资源描述
人教版中学七年级数学下册期末解答题综合复习题含答案
一、解答题
1.如图所示的正方形纸板是由两张大小相同的长方形纸板拼接而成的,已知一个长方形纸板的面积为162平方厘米,求正方形纸板的边长.
2.已知在的正方形网格中,每个小正方形的边长为1.
(1)计算图①中正方形的面积与边长.
(2)利用图②中的正方形网格,作出面积为8的正方形,并在此基础上建立适当的数轴,在数轴上表示实数和.
3.工人师傅准备从一块面积为36平方分米的正方形工料上裁剪出一块面积为24平方分米的长方形的工件.
(1)求正方形工料的边长;
(2)若要求裁下的长方形的长宽的比为4:3,问这块正方形工料是否满足需要?(参考数据:,)
4.如图,阴影部分(正方形)的四个顶点在5×5的网格格点上.
(1)请求出图中阴影部分(正方形)的面积和边长
(2)若边长的整数部分为,小数部分为,求的值.
5.求下图的方格中阴影部分正方形面积与边长.
二、解答题
6.如图①,将一张长方形纸片沿对折,使落在的位置;
(1)若的度数为,试求的度数(用含的代数式表示);
(2)如图②,再将纸片沿对折,使得落在的位置.
①若,的度数为,试求的度数(用含的代数式表示);
②若,的度数比的度数大,试计算的度数.
7.如图1,点在直线、之间,且.
(1)求证:;
(2)若点是直线上的一点,且,平分交直线于点,若,求的度数;
(3)如图3,点是直线、外一点,且满足,,与交于点.已知,且,则的度数为______(请直接写出答案,用含的式子表示).
8.阅读下面材料:
小亮同学遇到这样一个问题:
已知:如图甲,ABCD,E为AB,CD之间一点,连接BE,DE,得到∠BED.
求证:∠BED=∠B+∠D.
(1)小亮写出了该问题的证明,请你帮他把证明过程补充完整.
证明:过点E作EFAB,
则有∠BEF= .
∵ABCD,
∴ ,
∴∠FED= .
∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D.
(2)请你参考小亮思考问题的方法,解决问题:如图乙,
已知:直线ab,点A,B在直线a上,点C,D在直线b上,连接AD,BC,BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,且BE,DE所在的直线交于点E.
①如图1,当点B在点A的左侧时,若∠ABC=60°,∠ADC=70°,求∠BED的度数;
②如图2,当点B在点A的右侧时,设∠ABC=α,∠ADC=β,请你求出∠BED的度数(用含有α,β的式子表示).
9.汛期即将来临,防汛指挥部在某水域一危险地带两岸各安置了一探照灯,便于夜间查看河水及两岸河堤的情况.如图1,灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转,灯射出的光束自顺时针旋转至便立即回转,两灯不停交叉照射巡视.若灯射出的光束转动的速度是/秒,灯射出的光束转动的速度是/秒,且、满足.假定这一带水域两岸河堤是平行的,即,且.
(1)求、的值;
(2)如图2,两灯同时转动,在灯射出的光束到达之前,若两灯射出的光束交于点,过作交于点,若,求的度数;
(3)若灯射线先转动30秒,灯射出的光束才开始转动,在灯射出的光束到达之前,灯转动几秒,两灯的光束互相平行?
10.已知,如图:射线分别与直线、相交于、两点,的角平分线与直线相交于点,射线交于点,设,且.
(1)________,________;直线与的位置关系是______;
(2)如图,若点是射线上任意一点,且,试找出与之间存在一个什么确定的数量关系?并证明你的结论.
(3)若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转(如图)分别与、相交于点和点时,作的角平分线与射线相交于点,问在旋转的过程中的值变不变?若不变,请求出其值;若变化,请说明理由.
三、解答题
11.[感知]如图①,,求的度数.
小乐想到了以下方法,请帮忙完成推理过程.
解:(1)如图①,过点P作.
∴(_____________),
∴,
∴________(平行于同一条直线的两直线平行),
∴_____________(两直线平行,同旁内角互补),
∴,
∴,
∴,即.
[探究]如图②,,求的度数;
[应用](1)如图③,在[探究]的条件下,的平分线和的平分线交于点G,则的度数是_________º.
(2)已知直线,点A,B在直线a上,点C,D在直线b上(点C在点D的左侧),连接,若平分平分,且所在的直线交于点E.设,请直接写出的度数(用含的式子表示).
