部编版八年级下册数学期末试卷练习(Word版含答案).doc

部编版八年级下册数学期末试卷练习（Word版含答案）
一、选择题
1．要使式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．以下列长度的三条线段为三角形的三边，能组成直角三角形的一组是（ ）
A．2，5，6 B．，1，2 C．1，1， D．3，7，8
3．如图，在中，点分别在边上.若从下列条件中只选择一个添加到图中的条件中:①；②；③；④．那么不能使四边形是平行四边形的条件相应序号是（ ）

A．① B．② C．③ D．④
4．下列说法中正确的是（ ）
A．样本7，7，6，5，4的众数是2
B．样本2，2，3，4，5，6的中位数是4
C．样本39，41，45，45不存在众数
D．5，4，5，7，5的众数和中位数相等
5．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC 是直角三角形
B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形
C．如果 a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形
D．如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠A＝90°
6．如图，菱形 ABCD 的顶点 C 在直线 MN 上，若∠1＝50°，∠2＝20°，则∠BDC 的度数为（）

A．20° B．30°
C．35° D．40°
7．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，BD⊥DC，BE⊥AC，垂足为E，若∠COD＝60°，AE＝，则▱ABCD的面积为（　　）

A． B． C．2 D．
8．一个容器内有进水管和出水管，开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，第12min后只出水不进水.进水管每分钟的进水量和出水量每分钟的出水量始终不变，容器内水量（单位：L）与时间（单位：min）之间的关系如图所示．

根据图象有下列说法：①进水管每分钟的进水量为5L；②时，；③当时，；④当时，，或．其中正确说法的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．若，则x的取值范围是______．
10．菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为______cm2．
11．已知一个直角三角形的两直角边长分别是1和3，则斜边长为________．
12．如图，点E是矩形纸片ABCD的边BC上的一动点，沿直线AE折叠纸片，点B落在点位置，连接C．若AB＝3，BC＝6，则线段C长度的最小值为 ________________．

13．正比例函数经过点，则__________．
14．如图，矩形ABCD中，AB＝，AD＝2．点E是BC边上的一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE于点F．当△CDF是等腰三角形时，BE的长为_____．

15．如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，如图所示依次作正方形、正方形、…、正方形，使得点、、、…在直线上，点、、、…在轴正半轴上，则点的坐标是__________．

16．已知：在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线y＝﹣x+与x轴、y轴分别交于B、C两点．四边形ABCD为菱形，连接AC，点P为△ACD内一点，且∠APB＝60°，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BF＝AE，连接AF，EF，若∠AFE＝30°，则AF2+EF2的值为___．

三、解答题
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正西方向240km的B处，以每时12km的速度向北偏东60°方向移动，距沙尘暴中心150km的范围为受影响区域．
（1）A城是否受到这次沙尘暴的影响？为什么？
（2）若A城受这次沙尘暴影响，那么遭受影响的时间有多长？

19．阅读理解：我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．

（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：__________，__________．
（2）如图，已知格点（小正方形的顶点），，，请你画出以格点为顶点，，为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形．
20．如图，在中，两条对角线AC和BD相交于点O，并且，，．
（1）AC与BD有什么位置关系？为什么？
（2）四边形ABCD是菱形吗？为什么？

21．先观察下列等式，再回答下列问题：
①；
②；
③．
（1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证；
（2）请利用上述规律来计算（仿照上式写出过程）；
（3）请你按照上面各等式反映的规律，试写出一个用为正整数）表示的等式．
22．某市为了倡导居民节约用水，生活用自来水按阶梯式水价计费．如图是居民每户每月的水（自来水）费（元）与所用的水（自来水）量（吨）之间的函数图象．根据下面图象提供的信息，解答下列问题：

（1）当时，求与之间的函数关系式；
（2）已知某户居民上月水费为91元，求这户居民上月的用水量；
（3）当一户居民在某月用水为15吨时，求这户居民这个月的水费．
23．如图1，在中，为的中点，连结．过点作射线为射线上一动点．

