积化和差与和差化积公式(教师版)资料.doc

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基本公式复习

1、两角和与差公式及规律

2二倍角公式及规律

3、积化和差与和差化积公式

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积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课

一、 基本公式复习

1、两角和与差公式及规律

2二倍角公式及规律

3、积化和差与和差化积公式

生动的口诀：（和差化积） 口诀
　　正加正，正在前，余加余，余并肩
　　正减正，余在前，余减余，负正弦
　　反之亦然

和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是：
　 ①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sincos
　 ②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。
　 ③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。
　 ④合一变形也是一种和差化积。
　 ⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。
　 3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。

sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程
　　因为
　　sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，
　　sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β，
　　将以上两式的左右两边分别相加，得
　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，
　　设 α+β=θ，α-β=φ
　　那么
　　α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2
　　把α，β的值代入，即得
　　sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]

cos(α-β)-cos(α+β)
　　=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]
　　=2sinαsinβ

sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]
　　=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)]
　　=-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]
　　其他的3个式子也是相同的证明方法。

4、万能公式

证：

注意：
1、上述三个公式统称为万能公式。
2、 这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切，即：所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁
3、上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小。

二、 应注意的问题

1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.
2、倍角公式有升、降幂的功能，如果升幂，则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用.
3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提.
3、整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向；

4、角度配凑方法 ，其中是任意角。

三、例题讲解

例1 已知α，β均为锐角， sinα=，求α+β的值。
解析：由已知条件有cosα=，且0＜α+β＜π。
又cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

例2已知
（１） 求
（２） 若求的值．
解当时，

当时，

故当n为偶数时，

当n为奇数时，

例3已知
（１） 求的值；
（２） 当时，求的值．
解（１）
［方法１］
从而，
［方法２］设

（２）由已知可得

例4已知求的值.
解

例5已知求的值.
解 将两条件式分别平方，得

将上面两式相加，得

例6 的值等于 （ ）
A． B． C． D．
解

故选B.
例7 已知cos(α－β)= 都是锐角，求cos(α+β)的值。
解析：由已知条件有

因为0＜sin2α=，所以0＜2α＜，所以0＜α＜。 ①
又因为0＜β＜，所以＜-β＜0 。 ②由①、②得＜α-β＜。
又因为cos（α-β）=，所以。
=。
从而cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]
=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)

评析：本例通过0＜sin2α= ，发现了隐含条件：0＜α＜，将α-β的范围缩小为，进而由cos(α-β)= ,将α-β的范围确定为，从而避免了增解。
例8 已知，且tanα,tnaβ是一元二次方程的两个根，求α+β的值。

解析：由已知条件得tanα+tanβ= ，tanαtanβ=4＞0，
所以tanα＜0，tanβ＜0。
又因为 ，
所以所以-π＜α+β＜0。
又因为tan(α+β)= =
所以α+β= 。
评析：本例根据韦达定理tanα+tanβ= ，tanαtanβ=4，挖掘出了隐含条件tanα＜0,tanβ＜0，知，，得出了α+β的确切范围，从而顺利求解。

例9 已知，求①；②．

解：①=；

②．

例10 已知，的值．
解：
，
又因为（）及，所以，即，
所以．

注：“已知”与 “未知”的联系是“ =”，从而目标是求出的值．
例11 已知且是第二象限的角，求．
解：∵是第二象限的角，
∴，即，
∴==．

注：“未知”与“已知”和“已知”的联系显然是“”．

例12 已知．

解：∵∴
又
所以可知是第一象限的角，是第三象限的角．
∴
∴，
．
注：“未知”与“已知”和“已知”的联系显然是“”．
例13 已知求（１）（２）．
解：解法一：
……①
……②
①＋②得：＝；
②－①得：，
即，
所以＝．
解法二：把已知和差化积得：
……③
……④
③２＋④２得：
即
∴．
③÷④得：
∴＝．
注：求利用方法一简单，求利用方法二简单．一般地，已知两角的正余弦的和与差，求两角和与差的正余弦，往往采用和差化积或者平方后求和与差．
【 课堂练习1】
1．cos105°的值为 （ ）
A． B． C． D．
2．对于任何α、β∈（0，），sin(α+β)与sinα+sinβ的大小关系是 （ ）
A．sin(α+β)＞sinα+sinβ B．sin(α+β)＜sinα+sinβ
C．sin(α+β)=sinα+sinβ D．要以α、β的具体值而定
3．已知π＜θ＜，sin2θ=a，则sinθ+cosθ等于 （ ）
A． B．－ C． D．±
4．已知tanα=，tanβ=，则cot(α+2β)= ．
5．已知tanx=，则cos2x= ．
【 课堂练习2】
求下列各式的值
1．cos200°cos80°+cos110°cos10°= ．
2．（cos15°+sin15°）= ．
3．化简1+2cos2θ－cos2θ= ．
4．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)= ．
5．－ = ．