12.为更好地理清平行线相关角的关系,小明爸爸为他准备了四根细直木条、、、,做成折线,如图1,且在折点B、C、D处均可自由转出.
(1)如图2,小明将折线调节成,,,判断是否平行于,并说明理由;
(2)如图3,若,调整线段、使得求出此时的度数,要求画出图形,并写出计算过程.
(3)若,,,请直接写出此时的度数.
13.已知,交AC于点E,交AB于点F.
(1)如图1,若点D在边BC上,
①补全图形;
②求证:.
(2)点G是线段AC上的一点,连接FG,DG.
①若点G是线段AE的中点,请你在图2中补全图形,判断,,之间的数量关系,并证明;
②若点G是线段EC上的一点,请你直接写出,,之间的数量关系.
14.如图,两个形状,大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置,PA、PB与直线MN重合,且三角板PAC,三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转.
(1)①如图1,∠DPC= 度.
②我们规定,如果两个三角形只要有一组边平行,我们就称这两个三角形为“孪生三角形”,如图1,三角板BPD不动,三角板PAC从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周(0°旋转360°),问旋转时间t为多少时,这两个三角形是“孪生三角形”.
(2)如图3,若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转,转速3°/秒,同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转,转速2°/秒,在两个三角板旋转过程中,(PC转到与PM重合时,两三角板都停止转动).设两个三角板旋转时间为t秒,以下两个结论:①为定值;②∠BPN+∠CPD为定值,请选择你认为对的结论加以证明.
15.如图1,D是△ABC延长线上的一点,CEAB.
(1)求证:∠ACD=∠A+∠B;
(2)如图2,过点A作BC的平行线交CE于点H,CF平分∠ECD,FA平分∠HAD,若∠BAD=70°,求∠F的度数.
(3)如图3,AHBD,G为CD上一点,Q为AC上一点,GR平分∠QGD交AH于R,QN平分∠AQG交AH于N,QMGR,猜想∠MQN与∠ACB的关系,说明理由.
四、解答题
16.如图,直线,、是、上的两点,直线与、分别交于点、,点是直线上的一个动点(不与点、重合),连接、.
(1)当点与点、在一直线上时,,,则_____.
(2)若点与点、不在一直线上,试探索、、之间的关系,并证明你的结论.
17.在△ABC中,∠BAC=90°,点D是BC上一点,将△ABD沿AD翻折后得到△AED,边AE交BC于点F.
(1)如图①,当AE⊥BC时,写出图中所有与∠B相等的角: ;所有与∠C相等的角: .
(2)若∠C-∠B=50°,∠BAD=x°(0<x≤45) .
① 求∠B的度数;
②是否存在这样的x的值,使得△DEF中有两个角相等.若存在,并求x的值;若不存在,请说明理由.
18.模型与应用.
(模型)
(1)如图①,已知AB∥CD,求证∠1+∠MEN+∠2=360°.
(应用)
(2)如图②,已知AB∥CD,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数为 .
如图③,已知AB∥CD,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+…+∠n的度数为 .
(3)如图④,已知AB∥CD,∠AM1M2的角平分线M1 O与∠CMnMn-1的角平分线MnO交于点O,若∠M1OMn=m°.
在(2)的基础上,求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+……+∠n-1的度数.(用含m、n的代数式表示)
19.如图,平分,平分,
请判断与的位置关系并说明理由;
如图,当且与的位置关系保持不变,移动直角顶点,使,当直角顶点点移动时,问与否存在确定的数量关系?并说明理由.
如图,为线段上一定点,点为直线上一动点且与的位置关系保持不变,①当点在射线上运动时(点除外),与有何数量关系?猜想结论并说明理由.②当点在射线的反向延长线上运动时(点除外),与有何数量关系?直接写出猜想结论,不需说明理由.
20.如图,在中,与的角平分线交于点.
(1)若,则 ;
(2)若,则 ;
(3)若,与的角平分线交于点,的平分线与的平分线交于点,,的平分线与的平分线交于点,则 .
【参考答案】
一、解答题
1.正方形纸板的边长是18厘米
【分析】
根据正方形的面积公式进行解答.