（1）求的长和的面积；
（2）如图2，连结，在点的运动过程中，若为等腰三角形，求所有满足条件的的长；
（3）如图3，连结交于点，连结，作点关于的对称点，当点恰好落在的边上时，连结，请直接写出的面积．
24．如图所示，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点、．以为边在第一象限内作等腰，且，．过作轴于．的垂直平分线交与点，交轴于点．

（1）求点的坐标；
（2）在直线上有点，且点与点位于直线的同侧，使得，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，连接，判断的形状，并给予证明．
25．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边所在直线上一动点（不与点B、C重合），过点B作BF⊥DE，交射线DE于点F，连接CF．

（1）如图，当点E在线段BC上时，∠BDF=α．
①按要求补全图形；
②∠EBF=______________（用含α的式子表示）；
③判断线段 BF，CF，DF之间的数量关系，并证明．
（2）当点E在直线BC上时，直接写出线段BF，CF，DF之间的数量关系，不需证明．
【参考答案】
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据负数没有平方根判断即可确定出的范围．
【详解】
解：要使式子在实数范围内有意义，则需，即，
则的取值范围是，
故选：B．
【点睛】
此题考查了二次根式有意义的条件，弄清二次根式性质是解本题的关键．
2．C
解析：C
【分析】
利用勾股定理的逆定理进行计算求解即可得到答案.
【详解】
解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选择错误.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握，如果一个三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质，依据平行四边形的判定方法，即可得出不能使四边形AECF是平行四边形的条件．
【详解】
解：①∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD//BC，
∴AF//EC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
②∵AE=CF不能得出四边形AECF是平行四边形，
∴条件②符合题意；
③∵四边形ABCD平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
又∵BE=DF，
∴AF=EC．
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
④∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠BAE=∠DCF，
∴∠AEB=∠CFD．
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD．
∴∠CFD=∠EAD．
∴AE∥CF．
∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
综上所述，不能使四边形AECF是平行四边形的条件有1个．
故选：B．

【点睛】
本题考查了平行四边形的性质定理和判定定理，以及平行线的判定定理；熟记平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据众数定义和中位数定义对各选项进行一一分析判定即可．
【详解】
A. 样本7，7，6，5，4的重复次数最多的数是7，所以众数是7，故选项A不正确；
B. 样本2，2，3，4，5，6的处于中间位置的两个数是3和4，所以中位数是，故选项B不正确；
C. 样本39，41，45，45重复次数最多的数字是45，故选项C不正确；
D. 5，4，5，7，5，将数据重新排序为4，5，5，5，7，重复次数最多的众数是5和中位数为5，所以众数和中位数相等，故选项D正确．
故选D．
【点睛】
本题考查众数与中位数，掌握众数与中位数定义，一组数据中重复次数最多的数据是众数，将一组数据从小到大排序后，处于中间位置，或中间位置上两个数据的平均数是中位数是解题关键．
5．D
解析：D
【分析】
根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．
【详解】
选项A中如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
选项B中如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
选项C中如果 a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
选项D中如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠B＝90°，选项错误；
故选D．
【点睛】
考查直角三角形的判定，学生熟练掌握勾股定理逆定理是本题解题的关键，并结合直角三角形的定义解出此题．
6．C
解析：C
【解析】
【分析】
先求出，根据菱形性质得出，即得到，可得的度数．
【详解】
∵∠1＝50°，∠2＝20°
∴
∵四边形ABCD为菱形
∴
∴
故选：C．
【点睛】
本题考查了菱形的性质求角度，熟知以上知识是解题的关键．
7．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据题意分别求得线段AB和线段BD的长，利用底乘高求得平行四边形的面积即可．
【详解】
解：∵平行四边形ABCD中，BD⊥DC，∠COD=60°，
∴∠DCO=30°，AB//CD，OB=OD
∴∠BAE=∠DCO=30°，
∴AB=2BE，
∵AE=，,
∴BE=1，
∵BE⊥AC，
∴AB=2BE=2，
在Rt△ABO中，AO=2BO，AB=2，
同理利用勾股定理求得OB=，
∴BD=2OB=2×=，
∴▱ABCD的面积为AB•BD=2×=，
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行的四边形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，了解含30°角的直角三角形的性质是解答本题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据图象可知进水的速度为5（L/min），再根据第10分钟时容器内水量为27.5L可得出水的速度，从而求出第12min时容器内水量，利用待定系数法求出4≤x≤12时，y与x之间的函数关系式，再对各个选项逐一判断即可．
【详解】
解：由图象可知，进水的速度为：20÷4＝5（L/min），
故①说法正确；
出水的速度为：5−（27.5−20）÷（10−4）＝3.75（L/min），
第12min时容器内水量为：20＋（12−4）×（5−3.75）＝30（L），
故③说法正确；
15÷3＝3（min），12＋（30−15）÷3.75＝16（min），
故当y＝15时，x＝3或x＝16，故说法④错误；
设4≤x≤12时，y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，
根据题意，得，
解得，所以4≤x≤12时，
y＝x＋15，故说法②正确．
所以正确说法的个数是3个．
故选：C．
【点睛】
此题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，利用数形结合的方法即可解决问题．
二、填空题
9．x＞1
【解析】
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件，结合一元一次不等式的解法得出答案．
【详解】
解：∵，
∴x≥0且x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故答案为：x＞1．
【点睛】
本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键．
10．24
【解析】
【分析】
画出符合题意的图形，利用菱形的对角线互相垂直平分，求解另一条对角线的长，再利用菱形的面积等于两条对角线的长之积的一半即可得到答案．
【详解】
解：如图，菱形的周长为20cm，一条对角线的长为8cm，

