高三数学基础突破复习检测37.doc

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第3讲 导数的几何意义——切线的斜率（学生版）

【知识梳理】
1．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即，相应地，切线方程为．
【基础考点突破】
考点1．导数的几何意义
命题点1　已知切点的切线方程问题
【例1】 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求经过点A(2，－2)的曲线的切线方程.

【归纳总结】 (1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点.
(2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点，“曲线过点P的切线”则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标.
(3)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.
变式训练1．【2016高考新课标3】已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_____________________．
命题点2　未知切点的切线方程问题
【例2】与直线y＝2x平行的抛物线y＝x2的切线方程是(　　)
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
变式训练2．【2016高考新课标2】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．

命题点3 求切点坐标 　
【例3】若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
变式训练2．曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是(　　)
A．(0，1) B．(1，－1) C．(1，3) D．(1，0)
命题点4　和切线有关的参数问题
【例4】若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，试求k的值．

命题点5　导数与函数图象的关系
【例5】 函数的导函数在区间上的图象大致是（ ）

考点2．导数几何意义的综合应用
【例6】 已知函数f(x)＝2x3－3x.
(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；
(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围.

【基础练习巩固】
1．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)
A．e B．－e C. D．－
2．函数f(x)＝的图象在点(1，－2)处的切线方程为(　　)
A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0 C．x－y－3＝0 D．x＋y＋1＝0
3．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 017(x)等于(　　)
A．－sin x－cos x B．sin x－cos x C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x
4．(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a等于(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
5．已知曲线y＝，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为(　　)
A．x＋4y－2＝0 B．x－4y＋2＝0 C．4x＋2y－1＝0 D．4x－2y－1＝0
6．已知函数f(x)＝＋1，g(x)＝aln x，若在x＝处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为(　　)
A. B. C．1 D．4
7．曲边梯形由曲线y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所围成，过曲线y＝x2＋1 (x∈[1,2])上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为(　　)
A. B. C. D.
8．已知曲线y＝x3上一点P，则过点P的切线方程为_______________．
9．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．
10．已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(0,16)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程为y＝ax＋16，则实数a的值是________．
11．若直线y＝2x＋m是曲线y＝xln x的切线，则实数m的值为________．
12.【2016河北衡水四调】设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
13．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．

14．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．

15．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；

2017年高考数学基础突破——导数与积分
第3讲 导数的几何意义——切线的斜率（教师版）

【知识梳理】
1．导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即，相应地，切线方程为．

【基础考点突破】
考点1．导数的几何意义
命题点1　已知切点的切线方程问题
【例1】 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求经过点A(2，－2)的曲线的切线方程.
解析： (1)∵，∴，又， ∴曲线在点处的切线方程为，即.
(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点，∵，
∴切线方程为， 又切线过点，
∴， 整理得，解得或1.
∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为，或.
【归纳总结】 (1)导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上.切线有可能和曲线还有其他的公共点.
(2)“曲线在点P处的切线”是以点P为切点，“曲线过点P的切线”则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标.
(3)曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0.

变式训练1．【2016高考新课标3理数】已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________．
【答案】
【解析】当时，，则．
又因为为偶函数，所以，所以，则切线的斜率为，所以切线的方程为，即．
命题点2　未知切点的切线方程问题
【例2】与直线y＝2x平行的抛物线y＝x2的切线方程是(　　)
A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0
答案　D　
解析　(1)对y＝x2求导得y′＝2x.设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为k＝2x0.
由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
变式训练2．【2016高考新课标2】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
【答案】．
【解析】对函数求导得，对求导得，设直线与函数相切于，与相切于，则，，
则点在切线上得：，由在切线上得：，这两条直线表示同一条直线，所以，解得，所以，所以．
命题点3 求切点坐标 　
【例3】若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
解析：由题意知，y′＝ln x＋1，直线斜率为2.由导数的几何意义知，令ln x＋1＝2，得x＝e，所以y＝eln e＝e，所以P(e，e)．
变式训练3．曲线y＝3ln x＋x＋2在点P0处的切线方程为4x－y－1＝0，则点P0的坐标是(　　)
A．(0，1) B．(1，－1) C．(1，3) D．(1，0)
答案：C
解析：由题意知y′＝＋1＝4，解得x＝1，此时4×1－y－1＝0，解得y＝3，故点P0的坐标是(1，3)．

