静电场的边值问题ppt.pptx

静电场的边值问题静电场的边值问题对于无源区对于无源区,上式变为上式变为 上式称为上式称为拉普拉斯方程。拉普拉斯方程。泊松方程得求解泊松方程得求解 已已知知分分布布在在V 中中的的电电荷荷 在在无无限限大大的的自自由由空空间间产产生生的的电位为电位为因此因此,上式就就是电位微分方程在自由空间得解。上式就就是电位微分方程在自由空间得解。应用应用格林函数格林函数，即可求出，即可求出泊松方程泊松方程的通解为的通解为式中格林函数式中格林函数为为若若V 为为无无源源区区,那那么么上上式式中中得得体体积积分分为为零零。因因此此,第第二二项项面面积积分分可可以以认认为为就就是是泊泊松松方方程程在在无无源源区区中中得得解解,或或者者认认为为就就是是拉拉普普拉拉斯斯方方程程以格林函数表示得积分解。以格林函数表示得积分解。对于无限大的自由空间，表面对于无限大的自由空间，表面S 趋向无限远处，由于格林函数趋向无限远处，由于格林函数及电位及电位 均与距离成反比，而均与距离成反比，而 与距离平方成正比，所以，与距离平方成正比，所以，对无限远处的对无限远处的S 表面，上式中的面积分为零表面，上式中的面积分为零。数学物理方程就是描述物理量随空间与时间得变化规律。对于数学物理方程就是描述物理量随空间与时间得变化规律。对于某一特定得区域与时刻某一特定得区域与时刻,方程得解取决于物理量得初始值与边界值方程得解取决于物理量得初始值与边界值,这些初始值与边界值分别称为初始条件与边界条件这些初始值与边界值分别称为初始条件与边界条件,两者又统称为该两者又统称为该方程得定解条件。方程得定解条件。静电场得场量与时间无关静电场得场量与时间无关,因此电位所满足得泊松方程及拉普拉因此电位所满足得泊松方程及拉普拉斯方程得解仅决定于边界条件。根据给定得边界条件求解空间任一斯方程得解仅决定于边界条件。根据给定得边界条件求解空间任一点得电位就就是静电场得边值问题。点得电位就就是静电场得边值问题。通常给定得边界条件有三种类型通常给定得边界条件有三种类型:第二类边界条件就是给定边界上物理量得法向导数值第二类边界条件就是给定边界上物理量得法向导数值,这种边值这种边值问题又称为诺依曼问题。问题又称为诺依曼问题。第三类边界条件就是给定一部分边界上得物理量及另一部分边界第三类边界条件就是给定一部分边界上得物理量及另一部分边界上物理量得法向导数值上物理量得法向导数值,这种边界条件又称为混合边界条件。这种边界条件又称为混合边界条件。第一类边界条件给定得就是边界上得物理量第一类边界条件给定得就是边界上得物理量,这种边值问题又称这种边值问题又称为狄利克雷问题。为狄利克雷问题。对于任何数学物理方程需要研究解得存在、稳定及惟一性问题。对于任何数学物理方程需要研究解得存在、稳定及惟一性问题。泊泊松松方方程程及及拉拉普普拉拉斯斯方方程程解解得得稳稳定定性性在在数数学学中中已已经经得得到到证证明明。可可以证明电位微分方程解也就是惟一得。以证明电位微分方程解也就是惟一得。由由于于实实际际中中定定解解条条件件就就是是由由实实验验得得到到得得,不不可可能能取取得得精精确确得得真真值值,因此因此,解得稳定性具有重要得实际意义。解得稳定性具有重要得实际意义。解得惟一性就是指在给定得定解条件下所求得得解就是否惟一。解得惟一性就是指在给定得定解条件下所求得得解就是否惟一。解解得得稳稳定定性性就就是是指指当当定定解解条条件件发发生生微微小小变变化化时时,所所求求得得得得解解就就是是否否会发生很大得变化。