【详解】
解:设小长方形的宽为x厘米,则小长方形的长为厘米,即得正方形纸板的边长是厘米,根据题意得:
,
∴,
取正值,可得,
解析:正方形纸板的边长是18厘米
【分析】
根据正方形的面积公式进行解答.
【详解】
解:设小长方形的宽为x厘米,则小长方形的长为厘米,即得正方形纸板的边长是厘米,根据题意得:
,
∴,
取正值,可得,
∴答:正方形纸板的边长是18厘米.
【点评】
本题考查了算术平方根的实际应用,解题的关键是熟悉正方形的面积公式.
2.(1)正方形的面积为10,正方形的边长为;(2)见解析
【分析】
(1)利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可求出正方形的面积,然后根据算术平方根的意义即可求出边长;
(2)根据(1)的方法画
解析:(1)正方形的面积为10,正方形的边长为;(2)见解析
【分析】
(1)利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可求出正方形的面积,然后根据算术平方根的意义即可求出边长;
(2)根据(1)的方法画出图形,然后建立数轴,根据算术平方根的意义即可表示出结论.
【详解】
解:(1)正方形的面积为4×4-4××3×1=10
则正方形的边长为;
(2)如下图所示,正方形的面积为4×4-4××2×2=8,所以该正方形即为所求,如图建立数轴,以数轴的原点为圆心,正方形的边长为半径作弧,分别交数轴于两点
∴正方形的边长为
∴弧与数轴的左边交点为,右边交点为,实数和在数轴上如图所示.
【点睛】
此题考查的是求网格中图形的面积和实数与数轴,掌握算术平方根的意义和利用数轴表示无理数是解题关键.
3.(1)6分米;(2)满足.
【分析】
(1)由正方形面积可知,求出的值即可;
(2)设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米,根据面积得出方程,求出,求出长方形的长和宽和6比较即可.
【详解】
解:(
解析:(1)6分米;(2)满足.
【分析】
(1)由正方形面积可知,求出的值即可;
(2)设长方形的长宽分别为4a分米、3a分米,根据面积得出方程,求出,求出长方形的长和宽和6比较即可.
【详解】
解:(1)正方形工料的边长为分米;
(2)设长方形的长为4a分米,则宽为3a分米.
则,
解得:,
长为,宽为
∴满足要求.
【点睛】
本题主要考查了算术平方根及实数大小比较,用了转化思想,即把实际问题转化成数学问题.
4.(1)S=13,边长为 ;(2)6
【详解】
分析:(1)、利用正方形的面积减去四个直角三角形的面积得出阴影部分的面积,从而得出正方形的边长;(2)、根据无理数的估算得出a和b的值,然后得出答案.
解析:(1)S=13,边长为 ;(2)6
【详解】
分析:(1)、利用正方形的面积减去四个直角三角形的面积得出阴影部分的面积,从而得出正方形的边长;(2)、根据无理数的估算得出a和b的值,然后得出答案.
详解:解:(1)S=25-12=13, 边长为 ,
(2)a=3,b= -3 原式=9+-3-=6.
点睛:本题主要考查的就是无理数的估算,属于中等难度的题型.解决这个问题的关键就是根据正方形的面积得出边长.
5.8;
【分析】
用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8,然后利用正方形面积公式求8的算术平方根即可.
【详解】
解:正方形面积=4×4-4××2×2=8;
正方形的边
解析:8;
【分析】
用大正方形的面积减去4个小直角三角形的面积可得到所求的正方形的面积为8,然后利用正方形面积公式求8的算术平方根即可.
【详解】
解:正方形面积=4×4-4××2×2=8;
正方形的边长==.
【点睛】
本题考查了算术平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.记为.
二、解答题
6.(1) ;(2)① ;②
【分析】
(1)由平行线的性质得到,由折叠的性质可知,∠2=∠BFE,再根据平角的定义求解即可;
(2) ①由(1)知,,根据平行线的性质得到 ,再由折叠的性质及平角的定义
解析:(1) ;(2)① ;②
【分析】
(1)由平行线的性质得到,由折叠的性质可知,∠2=∠BFE,再根据平角的定义求解即可;
(2) ①由(1)知,,根据平行线的性质得到 ,再由折叠的性质及平角的定义求解即可;
②由(1)知,∠BFE = ,由可知:,再根据条件和折叠的性质得到,即可求解.
【详解】
解:(1)如图,由题意可知,
∴,
∵,
∴,
,
由折叠可知.