故答案为：
【点睛】
本题考查的是菱形的性质，菱形的面积，掌握菱形的性质及菱形的面积的计算是解题的关键．
11．
【解析】
【分析】
利用勾股定理计算即可．
【详解】
解：∵直角三角形的两直角边长分别是1和3，
∴斜边==，
故答案为：．
【点睛】
本题考查勾股定理，解题的关键是记住勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
12．A
解析：3﹣3
【分析】
连接AC，当A、、C共线时，C的值最小，进而解答即可．
【详解】
解：如图，连接AC．

∵折叠，
∴AB＝A＝3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∴AC＝，
∵C≥AC﹣A，
∴当A、、C共线时，C的值最小为：3﹣3，
故答案为：3﹣3．
【点睛】
本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，作出正确的辅助线，属于中考常考题型．
13．
【分析】
把代入，利用待定系数法求解即可得到答案．
【详解】
解：把代入，

故答案为：
【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解正比例函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键．
14．C
解析：2﹣
【分析】
过点C作CM⊥DF，垂足为点M，判断△CDF是等腰三角形，要分类讨论，①CF＝CD；②DF＝DC；③FD＝FC，根据相似三角形的性质进行求解．
【详解】
①CF＝CD时，过点C作CM⊥DF，垂足为点M，
则CM∥AE，DM＝MF，
延长CM交AD于点G，
∴AG＝GD＝1，
∴CE＝1，
∵CG∥AE，AD∥BC，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∴CE＝AG＝1，
∴BE＝1
∴当BE＝1时，△CDF是等腰三角形；
②DF＝DC时，则DC＝DF＝，
∵DF⊥AE，AD＝2，
∴∠DAE＝45°，
则BE＝，
∴当BE＝时，△CDF是等腰三角形；
③FD＝FC时，则点F在CD的垂直平分线上，故F为AE中点．
∵AB＝，BE＝x，
∴AE＝，
AF＝，
∵△ADF∽△EAB，
∴，
，
x2﹣4x+2＝0，
解得：x＝2±，
∴当BE＝2﹣时，△CDF是等腰三角形．
综上，当BE＝1、、2﹣时，△CDF是等腰三角形．
故答案为1、、2﹣．