命题点4　和切线有关的参数问题
【例4】若直线y＝kx与曲线y＝x3－3x2＋2x相切，试求k的值．
解析：设y＝kx与y＝x3－3x2＋2x相切于P(x0，y0)，则y0＝kx0，①
y0＝x－3x＋2x0.②
又y′＝3x2－6x＋2，∴k＝y′|x＝x0＝3x－6x0＋2.③
由①②③得：(3x－6x0＋2)x0＝x－3x＋2x0，即(2x0－3)x＝0.
∴x0＝0或x0＝，∴k＝2或k＝－.
命题点5　导数与函数图象的关系
【例5】 函数的导函数在区间上的图象大致是（ ）

答案：A
解析：，，所以是一个偶函数，排除C；，排除D，由于在上，，所以当时，最大，排除B，选A.

考点2．导数几何意义的综合应用
【例6】 已知函数f(x)＝2x3－3x.
(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；
(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围.
解析　(1)由f(x)＝2x3－3x，得f′(x)＝6x2－3.令f′(x)＝0，得x＝－，或x＝.
因为f(－2)＝－10，f＝，f＝－，f(1)＝－1，
所以f(x)在区间[－2，1]上的最大值为f＝.
(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，则y0＝2x－3x0，且切线斜率为k＝6x－3，所以切线方程为y－y0＝(6x－3)(x－x0)，因此t－y0＝(6x－3)·(1－x0).整理得4x－6x＋t＋3＝0.
设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”.
g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)，于是，当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况如下表：

所以g(0)＝t＋3是g(x)的极大值；g(1)＝t＋1是g(x)的极小值.
当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点.
当g(0)>0且g(1)<0，即－3< t <－1时，因为g(－1)= t－7<0，g(2)= t+11>0，所以g(x)分别在区间和上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上单调，所以g(x)在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点.
综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是．

【基础练习巩固】
1．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为(　　)
A．e B．－e C. D．－
答案　C
解析　y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝，
切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故此切线的斜率为.
2．函数f(x)＝的图象在点(1，－2)处的切线方程为(　　)
A．2x－y－4＝0 B．2x＋y＝0 C．x－y－3＝0 D．x＋y＋1＝0
答案　C
解析　(1)f′(x)＝，则f′(1)＝1，故该切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.
3．已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 017(x)等于(　　)
A．－sin x－cos x B．sin x－cos x C．－sin x＋cos x D．sin x＋cos x
答案　D
解析　∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，∴f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，
∴f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，∴f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x＝f1(x)，
∴fn(x)是以4为周期的函数，∴f2 017(x)＝f1(x)＝sin x+cos x，故选D.