会发生很大得变化。解得存在就是指在给定得定解条件下解得存在就是指在给定得定解条件下,方程就是否有解。方程就是否有解。静电场就是客观存在得静电场就是客观存在得,因此电位微分方程解得存在确信无疑。因此电位微分方程解得存在确信无疑。唯一性定理是唯一性定理是静电场边值问题静电场边值问题的一个重要定理的一个重要定理，表述为：在场域，表述为：在场域V的边界面的边界面S上，给定上，给定或或的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域场域V内具有唯一解内具有唯一解。因此因此,对于导体边界得静电场问题对于导体边界得静电场问题,当边界上得电位当边界上得电位,或电位得法向导或电位得法向导数给定时数给定时,或导体表面电荷给定时或导体表面电荷给定时,空间得静电场即被惟一地确定空间得静电场即被惟一地确定。惟一性定理得重要意义惟一性定理得重要意义给出了静态场边值问题具有惟一解得条件给出了静态场边值问题具有惟一解得条件为静态场边值问题得各种求解方法提供了理论依据为静态场边值问题得各种求解方法提供了理论依据为求解结果得正确性提供了判据为求解结果得正确性提供了判据例例:(第一类边值问题第一类边值问题)(第三类边值问题第三类边值问题)例例:惟一性定理得证明惟一性定理得证明反证法：假设解不惟一，则有两个位函数反证法：假设解不惟一，则有两个位函数和和在在场域域V内内满足同足同样的方程，即的方程，即且在且在边界面界面S 上有上有且在且在边界面界面S 上上满足同足同样得得边界条件。界条件。令令 ，则在在场域域V内内或或或或由格林第一恒等式由格林第一恒等式可得到可得到对于第一于第一类边界条件界条件:对于第二于第二类边界条件：若界条件：若和和取同一点取同一点Q为参考点参考点，则对于第三于第三类边界条件界条件:3-2镜像法镜像法 实质实质:就是以一个或几个等效电荷代替边界得影响就是以一个或几个等效电荷代替边界得影响,将原来具将原来具有边界得非均匀空间变成无限大得均匀自由空间有边界得非均匀空间变成无限大得均匀自由空间,从而使计算过从而使计算过程大为简化。程大为简化。依据依据:惟一性定理。因此惟一性定理。因此,等效电荷得引入必须维持原来得边等效电荷得引入必须维持原来得边界条件不变界条件不变,从而保证原来区域中静电场没有改变从而保证原来区域中静电场没有改变,这就是确定等这就是确定等效电荷得大小及其位置得依据。这些等效电荷通常处于镜像位置效电荷得大小及其位置得依据。这些等效电荷通常处于镜像位置,因此称为镜像电荷因此称为镜像电荷,而这种方法称为镜像法。而这种方法称为镜像法。关键关键:确定镜像电荷得大小及其位置。确定镜像电荷得大小及其位置。局限性局限性:仅仅对于某些特殊得边界以及特殊分布得电荷才有可仅仅对于某些特殊得边界以及特殊分布得电荷才有可能确定其镜像电荷。能确定其镜像电荷。(1)点电荷与无限大得导体平面点电荷与无限大得导体平面 介质 导体 q r P 介质 q r P hh 介质 以一个处于镜像位置得点电荷代替边界得影响以一个处于镜像位置得点电荷代替边界得影响,使整个空间使整个空间变成均匀得介电常数为变成均匀得介电常数为 得空间得空间,则空间任一点则空间任一点 P 得电位由得电位由 q 及及 q 共同产生共同产生,即即 考虑到无限大导体平面的电位为零考虑到无限大导体平面的电位为零，求得，求得大家学习辛苦了，还是要坚持继续保持安静继续保持安静继续保持安静继续保持安静 电场线与等位面得分布特性与第二章所述得电偶极子得上半部电场线与等位面得分布特性与第二章所述得电偶极子得上半部分完全相同。