(2)①由题(1)可知 ,
∵,
,
再由折叠可知:
,
;
②由可知:,
由(1)知,
,
又的度数比的度数大,
,
,
,
.
【点睛】
此题考查了平行线的性质,属于综合题,有一定难度,熟记“两直线平行,同位角相等”、“两直线平行,内错角相等”及折叠的性质是解题的关键.
7.(1)见解析;(2)10°;(3)
【分析】
(1)过点E作EF∥CD,根据平行线的性质,两直线平行,内错角相等,得出结合已知条件,得出即可证明;
(2)过点E作HE∥CD,设 由(1)得AB∥CD
解析:(1)见解析;(2)10°;(3)
【分析】
(1)过点E作EF∥CD,根据平行线的性质,两直线平行,内错角相等,得出结合已知条件,得出即可证明;
(2)过点E作HE∥CD,设 由(1)得AB∥CD,则AB∥CD∥HE,由平行线的性质,得出再由平分,得出则,则可列出关于x和y的方程,即可求得x,即的度数;
(3)过点N作NP∥CD,过点M作QM∥CD,由(1)得AB∥CD,则NP∥CD∥AB∥QM,根据和,得出根据CD∥PN∥QM,DE∥NB,得出即根据NP∥AB,得出再由,得出由AB∥QM,得出因为,代入的式子即可求出.
【详解】
(1)过点E作EF∥CD,如图,
∵EF∥CD,
∴
∴
∵,
∴
∴EF∥AB,
∴CD∥AB;
(2)过点E作HE∥CD,如图,
设
由(1)得AB∥CD,则AB∥CD∥HE,
∴
∴
又∵平分,
∴
∴
即
解得:即;
(3)过点N作NP∥CD,过点M作QM∥CD,如图,
由(1)得AB∥CD,则NP∥CD∥AB∥QM,
∵NP∥CD,CD∥QM,
∴,
又∵,
∴
∵,
∴
∴
又∵PN∥AB,
∴
∵,
∴
又∵AB∥QM,
∴
∴
∴.
【点睛】
本题考查平行线的性质,角平分线的定义,解决问题的关键是作平行线构造相等的角,利用两直线平行,内错角相等,同位角相等来计算和推导角之间的关系.
8.(1)∠B,EF,CD,∠D;(2)①65°;②180°﹣
【分析】
(1)根据平行线的判定定理与性质定理解答即可;
(2)①如图1,过点E作EF∥AB,当点B在点A的左侧时,根据∠ABC=60°,
解析:(1)∠B,EF,CD,∠D;(2)①65°;②180°﹣
【分析】
(1)根据平行线的判定定理与性质定理解答即可;
(2)①如图1,过点E作EF∥AB,当点B在点A的左侧时,根据∠ABC=60°,∠ADC=70°,参考小亮思考问题的方法即可求∠BED的度数;
②如图2,过点E作EF∥AB,当点B在点A的右侧时,∠ABC=α,∠ADC=β,参考小亮思考问题的方法即可求出∠BED的度数.
【详解】
解:(1)过点E作EF∥AB,
则有∠BEF=∠B,
∵AB∥CD,
∴EF∥CD,
∴∠FED=∠D,
∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠B+∠D;
故答案为:∠B;EF;CD;∠D;
(2)①如图1,过点E作EF∥AB,有∠BEF=∠EBA.
∵AB∥CD,
∴EF∥CD.
∴∠FED=∠EDC.
∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC.
即∠BED=∠EBA+∠EDC,
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,
∴∠EBA=∠ABC=30°,∠EDC=∠ADC=35°,
∴∠BED=∠EBA+∠EDC=65°.
答:∠BED的度数为65°;
②如图2,过点E作EF∥AB,有∠BEF+∠EBA=180°.
∴∠BEF=180°﹣∠EBA,
∵AB∥CD,
∴EF∥CD.
∴∠FED=∠EDC.
∴∠BEF+∠FED=180°﹣∠EBA+∠EDC.
即∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC,
∵BE平分∠ABC,DE平分∠ADC,
∴∠EBA=∠ABC=,∠EDC=∠ADC=,
∴∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC=180°﹣.
答:∠BED的度数为180°﹣.
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质,解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质.