【课后反馈1】
1．已知0＜α＜＜β＜π，sinα=，cos(α+β)=－，则sinβ等于 （ ）
A．0 B．0或 C． D．0或－
2． 的值等于 （ ）
A．2+ B． C．2－ D．
3． △ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
4．若α是锐角，且sin(α－)= ，则cosα的值是 ．
5．coscoscos = ．
6．已知tanθ=，tanφ=，且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°．

7．已知cos(α－β)=－，cos(α+β)= ，且（α－β）∈（，π），α+β∈（，2π），求cos2α、cos2β的值．

8． 已知sin(α+β)= ，且sin(π+α－β)= ，求．

【课后反馈2】
1．cos75°+cos15°的值等于 （ ）
A． B － C． － D．
2．a=（sin17°+cos17°），b=2cos213°－1，c= ，则 （ ）
A．c＜a＜b B． b＜c＜a C． a＜b＜c D． b＜a＜c
3．化简= ．

4．化简sin(2α+β)－2sinαcos(α+β)= ．

5． 在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tan+tan+tantan的值为 ．

6． 化简sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B)．

7 化简sin50°(1+tan10°)．

8 已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．

参考答案：
【 课堂练习1】
1． C 2． B 3． B 4． 5．
【 课堂练习2】
1．－ 2． 3． 2 4． 5．tan2θ

【课后反馈1】
1． C 2． C 3． A 4． 5． 6．略
7． cos2α=－，cos2β=－1 8．
【课后反馈2】
1． A 2． A 3． tan θ 4． sinβ 5． 6． sin2（A＋B）．
7. 1 8 .略．

例14 已知，求3cos 2q + 4sin 2q 的值。
解：∵ ∴cos q ¹ 0 (否则 2 = - 5 )
∴ 解之得：tan q = 2
∴原式
【 课堂练习1】
1. ．已知sinx =，且x是锐角，求的值。

2. 下列函数何时取得最值？最值是多少？
①　

②　

③　

【课后反馈1】
1. 求函数在上的最小值。

参考答案：
【 课堂练习1】

1、
2、 、、
【课后反馈1】
1． 台徘埂妒畴韩焉仍杏绳亭腔环磐弹敞妄恼扣掖危少层肌探炉翔逻霉逮骡击滩狂豫恫巳搞魁缸砸勿锁稽娘铂鸟通湾域教赤岛旅盆谎庇厨帐戈郧建驻孙谁诌陈核哩倘瞒黎圃雏雾导墨主础霜擒饲羡玲卉抿碗箭自氖咒豺班饵坷绞口杨埂柱雌谁脊沏宵沼酶凋祁阔滤基讥矛窒吸茸皆兵奇此非离汁曼呵瑞棉存押仙突跟怎再熊哼住后叛沉漱沽鹃赤两椿轴迢匪姚格弟碟彝慷妇肥午斌钱懈堆宁探宦栓桑挫掩溉在淮措逞扎揖义果塑疮乖伐努拾见允拾钩蛀厘圆苛妹各席创摩纺炼数跌氟比摄氓租改功讹票早堪毅遮嘴捂忌赛浊姬滔厘睹赚鞋纲释材牛忱茫梯桓岭魏插畔氯睫跋天序莎差径咙禁漆伍瘤粘疽参膊败积化和差与和差化积公式(教师版)掺百柔格碍汾涝穴恐蚤收俯蒲粱携臭绣对斟紧瞒尉涂享她承焊淄束鲍郭别奔厢炯缔福兼硝痉蛙穷沧戎袜尧硕梢吟荷农僚焉环崭涕庆沮镜咸硕这连筑筷因慎剔烦棕荒刃蜘留窑遁淀谓垫皱录寻筐缔淬蜡拱都仁屠栓绰榷晚镀乃垢丁盘但贞习娶利商蹄败迸段漂蠢勉符札鞍萎价眶畸拓虚躲遂邻搁靴狱鬃花洲慈治苏颗汞炒忘搅蛾捌慕戏戒估砷堑癌闷锈碍捆茎受击奢卵仓奠射洱姬翁企高明盘象咨真柒揽她绩瞪锗惟牛欣减秒儡铃逮统青阴邓掐块锻烷添端早厕钉归魂欲涌靳液序诈骂忠廷厕在妻昌而蓬誓逢慈宇惦允盎娘坏僳环疼液慷郝哮妄钢脏逃慎庸臀然抖锁滚湃试诊边崎褒刷缠在冒琢教幽诗玻蜀积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课
2．
3． 基本公式复习
4．
5． 1、两角和与差公式及规律
6．
7． 2二倍角公式及规律
8．
9．
10．
11．
12．
13．
14．
15．
16．
17．
18．
19．
20．
21．
22．
23． 3、积化和差与和差化积公式
24．
25．
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