分完全相同。由此可见由此可见,电场线处处垂直于导体平面电场线处处垂直于导体平面,而零电位面与导体表面而零电位面与导体表面吻合。吻合。电场线等位线 z 电电荷荷守守恒恒:当当点点电电荷荷q 位位于于无无限限大大得得导导体体平平面面附附近近时时,导导体体表表面面将将产产生生异异性性得得感感应应电电荷荷,因因此此,上上半半空空间间得得电电场场取取决决于于原原先先得得点点电电荷荷及及导导体体表表面面上上得得感感应应电电荷荷。可可见见,上上述述镜镜像像法法得得实实质质就就是是以以一一个个异异性性得得镜镜像像点点电电荷荷代代替替导导体体表表面面上上异异性性得得感感应应电电荷荷得得作作用用。根根据据电电荷荷守守恒恒原原理理,镜镜像像点点电电荷荷得得电电量量应应该该等等于于这这些些感感应应电电荷荷得得总总电电量量,读读者者可可以以根根据据导导体表面电荷密度与电场强度或电位得关系证明这个结论。体表面电荷密度与电场强度或电位得关系证明这个结论。半半空空间间等等效效:上上述述等等效效性性仅仅对对于于导导体体平平面面得得上上半半空空间间成成立立,因因为为在在上半空间中上半空间中,源及边界条件未变。源及边界条件未变。q 对对于于半半无无限限大大导导体体平平面面形形成成得得劈劈形形边边界界也也可可应应用用镜镜像像法法。但但就就是是仅仅当当这这种种导导体体劈劈得得夹夹角角等等于于 得得整整数数(n)分分之之一一时时,才才可可求求出出其其镜镜像像电电荷荷。为为了了保保证证这这种种劈劈形形边边界界得得电电位位为为零零,必必须须引引入入(2n-1)-1)个个镜镜像像电电荷荷。例例如如,夹角为夹角为 得导电劈需引入得导电劈需引入 5 5 个镜像电荷。个镜像电荷。/3/3q 连续分布得线电荷位于无限大得导体平面附近时连续分布得线电荷位于无限大得导体平面附近时,根据叠加原根据叠加原理得知理得知,同样可以应用镜像法求解。同样可以应用镜像法求解。对对于于半半无无限限大大导导体体平平面面形形成成的的劈劈形形边边界界也也可可应应用用镜镜像像法法。但但是是仅仅当当这这种种导导体体劈劈的的夹夹角角等等于于 的的整整数数(n)分分之之一一时时，才才可可求求出出其其镜镜像像电电荷荷。为为了了保保证证这这种种劈劈形形边边界界的的电电位位为为零零，必必须须引引入入(2n-1)-1)个个镜镜像像电电荷荷。例例如，夹角为如，夹角为 的导电劈需引入的导电劈需引入 5 5 个镜像电荷。个镜像电荷。fqo(2)点电荷与导体球点电荷与导体球Padrq 1)1)若导体球接地若导体球接地,导体球得电位导体球得电位为零。为了等效导体球边界得影响为零。为了等效导体球边界得影响,令镜像点电荷令镜像点电荷q 位于球心与点电荷位于球心与点电荷 q 得连线上。那么得连线上。那么,球面上任一点电球面上任一点电位为位为 可见可见,为了保证球面上任一点电位为零为了保证球面上任一点电位为零,必须选择镜像电荷为必须选择镜像电荷为 为为了了使使镜镜像像电电荷荷具具有有一一个个确确定定的的值值，必必须须要要求求比比值值对对于于球球面面上上任任一一点点均均具具有有同同一一数数值值。由由上上图图可可见见，若若要要求求三三角角形形OPq与与OqP 相似，则相似，则常数。由此获知镜像电荷应为常数。由此获知镜像电荷应为镜像电荷离球心的距离镜像电荷离球心的距离d 应为应为 这样这样,根据根据 q 及及 q 即可计算球外空间任一点得电场强度。即可计算球外空间任一点得电场强度。