【点睛】
此题难度比较大，主要考查矩形的性质、相似三角形的性质及等腰三角形的判定，考查知识点比较多，综合性比较强，另外要注意辅助线的作法．
15．（22020，22021-1）
【分析】
根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点A1、B1的坐标，同理可得出A2、A3、A4、A5、…及B2、B3、B4、B5、…的坐标，根据点的坐
解析：（22020，22021-1）
【分析】
根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点A1、B1的坐标，同理可得出A2、A3、A4、A5、…及B2、B3、B4、B5、…的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律：“Bn（2n-1，2n-1）（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．
【详解】
解：当y=0时，有x-1=0，
解得：x=1，
∴点A1的坐标为（1，0）．
∵四边形A1B1C1O为正方形，
∴点B1的坐标为（1，1）．
同理，可得出：A2（2，1），A3（4，3），A4（8，7），A5（16，15），…，
∴B2（2，3），B3（4，7），B4（8，15），B5（16，31），…，
∴Bn（2n-1，2n-1）（n为正整数），
∴点B2021的坐标是（22020，22021-1）．
故答案为：（22020，22021-1）．
【点睛】
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“Bn（2n-1，2n-1）（n为正整数）”是解题的关键．
16．25
【分析】
连接CE、CF．证明△CEF是等边三角形以及AF⊥CF，然后利用勾股定理得出答案．
【详解】
解：如图，连接、．
，
，，，
，，
在中，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
是
解析：25
【分析】
连接CE、CF．证明△CEF是等边三角形以及AF⊥CF，然后利用勾股定理得出答案．
【详解】
解：如图，连接、．

，
，，，
，，
在中，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，，
，
，
在中，，
．
故答案为：25．
【点睛】
本题考查一次函数综合题、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．
三、解答题
17．（1）2；（2）3；（3）143；（4）
【分析】
(1)将二次根式化简合并进行计算即可；
(2)将二次根式有理化进行计算即可；
(3)根据平方差公式化简计算即可；
(4)先将二次根式、绝对值、负指
解析：（1）2；（2）3；（3）143；（4）
【分析】
(1)将二次根式化简合并进行计算即可；
(2)将二次根式有理化进行计算即可；
(3)根据平方差公式化简计算即可；
(4)先将二次根式、绝对值、负指数幂化简，再合并同类项即可．
【详解】
（1），
（2），
（3），
（4）
【点睛】
本题考查的是二次根式的混合运算，将各个式子化为最减是解答此题的关键．
18．（1）受影响，理由见解析；（2）15小时
【分析】
（1）过点作AC⊥BM，垂足为C，在Rt△ABC中，由题意可知∠ABC=30°，由此可以求出AC 的长度，然后和150km比较大小即可判断A城是否
解析：（1）受影响，理由见解析；（2）15小时
【分析】
（1）过点作AC⊥BM，垂足为C，在Rt△ABC中，由题意可知∠ABC=30°，由此可以求出AC 的长度，然后和150km比较大小即可判断A城是否受到这次沙尘暴的影响；
（2）如图，设点E、F是以A为圆心，150km为半径的圆与BM的交点，根据勾股定理可以求出CE的长度，也就求出了EF的长度，然后除以沙尘暴的速度即可求出遭受影响的时间.
【详解】
解：（1）过点A作AC⊥BM，垂足为C，
在Rt△ABC中，由题意可知∠CBA＝30°，
∴AC＝AB＝×240＝120，
∵AC＝120＜150，
∴A城将受这次沙尘暴的影响．
（2）设点E，F是以A为圆心，150km为半径的圆与MB的交点，连接AE，AF，
由题意得，，CE＝90
∴EF＝2CE＝2×90＝180
180÷12＝15（小时）
∴A城受沙尘暴影响的时间为15小时．

【点睛】
本题考查了直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理的应用，正确理解题意，把握好题目的数量关系是解决问题的关键．
19．（1）矩形，正方形；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据勾股四边形的定义即可求解；
（2）由勾股定理可知可知四边形对角线为5，据此即可作图．
【详解】
解：（1）由勾股四边形的定义矩形、正方
解析：（1）矩形，正方形；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据勾股四边形的定义即可求解；
（2）由勾股定理可知可知四边形对角线为5，据此即可作图．
【详解】
解：（1）由勾股四边形的定义矩形、正方形都满足一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，
故答案为：矩形，正方形；
（2）如图，

