垂径定理的讲义.doc

1、思维导图：
三个元素：
弧、弦和直径

两种关系：垂直 平分
两类应用：
计算 证明

2、内容提要：
圆的轴对称性：过圆心的任一条直线（直径所在的直线）都是它的对称轴。
C
D
A
B
O
E
垂径定理
推论：平行的两弦之间所夹的两弧相等。
相关概念：弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）。

应用链接：垂径定理常和勾股定理联系在一起综合应用解题
（利用弦心距、半径、半弦构造Rt△OAE）。
3、 垂径定理常见的五种基本图形

4、垂径定理的两种变形图

基本题型
一、求半径
图1
O
D
A
B
C
例1.高速公路的隧道和桥梁最多．图1是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面=10米，净高=7米，则此圆的半径=（　　）
（A）5 （B）7 （C） （D）

练习1、已知：在⊙中，弦，点到的距离等于的一半，求圆的半径.

练习2、如图，在⊙中，是弦，为的中点，若，到的距离为1.
求⊙的半径.

练习3、如图，一个圆弧形桥拱，其跨度为10米，拱高为1米.求桥拱的半径.

二、求弦长
例2.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图2所示，则这个小孔的直径 mm．
B
A
8mm
图2
图3

练习2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是 cm.

三、求弦心距
例3.如图，已知在⊙中，弦，且，垂足为，于，于.
（1）求证：四边形是正方形.
（2）若，，求圆心到弦和的距离.

练习3.如图4，的半径为5，弦，于，则的长等于 ．
图4

四、求拱高
图5
例4.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，已知AB=16m，半径 OA=10m，高度CD为_____m．

五、求角度
图7
例5.如图6，在⊙O中，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠AOC=60º，则∠B= ．
C
O
D
A
B
图6

六、探究线段的最小值
例6.如图7，⊙O的半径OA=10cm，弦AB=16cm，P为AB上一动点，则点P到圆心O的最短距离为 cm．
七、其他题型
A
B
D
C
E
O
例7、如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.

例8、在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.

例9、如图所示，P为弦AB上一点，CP⊥OP交⊙O于点C，AB＝8，AP:PB＝1:3，求PC的长。

例10、如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB和AD的长。
C
A
B
D
E

例11、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是的中点，AD⊥BC于D，求证：AD=BF.

例12、已知：如图，是⊙的直径，是弦，，于.求证：.

例13、某机械传动装置在静止状态时，如图所示，连杆PB与点B运动所形成的圆O交于点A，测得PA＝4cm，AB＝5cm，⊙O半径为4.5cm，求点P到圆心O的距离。
O
A
B
P

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