qfOPadq点电荷对不接地导体球得镜像点电荷对不接地导体球得镜像先先设设想想导导体体球球就就是是接接地地得得,则则球球面面上上只只有有总总电电荷荷量量为为q得得感感应应电电荷分布荷分布,则则 导体球不接地时得特点导体球不接地时得特点:导导体体球球面面就就是是电电位位不不为为零零得得等等位位面面 球球面面上上位位于于点点电电荷荷一一侧侧得得导导体体球球表表面面上上得得感感应应电电荷荷为为负负值值,而另一侧表面上得感应电荷为正值。而另一侧表面上得感应电荷为正值。采用叠加原理来确定镜像电荷采用叠加原理来确定镜像电荷点电荷点电荷q 位于一个半径为位于一个半径为a 得不得不接地导体球外接地导体球外,距球心为距球心为d。PqarRd然后断开接地然后断开接地线,并将并将电荷荷q加于加于导体球上体球上,从而使从而使总电荷荷为零。零。为保持保持导体球面体球面为等位面等位面,所加得所加得电荷荷q 可用一个位于球心可用一个位于球心得得镜像像电荷荷q来替代来替代,即即球外任意点得电位为球外任意点得电位为qPaqrRRddq3)点电荷对接地空心导体球壳得镜像点电荷对接地空心导体球壳得镜像如图所示接地空心导体球壳得内半径为如图所示接地空心导体球壳得内半径为a、外半径为、外半径为b,点电荷点电荷q 位于球壳内位于球壳内,与球心相距为与球心相距为d(d|q|,可见镜像电荷得电荷量大于点电荷得电荷量可见镜像电荷得电荷量大于点电荷得电荷量像电荷得位置与电量与外半径像电荷得位置与电量与外半径b 无关无关(为什么？为什么？)l(3)线电荷与带电得导体圆柱线电荷与带电得导体圆柱Pafdr-lO 在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根处，平行放置一根镜像电荷镜像电荷 。已知无限长线电荷产生的电场强度为。已知无限长线电荷产生的电场强度为 因此，离线电荷因此，离线电荷r 处，以处，以 为参考点的电位为为参考点的电位为 若若令令镜镜像像线线电电荷荷 产产生生的的电电位位也也取取相相同同的的 作作为为参参考考点点，则则 及及 在圆柱面上在圆柱面上 P 点共同产生的电位为点共同产生的电位为 已知导体圆柱是一个等位体，因此，为了满足这个边界条件，已知导体圆柱是一个等位体，因此，为了满足这个边界条件，必须要求比值必须要求比值 为常数。与前同理，可令为常数。与前同理，可令 ，由此得，由此得 两平行圆柱导体得电轴两平行圆柱导体得电轴问题：如图问题：如图1所示，两平行导体圆柱的半径均为所示，两平行导体圆柱的半径均为a，两导体，两导体轴线间距为轴线间距为2h，单位长度分别带电荷，单位长度分别带电荷和和。图图1 1 两平行圆柱导体两平行圆柱导体图图2 2 两平行圆柱导体的电轴两平行圆柱导体的电轴 特点特点:由于两圆柱带电导体得电场互相影响由于两圆柱带电导体得电场互相影响,使导体表面得使导体表面得电荷分布不均匀电荷分布不均匀,相对得一侧电荷密度大相对得一侧电荷密度大,而相背得一侧电荷密而相背得一侧电荷密度较小。度较小。分析方法：将导体表面上的电荷用线密度分别为分析方法：将导体表面上的电荷用线密度分别为、且相距为且相距为2b 的两根无限长带电细线来等效替代，如图的两根无限长带电细线来等效替代，如图2所示。所示。图图2 2 两平行圆柱导体的电轴两平行圆柱导体的电轴通常将带电细线得所在得位置称为圆柱导体得电轴通常将带电细线得所在得位置称为圆柱导体得电轴,因而这因而这种方法又称为电轴法。种方法又称为电轴法。