证明：∵∠AOB=90°，
∴,
∴四边形为勾股四边形，
由勾股定理得,
∴AB=OM，
∴四边形都是勾股四边形，符合题意．
【点睛】
本题为新定义问题，考查了勾股定理等知识，矩形、正方形的性质，熟知勾股定理，理解勾股四边形的定义是解题关键．
20．（1）AC⊥BD，证明见解析；（2）四边形ABCD是菱形，见解析
【分析】
（1）首先根据平行四边形的性质得出OC， OB的长，再利用勾股定理逆定理求出∠BOC=90，可得AC与BD的位置关系；
（
解析：（1）AC⊥BD，证明见解析；（2）四边形ABCD是菱形，见解析
【分析】
（1）首先根据平行四边形的性质得出OC， OB的长，再利用勾股定理逆定理求出∠BOC=90，可得AC与BD的位置关系；
（2）菱形的判定方法：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可得答案．
【详解】
解：（1）AC⊥BD；
理由如下：
在中，，
∵
∴∠BOC＝90
∴AC⊥BD．
（2）四边形ABCD是菱形
∵四边形ABCD是平行四边形（已知），
AC⊥BD（已证）
∴四边形ABCD是菱形．
【点睛】
此题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质，以及勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是根据条件证出BO2+CO2=CB2．
21．（1）；理由见解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据已知算式得出规律，再根据求出的规律进行计算即可；
（2）先变形已知式子，再根据得出的规律进行计算即可；
（3）根据已知算式得出规律
解析：（1）；理由见解析；（2）；（3）．
【解析】
【分析】
（1）根据已知算式得出规律，再根据求出的规律进行计算即可；
（2）先变形已知式子，再根据得出的规律进行计算即可；
（3）根据已知算式得出规律即可．
【详解】
解：（1），
理由是：；
（2）

；
（3）由（1）和（2）得：．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，数字的变化类等知识点，能根据已知算式得出规律是解此题的关键．
22．（1）；（2）25吨；（3）45元
【分析】
（1）利用待定系数法求解函数关系式的方法即可；
（2）将y=91代入（1）中解析式中求得x值即可；
（3）将x=17代入（1）中解析式中求得y值，再求得
解析：（1）；（2）25吨；（3）45元
【分析】
（1）利用待定系数法求解函数关系式的方法即可；
（2）将y=91代入（1）中解析式中求得x值即可；
（3）将x=17代入（1）中解析式中求得y值，再求得当时，与之间的函数关系式，将x=15代入求解y值即可．
【详解】
解：（1）设与之间的函数关系式为：，
由题意得：，∴，
∴与之间的函数关系式为：．
（2）∵元元，
∴由得：．
答：这户居民上月用水量25吨．
（3）当吨时，元，
∴当时，与之间的函数关系式为：，
当时，元，
答：这户居民这个月的水费45元．
【点睛】
本题考查一次函数的应用，理解题意，能从函数图象中获取有效信息，会利用待定系数法求解函数关系式是解答的关键．
23．（1）20，150；（2）7或；（3）或42．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质可得BD=AB=15，CD⊥AB，根据勾股定理即可求得的长，从而可得的面积；
（2）分三种情况进行讨论；当CD=C
解析：（1）20，150；（2）7或；（3）或42．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质可得BD=AB=15，CD⊥AB，根据勾股定理即可求得的长，从而可得的面积；
（2）分三种情况进行讨论；当CD=CP时，作CE⊥AP于E，根据S△ABC=ABCD=BCCE可得CE的长，CE>CP，而根据直角三角形斜边大于直角边可得该情况不成立；当CD=DP时，作DF⊥AP于F，延长FD交BC于G，根据全等三角形的判定可得△AFD≌△BGD，从而得到DF=DG，根据S△CDB=CDBD=DGBC，可得DF=DG=12，根据勾股定理可得AF和PF的长，即可得到AP的长；当PD=PC时，作CE⊥AP于E，作DF⊥AP于F，延长FD交BC于G，设AP=x，可得PE=x-7，根据勾股定理可得，，列式即可求得AP的值．
（3）分三种情况进行讨论：①当A´落在CD上时，作GE⊥CD于点E，根据等腰三角形的性质可得CD⊥AB，可得sin∠DAC=，cos∠DAC=，根据题意可知DG是AA´的垂直平分线，从而得到△ADG≌△A´DG(SAS)，A´C=5，即可得到sin∠GA´E= sin∠GAE=，cos∠GA´E=cos∠GAE=，设A´G=x，则CG=25-x，GE=x，A´E=x，可得CE=x+5，利用勾股定理可得GE的长，根据S△A´CG=A´CEG即可得解；②当A´落在BC上时，作GE⊥BC于点E，A´A与DG的交点为F，可得DF为中位线，所以DF∥BA´，且DF=BA´，根据等腰三角形性质及中位线性质可得sin∠ABA´=，cos∠ABA´=，从而求得BA´的长，BA´的长，根据矩形的判定可得四边形FA´EG为矩形，从而得到GE的长，根据S△A´CG=A´CEG即可得解；③当A´落在BD上时，会得到A´与B点重合，所以该情况不存在．
【详解】
解：（1）∵，，D为的中点，
∴BD=AB=15，CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴CD=，
∴S△ACD=CDAD=×20×15=150；
（2）当CD=CP时，如图，作CE⊥AP于E，

