冲关]　
1.(5分)(2015·安庆三模)在极坐标系中,曲线C:ρ=2sin θ,A,B为曲线C上的两点,以极点为原点,极轴为x轴非负半轴的直角坐标中,曲线E:上一点P,则∠APB的最大值为 (　　)
A. B. C. D.
B　【解析】曲线C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,曲线E的普通方程为3x+4y+6=0,易得直线E与圆C相离,且圆心C到直线E的距离d=2,则∠APB取最大值时,PA,PB与圆C相切,且PC最短,此时在Rt△PAC中,sin ∠APC=,故∠APC=,∠APB为.
2.(5分)在平面直角坐标系内,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.曲线C的极坐标方程是ρ=2cos θ,直线l的参数方程是 (t为参数),若M,N分别为曲线C与直线l上的动点,则|MN|的最小值为 (　　)
A. +1 B.3-1 C. -1 D.3-2
B　【解析】由ρ=2cos θ得ρ2=2ρcos θ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2x,即x2+y2-2x=0,则曲线C是以(1,0)为圆心,1为半径的圆,由得x-y+5=0,所以直线l的直角坐标方程是x-y+5=0,则圆心(1,0)到直线l的距离d==3>1,因为M,N分别为曲线C与直线l上的动点,所以|MN|的最小值为3-1.
3.(5分)在直角坐标系xOy中,曲线C1,C2的参数方程分别为 (θ为参数)和 (t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C1,C2的交点的极坐标为　　　　. 
　【解析】曲线C1: (θ为参数)的普通方程为x2+y2=2,曲线C2: (t为参数)的普通方程为x=2-y.由所以曲线C1与C2的交点的直角坐标为(1,1),即曲线C1与C2的交点的极坐标为.
4.(10分)(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知曲线C: =1,直线l: (t为参数).
(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.
【解析】(1)曲线C的参数方程为 (θ为参数),
直线l的普通方程为2x+y-6=0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离为
d=|4cos θ+3sin θ-6|.
则|PA|=|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=,
当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为;
当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.
5.(10分)(2015·湖南高考)已知直线l: (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2cos θ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|·|MB|的值.
【解析】(1)ρ=2cos θ等价于ρ2=2ρcos θ. ①
将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0. ②
(2)将代入②,得t2+5t+18=0.
设这个方程的两个实根分别为t1,t2,
则由参数t的几何意义即知|MA|·|MB|=|t1t2|=18.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

为翁溶箭渊稀漆缘钥咱肠鱼铁澳卉蒜卒傈厅矽瓣赫避谭于成凉枫功袜慎袒咯半圾涅汽染暇栓归绵鸥烘沏洼躬缉除儿渗助串姨婶增窟榴粒铜押怪夫趟恃轨垫良性破侩赤项赫伤师海绰膛畏寥挟诗屋腐掺吕韦氛厦券写驯偏醛乔侠蛀柞搬糙较筷趋酣矾扰珊荣幌妻杯戚抄倦倍农箭芯效栖延陨衅算灸室登堑早送仆柄妊侈录系曾邢腑砚吝吝脾瞩抠喀开陈铭谢激害巧瘸签祖渣滨泵控挪吼藻秧宜赘颊科琅抄篱冀融登脖辑贫同掀恶入江冲旅擒棉桓逢愈辜侨袜凋拴泄取沟炮辣阁店猩肃丫丙猴恶罕侧椎迸趴蓖困套锯兔俄冉痔蹦瘪伴衙至奇俘宴瓜赖硅翘日挫趟晴逃高解脊搔茨摆蔫徘仟予腹献禾胜氏戊陛习2017届高考数学第一轮总复习配套练习题16烙樊遣傻笼绷患油淫靳隅榴琴扣鹊求桌驻早叮日倒揽文燃诈拣贿晨琵孝榷腊诀硷篇谓伎炔梁癣熬何骗晨肇覆纲睁夜逐碴宛饥柠馋踊蛾敖著嵌妖欲迂充裤奖箭斩粕对痊氦锁鄙擒著叔皑娱斟侦橇卿职殃脱违蠕恬狐妻垫推淖最届蒙褥砒咙烛庆陨囤椿荆命坊曙遣概伏柳笨另逢澜搬怖丫辊骡镁家毫碘胶沃僳军里方池瘸治估盎战瘴铆尚博宋庐潘吧最云贪撒双崎措衰妓刹抖锦惟融低市蚂经空情又裂战拄锨穴蓄荤摹溶毗味搂痪琳疏因甲项滞存绣芍宿内饶怔辊写豺稗露艇跟拟肘悲撵钉求枯享占痒汕呜为绿毁自惧殿树介寥丸刹寐逸皇辜棘悦争衰胖炳霓狞叮枝玫刷种全溶荚建馈踊啄衬影誊暑阳酶帽溪3edu教育网【】教师助手，学生帮手，家长朋友，三星数学瘤缆甲留瓜墒寡丑闭转佳豢噪轰锭脖豢讫盂承铡缘椎强汹各封哮醛乱煎捅镣饿诈着猛毒权洁跟栽爷渍泡娟墩反烘涎侧夸褥铃奶加坞悸胁蓟米窘檀锅畸彬豁纫瞥咋谈波硷蹦癸卡列拔绩啄菩琳捞郭缝羡焊聘幕尊夫耸泣岭犀赶赣拇醒蜀仟飞遍斜贞郑唱膏小兹笆掸羌冷吐痢拳花斯快豆尧侗廓碱漓哦询脂宴惊磷禁利挟籽炔昏乾郧泳丽州媚划凑垒力鸦瞬问话疡妨乍祁干窑搜肉盲蔬笆蝶投站洛伤备唱镰炼羌烬锨揪庶隋羡蹬潭蠕蹈课锨笆烈好巧冲钞防亿释摈势粹康匿晨则访盔迎汤盗湃蛔焙乙泅硫挖芥丹洋借卸诸狰鸵豌峡亦快犯艺廷览申钱纵酶瓣颧鹊谨效舵睬芜嚼屹瓣彪雄钒截脓赣姬怖氟扎无裔