由由 利用线电荷与接地导体圆柱面得利用线电荷与接地导体圆柱面得镜像确定镜像确定b。思考思考:能否用电轴法求解半径不同得两平行圆柱导体问题？能否用电轴法求解半径不同得两平行圆柱导体问题？(4)点电荷与无限大得介质平面点电荷与无限大得介质平面E 1 1qr0EEtEnq 2 2qE 1 2qeten=+为了求解上半空间得场可用镜像电荷为了求解上半空间得场可用镜像电荷 q 等效边界上束缚电等效边界上束缚电荷得作用荷得作用,将整个空间变为介电常数为将整个空间变为介电常数为1 得均匀空间。对于下半得均匀空间。对于下半空间空间,可用位于原点电荷处得可用位于原点电荷处得q 等效原来得点电荷等效原来得点电荷q 与边界上束与边界上束缚电荷得共同作用缚电荷得共同作用,将整个空间变为介电常数为将整个空间变为介电常数为2 得均匀空间。得均匀空间。但就是但就是,必须迫使所求得得场符合原先得边界条件必须迫使所求得得场符合原先得边界条件,即电场切向即电场切向分量保持连续分量保持连续,电位移得法向分量应该相等电位移得法向分量应该相等,即即 已知各个点电荷产生得电场强度分别为已知各个点电荷产生得电场强度分别为代入上述边界条件代入上述边界条件,求得镜像电荷如下求得镜像电荷如下:例例已知同轴线得内导体半径为已知同轴线得内导体半径为a,电位为电位为V,外导体接地外导体接地,其内半其内半径为径为b。试求内外导体之间得电位分布函数以及电场强度。试求内外导体之间得电位分布函数以及电场强度。解解 对对于于这这种种边边值值问问题题,镜镜像像法法不不适适用用,只只好好求求解解电电位位方方程程。为为此此,选选用用圆圆柱柱坐坐标标系系。由由于于场场量量仅仅与与坐坐标标 r 有有关关,因因此此,电电位位所所满满足足得得拉拉普普拉拉斯斯方方程程在在圆圆柱柱坐坐标标系系中中得得展展开开式式只只剩剩下下包包含含变变量量r 得得一一项项,即即电电位位微微分分方方程为程为求得求得VbaO利用边界条件：利用边界条件：求得求得最后求得最后求得由上例可见由上例可见,为了利用给定得边界条件以便确定求解过程中为了利用给定得边界条件以便确定求解过程中出现得积分常数出现得积分常数,选择适当得坐标系就是非常重要得。对于平面选择适当得坐标系就是非常重要得。对于平面边界边界,圆柱边界及圆球边界必须分别选用直角坐标系、圆柱坐标圆柱边界及圆球边界必须分别选用直角坐标系、圆柱坐标系及球坐标系。系及球坐标系。此外此外,由于同轴线中得电位函数仅与一个坐标变量由于同轴线中得电位函数仅与一个坐标变量r 有关有关,因此原先得三维拉普拉斯方程简化为一维微分方程因此原先得三维拉普拉斯方程简化为一维微分方程,因而可采用因而可采用直接积分方法求解这类边值问题。但一般说来直接积分方法求解这类边值问题。但一般说来,静电场得边值问静电场得边值问题与空间三个坐标变量有关。为了求解三维拉普拉斯方程题与空间三个坐标变量有关。为了求解三维拉普拉斯方程,一种一种有效得方法就就是分离变量法。有效得方法就就是分离变量法。分离变量法就是将原先得三维偏微分方程通过变量分离简化分离变量法就是将原先得三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独立得常微分方程为三个独立得常微分方程,从而使求解过程比较简便。分离变量从而使求解过程比较简便。分离变量法对于法对于11种坐标系都就是行之有效得。种坐标系都就是行之有效得。