4．(2014·课标全国Ⅱ)设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a等于(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　D
解析　令f(x)＝ax－ln(x＋1)，则f′(x)＝a－.由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)＝a－1.又切线方程为y＝2x，则有a－1＝2，∴a＝3.
5．已知曲线y＝，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为(　　)
A．x＋4y－2＝0 B．x－4y＋2＝0 C．4x＋2y－1＝0 D．4x－2y－1＝0
答案　A
解析　y′＝＝，因为ex>0，所以ex＋≥2＝2(当且仅当ex＝，即x＝0时取等号)，则ex＋＋2≥4，故y′＝≥－当(x＝0时取等号)．
当x＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为(0，)，切线的方程为y－＝－(x－0)，
即x＋4y－2＝0. 故选A.
6．已知函数f(x)＝＋1，g(x)＝aln x，若在x＝处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为(　　)
A. B. C．1 D．4
答案　A
解析　由题意可知f′(x)＝x－，g′(x)＝，由f′()＝g′()，得×()－＝，
可得a＝，经检验，a＝满足题意．故选A
7．曲边梯形由曲线y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所围成，过曲线y＝x2＋1 (x∈[1,2])上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设P(x0，x＋1)，x0∈[1,2]，则易知曲线y＝x2＋1在点P处的切线方程为y－(x＋1)＝2x0(x－x0)，∴y＝2x0(x－x0)＋x＋1，设g(x)＝2x0(x－x0)＋x＋1，则g(1)＋g(2)＝2(x＋1)＋2x0(1－x0＋2－x0)，∴S普通梯形＝×1＝－x＋3x0＋1＝－2＋，∴P点坐标为时，S普通梯形最大．
8．已知曲线y＝x3上一点P，则过点P的切线方程为_______________．
解：(1)当P为切点时，由y′＝′＝x2，得y′|x＝2＝4，即过点P的切线方程的斜率为4.
则所求的切线方程是y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.
(2)当P点不是切点时，设切点为Q(x0，y0)，则切线方程为y－x＝x(x－x0)，
因为切线过点P，把P点的坐标代入以上切线方程，求得x0＝－1或x0＝2(即点P，舍去)，
所以切点为Q，即所求切线方程为3x－3y＋2＝0；
综上所述，过点P的切线方程为12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0.
9．在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是______．
答案　－3
解析　y＝ax2＋的导数为y′＝2ax－，直线7x＋2y＋3＝0的斜率为－.
由题意得解得则a＋b＝－3.
10．已知函数f(x)＝x3－3x，若过点A(0,16)且与曲线y＝f(x)相切的直线方程为y＝ax＋16，则实数a的值是________．
答案　9
解析　先设切点为M(x0，y0)，则切点在曲线上有y0＝x－3x0，①
求导数得到切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，
又切线l过A、M两点，所以k＝，则3x－3＝，②
联立①②可解得x0＝－2，y0＝－2，从而实数a的值为a＝k＝＝9.
11．若直线y＝2x＋m是曲线y＝xln x的切线，则实数m的值为________．
答案　－e
解析：设切点为(x0，x0ln x0)，由y′＝(xln x)′＝ln x＋x·＝ln x＋1，
得切线的斜率k＝ln x0＋1，故切线方程为y－x0ln x0＝(ln x0＋1)(x－x0)，
整理得y＝(ln x0＋1)x－x0，与y＝2x＋m比较得
解得x0＝e，故m＝－e.
12.【2016河北衡水四调】设过曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意得：使得，即函数的值域为函数的值域的子集，从而，即，故选A.
13．已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行于直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．
(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．
解　(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知令3x2＋1＝4，解之得x＝±1.
当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.
又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．
(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－.
∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，∴直线l的方程为y＋4＝－(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.
14．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
解　(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3.
当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋，于是　解得故f(x)＝x－.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由y′＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为
y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．
令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.
令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为S＝|2x0|＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线

15．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
解　(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，∵f′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.
(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0,3x＋6x0＋12)．
∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.
当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.
由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，
①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.
在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.
②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.
在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；
∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.
综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.

沁园春·雪 <毛泽东>
北国风光，千里冰封，万里雪飘。
望长城内外，惟余莽莽；
大河上下，顿失滔滔。
山舞银蛇，原驰蜡象，
欲与天公试比高。
须晴日，看红装素裹，分外妖娆。
江山如此多娇，引无数英雄竞折腰。
惜秦皇汉武，略输文采；
唐宗宋祖，稍逊风骚。
一代天骄，成吉思汗，
只识弯弓射大雕。
俱往矣，数风流人物，还看今朝。
薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

薄雾浓云愁永昼， 瑞脑消金兽。 佳节又重阳， 玉枕纱厨， 半夜凉初透。
东篱把酒黄昏后， 有暗香盈袖。 莫道不消魂， 帘卷西风， 人比黄花瘦。

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