9.(1),;(2)30°;(3)15秒或82.5秒
【分析】
(1)解出式子即可;
(2)根据,用含t的式子表示出,根据(2)中给出的条件得出方程式 ,求出 t的值,进而求出的度数;
(3)根据灯B的
解析:(1),;(2)30°;(3)15秒或82.5秒
【分析】
(1)解出式子即可;
(2)根据,用含t的式子表示出,根据(2)中给出的条件得出方程式 ,求出 t的值,进而求出的度数;
(3)根据灯B的要求,t<150,在这个时间段内A可以转3次,分情况讨论.
【详解】
解:(1).
又,.
,;
(2)设灯转动时间为秒,
如图,作,而
,,
,
,
,
,
(3)设灯转动秒,两灯的光束互相平行.
依题意得
①当时,
两河岸平行,所以
两光线平行,所以
所以,
即:,
解得;
②当时,
两光束平行,所以
两河岸平行,所以
所以,,
解得;
③当时,图大概如①所示
,
解得(不合题意)
综上所述,当秒或82.5秒时,两灯的光束互相平行.
【点睛】
这道题考察的是平行线的性质和一元一次方程的应用.根据平行线的性质找到对应角列出方程是解题的关键.
10.(1)35,35,平行;(2)∠FMN+∠GHF=180°,证明见解析;(3)不变,2
【分析】
(1)根据(α-35)2+|β-α|=0,即可计算α和β的值,再根据内错角相等可证AB∥CD;
(2
解析:(1)35,35,平行;(2)∠FMN+∠GHF=180°,证明见解析;(3)不变,2
【分析】
(1)根据(α-35)2+|β-α|=0,即可计算α和β的值,再根据内错角相等可证AB∥CD;
(2)先根据内错角相等证GH∥PN,再根据同旁内角互补和等量代换得出∠FMN+∠GHF=180°;
(3)作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R,先根据同位角相等证ER∥FQ,得∠FQM1=∠R,设∠PER=∠REB=x,∠PM1R=∠RM1B=y,得出∠EPM1=2∠R,即可得=2.
【详解】
解:(1)∵(α-35)2+|β-α|=0,
∴α=β=35,
∴∠PFM=∠MFN=35°,∠EMF=35°,
∴∠EMF=∠MFN,
∴AB∥CD;
(2)∠FMN+∠GHF=180°;
理由:由(1)得AB∥CD,
∴∠MNF=∠PME,
∵∠MGH=∠MNF,
∴∠PME=∠MGH,
∴GH∥PN,
∴∠GHM=∠FMN,
∵∠GHF+∠GHM=180°,
∴∠FMN+∠GHF=180°;
(3)的值不变,为2,
理由:如图3中,作∠PEM1的平分线交M1Q的延长线于R,
∵AB∥CD,
∴∠PEM1=∠PFN,
∵∠PER=∠PEM1,∠PFQ=∠PFN,
∴∠PER=∠PFQ,
∴ER∥FQ,
∴∠FQM1=∠R,
设∠PER=∠REB=x,∠PM1R=∠RM1B=y,
则有:,
可得∠EPM1=2∠R,
∴∠EPM1=2∠FQM1,
∴==2.
【点睛】
本题主要考查平行线的判定与性质,熟练掌握内错角相等证平行,平行线同旁内角互补等知识是解题的关键.
三、解答题
11.[感知]见解析;[探究]70°;[应用](1)35;(2)或
【分析】
[感知]过点P作PM∥AB,根据平行线的性质得到∠1=∠AEP,∠2+∠PFD=180°,求出∠2的度数,结合∠1可得结果;
解析:[感知]见解析;[探究]70°;[应用](1)35;(2)或
【分析】
[感知]过点P作PM∥AB,根据平行线的性质得到∠1=∠AEP,∠2+∠PFD=180°,求出∠2的度数,结合∠1可得结果;
[探究]过点P作PM∥AB,根据AB∥CD,PM∥CD,进而根据平行线的性质即可求∠EPF的度数;
[应用](1)如图③所示,在[探究]的条件下,根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G,可得∠G的度数;
(2)画出图形,分点A在点B左侧和点A在点B右侧,两种情况,分别求解.