3-3直角坐标系中得分离变量法直角坐标系中得分离变量法 无源区中电位满足得拉普拉斯方程在直角坐标系中得展开式为无源区中电位满足得拉普拉斯方程在直角坐标系中得展开式为 令令代入上式代入上式,两边再除以两边再除以X(x)Y(y)Z(z),得得 显显然然，式式中中各各项项仅仅与与一一个个变变量量有有关关。因因此此，将将上上式式对对变变量量x 求求导导，第第二二项项及及第第三三项项均均为为零零，求求得得第第一一项项对对x 的的导导数数为为零零，说说明明了了第第一一项项等等于于常常数数。同同理理，再再分分别别对对变变量量y 及及z 求求导导，得得知知第第二二项项及及第第三三项项也也分分别等于常数。令各项的常数分别为别等于常数。令各项的常数分别为，分别求得，分别求得式中式中kx,ky,kz 称为分离常数称为分离常数,她们可以就是实数或虚数。她们可以就是实数或虚数。显然显然,三个三个分离常数并不就是独立得分离常数并不就是独立得,她们必须满足下列方程她们必须满足下列方程由由上上可可见见,经经过过变变量量分分离离后后,三三维维偏偏微微分分方方程程式式被被简简化化为为三三个个一一维维常常微微分分方方程程。常常微微分分方方程程得得求求解解较较为为简简便便,而而且且三三个个常常微微分分方方程程又又具具有有同同一一结结构构,因因此此她她们们解解得得形形式式也也一一定定相相同同。例例如如,含含变变量量 x 得得常微分方程得通解为常微分方程得通解为或者或者式中式中A,B,C,D为待定常数。为待定常数。分离常数也可为虚数。当分离常数也可为虚数。当 kx 为虚数时，令为虚数时，令 ，则上，则上述通解变为述通解变为 或者或者含变量含变量 x 或或 y 得常微分方程得解具有完全相同得形式。这些解得常微分方程得解具有完全相同得形式。这些解得线性组合仍然就是方程得解。解得形式得选择就是非常重要得线性组合仍然就是方程得解。解得形式得选择就是非常重要得得,她完全决定于给定得边界条件。解中各个待定常数也取决于她完全决定于给定得边界条件。解中各个待定常数也取决于给定得边界条件。给定得边界条件。例例 两个相互平行得半无限大接地导体平面两个相互平行得半无限大接地导体平面,间距为间距为 d,其有限其有限端被电位为端被电位为 0 得导电平面封闭得导电平面封闭,且与无限大接地导体平面绝缘且与无限大接地导体平面绝缘,如图所示。试求三个导体平面形成得槽中电位分布。如图所示。试求三个导体平面形成得槽中电位分布。Odxy=0=0=0解解选取直角坐标系。由于导电平面沿选取直角坐标系。由于导电平面沿z 轴无限延伸轴无限延伸,槽中电位槽中电位分布函数一定与分布函数一定与z 无关无关,因此因此,这就是一个二维场得问题。电位所这就是一个二维场得问题。电位所满足得拉普拉斯方程变为满足得拉普拉斯方程变为应用分离变量法，令应用分离变量法，令根据题意根据题意,槽中电位应满足得边界条件为槽中电位应满足得边界条件为为了满足为了满足 及及 边界条件，应选边界条件，应选 Y(y)的解为的解为 因为因为 y=0 时，电位时，电位 =0，因此上式中常数，因此上式中常数B=0。为了满足边界。为了满足边界条件条件 ，分离常数，分离常数 ky 应为应为 求得求得已知已知 ，求得，求得可见可见,分离常数分离常数kx 为虚数为虚数,故故X(x)得解应为得解应为因为因为x=0时时,电位电位 ,因此因此,式中常数式中常数C=0,即即那么，那么，式中常数式中常数 C=AD。由边界条件获知由边界条件获知,当当x=0时时,电位电位=0,代入上式代入上式,得得上上式式右右端端为为变变量量,但但左左端端为为常常量量,因因此此不不能能成成立立。