∴S△ABC=ABCD=BCCE，
∴×30×20=×25CE，
解得 CE=24，
∵CE>CD，
即CE>CP，
∴CD=CP不成立，
当CD=DP时，作DF⊥AP于F，延长FD交BC于G，

∵AF∥BC，
∴∠FAD=∠B，
∵∠AFD=∠BGD=90°，AD=BD，
∴△AFD≌△BGD（AAS），
∴DF=DG，
∵S△CDB=CDBD=DGBC，
∴×20×15=×25DG
∴DF=DG=12，
∴AF=，
在Rt△DFP中，PF=，
∴AP=PF-AF=16-9=7，
当PD=PC时，作CE⊥AP于E，作DF⊥AP于F，延长FD交BC于G，

由上述过程可得 AF=9，
∴CG=BC-BG=25-9=16，
设AP=x，
∴PE=PF-FE=AF+AP-FE=9+x-16=x-7，
当PD=PC时，在Rt△PDF中，
，
在Rt△PCE中，，
∴=，
解得x=，
∴AP=，
综上所述，AP=7或．
（3）①当A´落在CD上时，作GE⊥CD于点E，

则S△A´CG=A´CEG，
∵AC=BC，D为AB中点，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC=25，AB=30，
∴BD=AD=15，CD=20，
sin∠DAC=，cos∠DAC=，
由题知A，A´关于DG对称，
∴DG是AA´的垂直平分线，
∵DG=DG，∠ADG=∠A´DG，AD=A´D=15，
∴△ADG≌△A´DG(SAS)，A´C=5，
∴sin∠GA´E= sin∠GAE=，cos∠GA´E=cos∠GAE=，
设A´G=x，则CG=25-x，
∴GE=x，A´E=x，
∴CE=x+5，
∵△CGE为直角三角形，
∴，
解得x=，
∴GE=，
∴S△A´CG=A´CEG=×5×=；
②当A´落在BC上时，作GE⊥BC于点E，A´A与DG的交点为F，

则S△A´CG=A´CEG，
∵A，A´关于DG对称，
∴点F为AA´的中点，
∵D为AB的中点，
则在△ABA´中，DF为中位线，
∴DF∥BA´，且DF=BA´，
∵∠AFD=90°，
∴∠AA´B=90°，
∵CD=20，BC=25，AB=30
∴sin∠ABA´=，cos∠ABA´=，
∴BA´=30×=24，
∴A´C=25-18=7，
∵AA´⊥BC，GE⊥BC，
∴GE∥AA´，
∵DF∥BA´，
∴FG∥A´E，
∵∠AA´C=90°，
∴四边形FA´EG为矩形，
∴GE=FA´=AA´=×24=12，
∴S△A´CG=A´CEG=×7×12=42．
③当A´落在BD上时，此时DA=DA´=15，
∴A´与B点重合，
∵AP∥ BC，
∴该情况不存在，
综上所述，的面积为或42．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质等知识点．解题的关键是运用分类讨论思想进行解题．
24．（1）；（2）；（3）等腰直角三角形，证明见详解.
【解析】
【分析】
（1）证，，.
（2）由可知作的一半的面积与相等，可作一条过AC的中点的平行于AB的直线将会交于M点，证， ，.
（3）E、G
解析：（1）；（2）；（3）等腰直角三角形，证明见详解.
【解析】
【分析】
（1）证，，.
（2）由可知作的一半的面积与相等，可作一条过AC的中点的平行于AB的直线将会交于M点，证， ，.
（3）E、G分别为的中点，知，，，为矩形，,，，可判断，即可得的形状.
【详解】
（1）∵的图象与轴、轴分别交于点、,
∴可得，
∵，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴；
∴，；
∴；
∴
（2）如下图作一条过AC的中点H点的平行于AB的直线将会交于一点，由A、C点可得H点坐标，
∵，
∴，
∴与的高相等，即过H点的平行于AB的直线将会交于M点
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
如下图过H点作的垂线交于I点，，得，，
在与中，
，
∴；
∴，
∴；
∴
（3）∵E、G分别为的中点，
∴，
∵，
∴为矩形；
∴，,
∵，，，
∴,，得，
∴为等腰直角三角形；