【详解】
解:[感知]如图①,过点P作PM∥AB,
∴∠1=∠AEP=40°(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥CD,
∴PM∥CD(平行于同一条直线的两直线平行),
∴∠2+∠PFD=180°(两直线平行,同旁内角互补),
∴∠PFD=130°(已知),
∴∠2=180°-130°=50°,
∴∠1+∠2=40°+50°=90°,即∠EPF=90°;
[探究]如图②,过点P作PM∥AB,
∴∠MPE=∠AEP=50°,
∵AB∥CD,
∴PM∥CD,
∴∠PFC=∠MPF=120°,
∴∠EPF=∠MPF-∠MPE=120°-50°=70°;
[应用](1)如图③所示,
∵EG是∠PEA的平分线,FG是∠PFC的平分线,
∴∠AEG=∠AEP=25°,∠GFC=∠PFC=60°,
过点G作GM∥AB,
∴∠MGE=∠AEG=25°(两直线平行,内错角相等)
∵AB∥CD(已知),
∴GM∥CD(平行于同一条直线的两直线平行),
∴∠GFC=∠MGF=60°(两直线平行,内错角相等).
∴∠G=∠MGF-∠MGE=60°-25°=35°.
故答案为:35.
(2)当点A在点B左侧时,
如图,故点E作EF∥AB,则EF∥CD,
∴∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF,
∵平分平分,,
∴∠ABE=∠BEF=,∠CDE=∠DEF=,
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=;
当点A在点B右侧时,
如图,故点E作EF∥AB,则EF∥CD,
∴∠DEF=∠CDE,∠ABG=∠BEF,
∵平分平分,,
∴∠DEF=∠CDE=,∠ABG=∠BEF=,
∴∠BED=∠DEF-∠BEF=;
综上:∠BED的度数为或.
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论,角平分线的定义,解决本题的关键是熟练运用平行线的性质.
12.(1)平行,理由见解析;(2)35°或145°,画图、过程见解析;(3)50°或130°或60°或120°
【分析】
(1)过点C作CF∥AB,根据∠B=50°,∠C=85°,∠D=35°,即可得C
解析:(1)平行,理由见解析;(2)35°或145°,画图、过程见解析;(3)50°或130°或60°或120°
【分析】
(1)过点C作CF∥AB,根据∠B=50°,∠C=85°,∠D=35°,即可得CF∥ED,进而可以判断AB平行于ED;
(2)根据题意作AB∥CD,即可∠B=∠C=35°;
(3)分别画图,根据平行线的性质计算出∠B的度数.
【详解】
解:(1)AB平行于ED,理由如下:
如图2,过点C作CF∥AB,
∴∠BCF=∠B=50°,
∵∠BCD=85°,
∴∠FCD=85°-50°=35°,
∵∠D=35°,
∴∠FCD=∠D,
∴CF∥ED,
∵CF∥AB,
∴AB∥ED;
(2)如图,即为所求作的图形.
∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠C=35°,
∴∠B的度数为:35°;
∵A′B∥CD,
∴∠ABC+∠C=180°,
∴∠B的度数为:145°;
∴∠B的度数为:35°或145°;
(3)如图2,过点C作CF∥AB,
∵AB∥DE,
∴CF∥DE,
∴∠FCD=∠D=35°,
∵∠BCD=85°,
∴∠BCF=85°-35°=50°,
∴∠B=∠BCF=50°.
答:∠B的度数为50°.
如图5,过C作CF∥AB,则AB∥CF∥CD,
∴∠FCD=∠D=35°,
∵∠BCD=85°,
∴∠BCF=85°-35°=50°,
∵AB∥CF,
∴∠B+∠BCF=180°,
∴∠B=130°;
如图6,∵∠C=85°,∠D=35°,
∴∠CFD=180°-85°-35°=60°,
∵AB∥DE,
∴∠B=∠CFD=60°,
如图7,同理得:∠B=35°+85°=120°,
综上所述,∠B的度数为50°或130°或60°或120°.
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质,解决本题的关键是区分平行线的判定与性质,并熟练运用.
13.(1)①见解析;②;见解析(2)①∠AFG+∠EDG=∠DGF;②∠AFG-∠EDG=∠DGF
【分析】
(1)①根据题意画出图形;②依据DE∥AB,DF∥AC,可得∠EDF+∠AFD=180°,∠
解析:(1)①见解析;②;见解析(2)①∠AFG+∠EDG=∠DGF;②∠AFG-∠EDG=∠DGF
【分析】
(1)①根据题意画出图形;②依据DE∥AB,DF∥AC,可得∠EDF+∠AFD=180°,∠A+∠AFD=180°,进而得出∠EDF=∠A;
(2)①过G作GH∥AB,依据平行线的性质,即可得到∠AFG+∠EDG=∠FGH+∠DGH=∠DGF;②过G作GH∥AB,依据平行线的性质,即可得到∠AFG-∠EDG=∠FGH-∠DGH=∠DGF.
