第三讲非齐次定解问题-PPT.pptx

第三讲非齐次定解问题第三讲非齐次定解问题利利用用叠叠加加原原理理,上上述述初初边边值值问问题题可可以以分分解解为为下下面面两两个个初初边边值值问问题题:2 2、非齐次弦振动方程非齐次弦振动方程由于方程中非齐次项得出现由于方程中非齐次项得出现,故若直接以代入方程故若直接以代入方程,不能实现不能实现变量分离。变量分离。下面下面,我们求解上述初边值问题。首先注意到微分方我们求解上述初边值问题。首先注意到微分方程及定解条件都就是线性得。对于这种定解问题程及定解条件都就是线性得。对于这种定解问题,同样存在同样存在叠加原理叠加原理,即若即若u u1 1(x,t)(x,t)与与u u2 2(x,t)(x,t)分别就是上述初边值问题分别就是上述初边值问题(I)(I)与与(II)(II)得解得解,那么那么u=uu=u1 1(x,t)(x,t)+u u2 2(x,t)(x,t)就一定就是原初值问就一定就是原初值问题得解。这样求解初边值问题就转化为分别求解齐次方程带题得解。这样求解初边值问题就转化为分别求解齐次方程带非齐次初始条件得初值问题非齐次初始条件得初值问题(I)(I)与非齐次方程带齐次初始条与非齐次方程带齐次初始条件得初值问题件得初值问题(II)(II)单独初始振动状态单独初始振动状态对振动过程得影响。对振动过程得影响。单独考虑外力因素单独考虑外力因素对振动过程得影响。对振动过程得影响。3 3、齐次化原理齐次化原理现在讨论非齐次方程得初边值问题现在讨论非齐次方程得初边值问题为了求解此问题为了求解此问题,我们可以利用下述得齐次化原理我们可以利用下述得齐次化原理,把非齐次把非齐次方程得求解问题转化为相应得齐次方程得问题来解决方程得求解问题转化为相应得齐次方程得问题来解决,这样就这样就可以直接利用前面关于齐次方程得结果。可以直接利用前面关于齐次方程得结果。由弦振动方程得推导过程来瞧由弦振动方程得推导过程来瞧,自由项自由项 f(x,t)=F(x,t)/表示时表示时刻刻t时在时在x处单位质量受到得外力处单位质量受到得外力,而而u/t表示速度。如果我们表示速度。如果我们把一个时间段把一个时间段0,t划分成若干小得时段划分成若干小得时段 tj=tj+1-tj (j=1,2,m),在每一个小得时段在每一个小得时段 tj 中中,f(x,t)可以瞧作与时可以瞧作与时间无关间无关,从而以从而以 f(x,tj)来表示。于就是在时段来表示。于就是在时段tj中自由项所产中自由项所产生得速度改变量为生得速度改变量为f(x,tj)tj。如果把这个速度改变量瞧作在时如果把这个速度改变量瞧作在时刻刻t=tj 时得初始速度时得初始速度,它所产生得振动可以由下面得齐次方程它所产生得振动可以由下面得齐次方程得初值问题描述得初值问题描述:将其解记为将其解记为(x,t;x,t;t tj j,t tj j),),按照叠加原理按照叠加原理,自由项自由项f(x,t)f(x,t)所所产生得效果可以瞧成无数个这种瞬时作用得叠加产生得效果可以瞧成无数个这种瞬时作用得叠加,这样定解问这样定解问题题(II)(II)得解得解u(x,t)u(x,t)应表示为应表示为由由于于(2(2、16)16)为为线线性性方方程程,所所以以 (x,t;x,t;t tj j,t tj j)与与t tj j 成成正正比比,即如果记即如果记W(W(x,t;x,t;)为如下齐次方程得定解问题得解为如下齐次方程得定解问题得解那么有(x,t;tj,tj)=tjW(x,t;tj)成立。于就是定解问题(IIII)得解可以表示为于于就就是是我我们们可可以以得得到到如如下下得得齐齐次次化化原原理理:若若W(x,t;)就就是是初初边边值值问问题题(2、28)得得解解(其其中中就就是是参参数数),则则初初边值问题边值问题(IIII)得解可以表示为得解可以表示为为了写出W(x,t;)得具体表达式,在初边值问题(2、28)中作变换t=t-,于就是有(2、29)与初边值问题()属于同一类,直接利用前面分离变量法得结果我们得到:于就是根据齐次化原理,初边值问题(IIII)得解为 可以证明,在f(x,t)二阶连续可导,且在边界满足f(0,t)=f(l,t)=0得假设下,上面得级数确实就是初边值问题(IIII)得解。例题例题2、6、3,p4212大家应该也有点累了，稍作休息大家应该也有点累了，稍作休息大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流大家有疑问的，可以询问和交流3-43-4、非齐次边界条件得情形非齐次边界条件得情形前前面面两两节节讨讨论论得得问问题题都都就就是是齐齐次次边边界界条条件件,但但大大多多实实际际并并非非都都就就是是齐齐次次得得,因因此此需需要要讨讨论论非非齐齐次次边边界界条条件件问问题题。现现讨讨论论弦弦振振动动方方程程具具有有非非齐齐次次边边界界条条件件得得初初边值问题边值问题,即即假设连续性条件与假设连续性条件与边界取值条件满足边界取值条件满足1 1、边界条件得齐次化、边界条件得齐次化:为此引入新得未知函数为此引入新得未知函数 与辅与辅助函数助函数 ,令令 若能找到函数若能找到函数 ,具备性质具备性质其满足齐次边界条件其满足齐次边界条件 则新函数则新函数2、辅助函数得选取、辅助函数得选取对于任意得对于任意得t,在平面在平面 上上,满足满足 条件条件,即过即过 两点得曲线有无穷多个两点得曲线有无穷多个,取最简单取最简单得直线。得直线。令令得得:故有故有