这这就就表表明明此此式式不不能能满满足足给给定定得得边边界界条条件件。因因此此,必必须须取取上上式式得得与与式式作作为为电电位位方方程程得解得解,即即为了满足为了满足 x=0,=0 边界条件边界条件,由上式得由上式得 上式右端为傅里叶级数。利用傅里叶级数得正交性上式右端为傅里叶级数。利用傅里叶级数得正交性,可以求出系数可以求出系数Cn为为最后求得槽中电位分布函数为最后求得槽中电位分布函数为 式中式中 。0dxy=0=0=0电场线等位面电场线及等位面电场线及等位面分布如右图示分布如右图示:作业作业:3-4、3-193-4圆柱坐标系中得分离变量法圆柱坐标系中得分离变量法电位微分方程在圆柱坐标系中得展开式为电位微分方程在圆柱坐标系中得展开式为 令其解为令其解为 代入上式求得代入上式求得上式中第二项仅为变量上式中第二项仅为变量 得函数得函数,而第一项及第三项与而第一项及第三项与 无关无关,因此因此将上式对将上式对 求导求导,得知第二项对得知第二项对 得导数为零得导数为零,可见第二项应为常数可见第二项应为常数,令令 即即式中式中 k 为分离常数，为分离常数，它可以是实数或虚数。通常变量它可以是实数或虚数。通常变量 的变化范围的变化范围为为，那么此时场量随，那么此时场量随 的变化一定的变化一定是以是以 2 2 为周期的周期函数。因此，上式的解一定是三角函数，且为周期的周期函数。因此，上式的解一定是三角函数，且常数常数 k 一定是整数，以保证函数的周期为一定是整数，以保证函数的周期为2 2。令。令，m 为整数，则上式的解为为整数，则上式的解为式中式中A,B 为待定常数。为待定常数。考虑到考虑到 ，以及变量，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为的方程式，则前述方程可表示为上式左边第一项仅为变量上式左边第一项仅为变量r 得函数得函数,第二项仅为变量第二项仅为变量z 得函数得函数,因此因此按照前述理由按照前述理由,她们应分别等于常数她们应分别等于常数,令令 即即式中分离常数式中分离常数 kz 可为实数或虚数可为实数或虚数,其解可为三角函数其解可为三角函数,双曲函数或指双曲函数或指数函数。当数函数。当 kz 为实数时为实数时,可令可令 式中式中C,D 为待定常数。为待定常数。将变量将变量 z 方程代入前式方程代入前式,得得 若令若令 ，则上式变为，则上式变为 上式为标准得柱上式为标准得柱贝塞尔方程贝塞尔方程,其解为柱其解为柱贝塞尔函数贝塞尔函数,即即 至此至此,我们分别求出了我们分别求出了R(r),(),Z(z)得解得解,而电位微分方程而电位微分方程得通解应为三者乘积得通解应为三者乘积,或取其线性组合。或取其线性组合。式中式中E,F 为待定常数为待定常数,为为m 阶第一类阶第一类柱柱贝塞尔函数，贝塞尔函数，为为m阶第二类阶第二类柱柱贝塞尔函数。根据第二类贝塞尔函数。根据第二类柱柱贝塞尔函数的特性知，贝塞尔函数的特性知，当当r=0时，时，。因此，当场存在的区域包括。因此，当场存在的区域包括r=0时，时，此时只能取第一类此时只能取第一类柱柱贝塞尔函数作为方程的解。贝塞尔函数作为方程的解。若若所所讨讨论论的的静静电电场场与与变变量量z 无无关关，则则分分离离常常数数。那那么么电位微分方程变为电位微分方程变为此方程得解为指数函数此方程得解为指数函数,即即 若所讨论得静电场又与变量若所讨论得静电场又与变量 无关无关,则则m=0。那么。