【点睛】
一次函数、三角形全等证明、矩形证明这些跨章节知识点的应用，需要对知识的
融会贯通.
25．（1）①详见解析；②45°-α；③，详见解析；（2），或，或
【分析】
（1）①由题意补全图形即可；
②由正方形的性质得出，由三角形的外角性质得出，由直角三角形的性质得出即可；
 ③在DF上截取DM
解析：（1）①详见解析；②45°-α；③，详见解析；（2），或，或
【分析】
（1）①由题意补全图形即可；
②由正方形的性质得出，由三角形的外角性质得出，由直角三角形的性质得出即可；
 ③在DF上截取DM=BF，连接CM，证明△CDM≌△CBF，得出CM=CF， ∠DCM=∠BCF，得出MF=即可得出结论；
（2）分三种情况：①当点E在线段BC上时，DF=BF+，理由同(1)③；
②当点E在线段BC的延长线上时，BF=DF+，在BF_上截取BM=DF，连接CM．同(1)③得△CBM≌△CDF得出CM=CF，∠BCM=∠DCF，证明△CMF是等腰直角三角形，得出MF=，即可得出结论；
③当点E在线段CB的延长线上时，BF+DF=，在DF上截取DM=BF，连接CM，同(1) ③得:ACDM≌△CBF得出CM=CF，∠DCM=∠BCF，证明△CMF是等腰直角三角形，得出MF=，即可得出结论．
【详解】
解：（1）①如图，

②∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，，
∴，
∵BF⊥DE,
∴∠BFE=90°，
∴,
故答案为：45°-α；
③线段BF，CF，DF之间的数量关系是．
证明如下：在DF上截取DM=BF，连接CM．如图2所示，
∵ 正方形ABCD，
∴ BC=CD，∠BDC=∠DBC=45°，∠BCD=90°
∴∠CDM=∠CBF=45°-α，
∴△CDM≌△CBF（SAS）．
∴ DM=BF， CM=CF，∠DCM=∠BCF．
∴ ∠MCF =∠BCF+∠MCE
=∠DCM+∠MCE
=∠BCD=90°，
∴ MF =．
∴
（2）分三种情况：①当点E在线段BC上时，DF=BF+，理由同(1)③；
②当点E在线段BC的延长线上时，BF=DF+，理由如下：
在BF上截取BM=DF，连接CM，如图3所示，
同(1) ③，得：△CBM≌△CDF (SAS)，
∴CM=CF， ∠BCM=∠DCF．
∴∠MCF=∠DCF+∠MCD=∠BCM+∠MCD= ∠ BCD=90°，
∴△CMF是等腰直角三角形，
∴MF=，
 ∴BF=BM+MF=DF+；
③当点E在线段CB的延长线上时，BF+DF=；理由如下：
在DF上截取DM=BF，连接CM，如图4所示，
同（1）③得：△CDM≌△CBF，
∴CM=CF，∠DCM=∠BCF，
∴∠MCF=∠DCF+ ∠MCD= ∠DCF+∠BCF=∠BCD=90°，
∴△CMF是等腰直角三 角形，
∴MF=,
即DM+DF=，
∴BF+DF=;
综上所述，当点E在直线BC上时，线段BF，CF，DF之间的数导关系为：，或，或．

【点睛】
此题是四边形的一道综合题，考查正方形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，注意解题中分情况讨论避免漏解．