【详解】
解:(1)①如图,
②∵DE∥AB,DF∥AC,
∴∠EDF+∠AFD=180°,∠A+∠AFD=180°,
∴∠EDF=∠A;
(2)①∠AFG+∠EDG=∠DGF.
如图2所示,过G作GH∥AB,
∵AB∥DE,
∴GH∥DE,
∴∠AFG=∠FGH,∠EDG=∠DGH,
∴∠AFG+∠EDG=∠FGH+∠DGH=∠DGF;
②∠AFG-∠EDG=∠DGF.
如图所示,过G作GH∥AB,
∵AB∥DE,
∴GH∥DE,
∴∠AFG=∠FGH,∠EDG=∠DGH,
∴∠AFG-∠EDG=∠FGH-∠DGH=∠DGF.
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质:两直线平行,内错角相等.正确的作出辅助线是解题的关键.
14.(1)①90;②t为或或或或或或;(2)①正确,②错误,证明见解析.
【分析】
(1)①由平角的定义,结合已知条件可得:从而可得答案;②当时,有两种情况,画出符合题意的图形,利用平行线的性质与角的和
解析:(1)①90;②t为或或或或或或;(2)①正确,②错误,证明见解析.
【分析】
(1)①由平角的定义,结合已知条件可得:从而可得答案;②当时,有两种情况,画出符合题意的图形,利用平行线的性质与角的和差求解旋转角,可得旋转时间;当时,有两种情况,画出符合题意的图形,利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角,可得旋转时间;当时,有两种情况,画出符合题意的图形,利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角,可得旋转时间;当时,画出符合题意的图形,利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角,可得旋转时间;当时的旋转时间与相同;
(2)分两种情况讨论:当在上方时,当在下方时,①分别用含的代数式表示,从而可得的值;②分别用含的代数式表示,得到是一个含的代数式,从而可得答案.
【详解】
解:(1)①∵∠DPC=180°﹣∠CPA﹣∠DPB,∠CPA=60°,∠DPB=30°,
∴∠DPC=180﹣30﹣60=90°,
故答案为90;
②如图1﹣1,当BD∥PC时,
∵PC∥BD,∠DBP=90°,
∴∠CPN=∠DBP=90°,
∵∠CPA=60°,
∴∠APN=30°,
∵转速为10°/秒,
∴旋转时间为3秒;
如图1﹣2,当PC∥BD时,
∵∠PBD=90°,
∴∠CPB=∠DBP=90°,
∵∠CPA=60°,
∴∠APM=30°,
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°=210°,
∵转速为10°/秒,
∴旋转时间为21秒,
如图1﹣3,当PA∥BD时,即点D与点C重合,此时∠ACP=∠BPD=30°,则AC∥BP,
∵PA∥BD,
∴∠DBP=∠APN=90°,
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°,
∵转速为10°/秒,
∴旋转时间为9秒,
如图1﹣4,当PA∥BD时,
∵∠DPB=∠ACP=30°,
∴AC∥BP,
∵PA∥BD,
∴∠DBP=∠BPA=90°,
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°+180°=270°,
∵转速为10°/秒,
∴旋转时间为27秒,
如图1﹣5,当AC∥DP时,
∵AC∥DP,
∴∠C=∠DPC=30°,
∴∠APN=180°﹣30°﹣30°﹣60°=60°,
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为60°,
∵转速为10°/秒,
∴旋转时间为6秒,
如图1﹣6,当时,
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为
∵转速为10°/秒,
∴旋转时间为秒,
如图1﹣7,当AC∥BD时,
∵AC∥BD,
∴∠DBP=∠BAC=90°,
∴点A在MN上,
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°,
∵转速为10°/秒,
∴旋转时间为18秒,
当时,如图1-3,1-4,旋转时间分别为:,
综上所述:当t为或或或或或或时,这两个三角形是“孪生三角形”;
(2)如图,当在上方时,
①正确,
理由如下:设运动时间为t秒,则∠BPM=2t,
∴∠BPN=180°﹣2t,∠DPM=30°﹣2t,∠APN=3t.