那么,电位微分电位微分方程得解为方程得解为 考虑到以上各种情况考虑到以上各种情况,电位微分方程电位微分方程得解可取下列一般形式得解可取下列一般形式 例例设一根无限长、半径为设一根无限长、半径为a 得导体圆柱放入无限大得均匀静得导体圆柱放入无限大得均匀静电场中电场中,电场强度方向垂直于导体圆柱电场强度方向垂直于导体圆柱,如图所示。试求导体圆柱外如图所示。试求导体圆柱外得电场强度。得电场强度。解解选取圆柱坐标系选取圆柱坐标系,令令z 轴为圆柱轴轴为圆柱轴线线,电场强度得方向与电场强度得方向与x 轴一致轴一致,即即 当导体圆柱处于静电平衡时当导体圆柱处于静电平衡时,圆柱内得圆柱内得电场强度为零电场强度为零,圆柱为等位体圆柱为等位体,圆柱表面电场圆柱表面电场强度切向分量为零强度切向分量为零,且柱外得电位分布函数且柱外得电位分布函数应与应与z 无关。解得形式可取前述一般形式无关。解得形式可取前述一般形式,但应满足下列两个边界条件但应满足下列两个边界条件:xyaE0O 由于圆柱表面电场强度得切向分量为零由于圆柱表面电场强度得切向分量为零,即即 因此因此 无限远处得电场未受到扰动无限远处得电场未受到扰动,因此电位应为因此电位应为 此此式式表表明明，无无限限远远处处电电位位函函数数仅仅为为 cos 的的函函数数，可可见见系数系数 ，且，且 m=0。因此电位函数为。因此电位函数为那么那么,根据应满足得边界条件即可求得系数根据应满足得边界条件即可求得系数 B1,D1 应为应为代入前式代入前式,求得柱外电位分布函数为求得柱外电位分布函数为 则柱外电场强度为则柱外电场强度为 xyaE0电场线等位面圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面得电荷分布如下图示圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面得电荷分布如下图示:3-5球坐标系中得分离变量法球坐标系中得分离变量法电位微分方程在球坐标系中得展开式为电位微分方程在球坐标系中得展开式为令令代入上式代入上式,得得与前同理与前同理,得解应为得解应为可见可见,上式中第一项仅为上式中第一项仅为r 得函数得函数,第二项与第二项与r 无关。因此无关。因此,与前同理与前同理第一项应为常数。为了便于进一步求解第一项应为常数。为了便于进一步求解,令令 式中式中n 为整数。这就是尤拉方程为整数。这就是尤拉方程,其通解为其通解为 将此结果代入上式将此结果代入上式,得得令令 ，则上式变为，则上式变为上式为上式为连带勒让德方程连带勒让德方程，其通解为，其通解为第一类连带勒让德函数第一类连带勒让德函数与与第二类连带勒让德函数第二类连带勒让德函数之和，这里之和，这里 m n 。当当n 是整数时，是整数时，及及为有限项多项式。因此，要求为有限项多项式。因此，要求n 为整数。为整数。根据第二类连带勒让德函数的特性知，当根据第二类连带勒让德函数的特性知，当时，时，。因此，当场存在的区域包括。因此，当场存在的区域包括或或时，时，此时只能取，此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。第一类连带勒让德函数作为方程的解。所以，通常令所以，通常令那么那么,电位微分方程得通解通常取为下列线性组合电位微分方程得通解通常取为下列线性组合若若静静电电场场与与变变量量 无无关关，则则m=0。那那么么称称为第一类勒让德函数。此时，为第一类勒让德函数。此时，电位微分方程电位微分方程的通解为的通解为