∴∠CPD=180°﹣∠DPM﹣∠CPA﹣∠APN=90°﹣t,
∴
②∠BPN+∠CPD=180°﹣2t+90°﹣t=270°﹣3t,可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化,不为定值,结论错误.
当在下方时,如图,
①正确,
理由如下:设运动时间为t秒,则∠BPM=2t,
∴∠BPN=180°﹣2t,∠DPM= ∠APN=3t.
∴∠CPD=
∴
②∠BPN+∠CPD=180°﹣2t+90°﹣t=270°﹣3t,可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化,不为定值,结论错误.
综上:①正确,②错误.
【点睛】
本题考查的是角的和差倍分关系,平行线的性质与判定,角的动态定义(旋转角)的理解,掌握分类讨论的思想是解题的关键.
15.(1)证明见解析;(2)∠F=55°;(3)∠MQN=∠ACB;理由见解析.
【分析】
(1)首先根据平行线的性质得出∠ACE=∠A,∠ECD=∠B,然后通过等量代换即可得出答案;
(2)首先根据角
解析:(1)证明见解析;(2)∠F=55°;(3)∠MQN=∠ACB;理由见解析.
【分析】
(1)首先根据平行线的性质得出∠ACE=∠A,∠ECD=∠B,然后通过等量代换即可得出答案;
(2)首先根据角平分线的定义得出∠FCD=∠ECD,∠HAF=∠HAD,进而得出∠F=(∠HAD+∠ECD),然后根据平行线的性质得出∠HAD+∠ECD的度数,进而可得出答案;
(3)根据平行线的性质及角平分线的定义得出,, ,再通过等量代换即可得出∠MQN=∠ACB.
【详解】
解:(1)∵CEAB,
∴∠ACE=∠A,∠ECD=∠B,
∵∠ACD=∠ACE+∠ECD,
∴∠ACD=∠A+∠B;
(2)∵CF平分∠ECD,FA平分∠HAD,
∴∠FCD=∠ECD,∠HAF=∠HAD,
∴∠F=∠HAD+∠ECD=(∠HAD+∠ECD),
∵CHAB,
∴∠ECD=∠B,
∵AHBC,
∴∠B+∠HAB=180°,
∵∠BAD=70°,
,
∴∠F=(∠B+∠HAD)=55°;
(3)∠MQN=∠ACB,理由如下:
平分,
.
平分,
.
,
.
∴∠MQN=∠MQG﹣∠NQG
=180°﹣∠QGR﹣∠NQG
=180°﹣(∠AQG+∠QGD)
=180°﹣(180°﹣∠CQG+180°﹣∠QGC)
=(∠CQG+∠QGC)
=∠ACB.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义,掌握平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键.
四、解答题
16.(1)120°;(2)∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP,证明见详解.
【分析】
(1)根据题意,当点与点、在一直线上时,作出图形,由AB∥CD,∠FHP=60°,可以推出
解析:(1)120°;(2)∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP,证明见详解.
【分析】
(1)根据题意,当点与点、在一直线上时,作出图形,由AB∥CD,∠FHP=60°,可以推出=60°,计算∠PFD即可;
(2)根据点P是动点,分三种情况讨论:①当点P在AB与CD之间时;②当点P在AB上方时;③当点P在CD下方时,分别求出∠AEP、∠EPF、∠CFP之间的关系即可.
【详解】
(1)当点与点、在一直线上时,作图如下,
∵AB∥CD,∠FHP=60°,,
∴=∠FHP=60°,
∴∠EFD=180°-∠GEP=180°-60°=120°,
∴∠PFD=120°,
故答案为:120°;
(2)满足关系式为∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP.
证明:根据点P是动点,分三种情况讨论:
①当点P在AB与CD之间时,
过点P作PQ∥AB,如下图,
∵AB∥CD,
∴PQ∥AB∥CD,
∴∠AEP=∠EPQ,∠CFP=∠FPQ,
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=∠AEP+∠CFP,
即∠EPF =∠AEP+∠CFP;
②当点P在AB上方时,如下图所示,
∵∠AEP=∠EPF+∠EQP,
∵AB∥CD,
∴∠CFP=∠EQP,
∴∠AEP=∠EPF+∠CFP;
③当点P在CD下方时,
∵AB∥CD,
∴∠AE
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