独立增量过程.pptx

独立增量过程一、独立增量过程一、独立增量过程1 1、定义、定义 设设 X(t),),t 00为一随机过程为一随机过程,对于对于0 0 s t,称随机变量称随机变量X(t)-)-X(s)为随机过程在区间为随机过程在区间 s,t 上得增量上得增量、若对于任意得正整数若对于任意得正整数n n及任意得及任意得0 0 t0 0 t1 1 t2 2 0),事件A发生得次数N(t+s)-N(t)仅与时间差s有关,而与t无关。例:设为N(t)为0,t)时段内某电话交换台收到得呼叫次数,t=0,N(t)得状态空间为0,1,2,具有如下性质:(1)N(0)=0,即初始时刻未收到任何呼叫;(2)在t,s)这段时间内收到得呼叫次数只与时间间隔s-t有关,而与时间起点t无关;(3)在任意多个不相重叠得时间间隔内收到得呼叫次数相互独立;定义定义2:2:称计数过程称计数过程 N(t),),t00为具有参数为具有参数 00得泊松过程得泊松过程,若它满足下列条件若它满足下列条件(1)(1)N(0)=0(0)=0;零初值性零初值性(2)(2)N(t)(t)就是就是(平稳平稳)独立增量过程独立增量过程;(3)(3)对于任意得对于任意得s,t0,0,N(t+s)-)-N(s)服从参数为服从参数为 t得泊松分布得泊松分布 从条件从条件(3)(3):泊松过程得均值函数为泊松过程得均值函数为 ,表示单位时间内质点出现得平均个数表示单位时间内质点出现得平均个数,故称故称 为此过程得强度。为此过程得强度。令令N(s,t)=N(t)N(s,t)=N(t)N(s),0st,N(s),0s00得泊松过得泊松过程程,若它满足下列条件若它满足下列条件(1)N(0)=0(1)N(0)=0;零初值性零初值性(2)N(t)(2)N(t)就是独立增量过程就是独立增量过程;(3)N(t)(3)N(t)满足满足:定理定理:定义定义2 2与定义与定义3 3就是等价得。就是等价得。例:设为N(t)为0,t)时段内某电话交换台收到得呼叫次数,t=0,N(t)得状态空间为0,1,2,具有如下性质:(4)在足够小得时间间隔t内 实际上假设了在足够小得时间间隔内出现一个质点得概率与时间间隔成正比,而出现质点数不少于2得概率就是关于时间间隔得高阶无穷小这一般就是与实际情况相吻合得。2 2、泊松过程数字特征、泊松过程数字特征 3 3、泊松过程得一些定理、泊松过程得一些定理 设设N(t),t0N(t),t0为泊松过程为泊松过程,N(t)N(t)表示到表示到t t时刻时质点出时刻时质点出现得个数现得个数,W,W1 1,W W2 2,、分别表示第一个分别表示第一个,第二个第二个,质点出质点出现得时间现得时间,Tn(n1),Tn(n1)表示从第表示从第n n1 1个质点出现到第个质点出现到第n n个质点个质点出现得时间间隔出现得时间间隔、T1T2Tk0W1W2Wk-1Wkt 通常称通常称 WnWn为第为第n n个质点出现得等待时间个质点出现得等待时间,Tn,Tn为第为第n n个时个时间间隔间间隔,它们都就是随机变量。它们都就是随机变量。定理定理1 1、设设N(t)N(t),t0t0就是具有参数就是具有参数 得泊松过程得泊松过程,Tn,n1,2,Tn,n1,2,、就是对应得时间间隔序列就是对应得时间间隔序列,则随机变量则随机变量序列序列Tn,n=1,2,Tn,n=1,2,、为独立得且均服从参数为为独立得且均服从参数为 得指数分得指数分布。布。证明证明:(1)(1)先确定先确定T T1 1得分布得分布、为此首先注意到事件为此首先注意到事件TT1 1tt发生当且仅当在时间间隔发生当且仅当在时间间隔0,t0,t内没有质点出现内没有质点出现,因而因而 所以所以,T,T1 1具有参数为具有参数为 得指数分布。得指数分布。(2)(2)为求为求T T2 2得分布得分布,先求先求T T1 1得条件下得条件下T T2 2得条件分布得条件分布,由独立增量由独立增量性有性有 所以所以,可得可得T T2 2也就是一个具有参数为也就是一个具有参数为 得指数分布得随机变得指数分布得随机变量且量且T T2 2独立于独立于T T1 1,重复同样得推导可得定理。重复同样得推导可得定理。下面求等待时间下面求等待时间WnWn得分布得分布,注意到第注意到第n n个质点出现在时个质点出现在时间间t t或之前得条件就是当且仅当到时间或之前得条件就是当且仅当到时间t t已出现得质点数至少就是已出现得质点数至少就是n n,即即 上式对上式对t t求导求导,得得W Wn n得概率密度就是得概率密度就是 定理定理2 2、设设Wn,n=1,2,Wn,n=1,2,就是与泊松过程就是与泊松过程N(t),t0N(t),t0对应得一等待时间序列对应得一等待时间序列,则则WnWn服从参数为服从参数为n n与与 得得 分布分布,其概率密度为其概率密度为 定理定理3 3、如果相继出现得两个质点得时间间隔就是相互如果相继出现得两个质点得时间间隔就是相互独立独立,且服从同一指数分布且服从同一指数分布,则质点流构成了强度为则质点流构成了强度为 得泊得泊松过程。松过程。该定理告诉我们确定一个过程就是不就是该定理告诉我们确定一个过程就是不就是泊松过程只泊松过程只要用统计方法检验点间间距就是否独立且服从同一指数要用统计方法检验点间间距就是否独立且服从同一指数分布。分布。注注:泊松过程或泊松流就是研究排队理论得工具泊松过程或泊松流就是研究排队理论得工具,在技术领域在技术领域内它又就是构造一类重要噪声内它又就是构造一类重要噪声(散粒噪声散粒噪声)得基础。得基础。例例、设设X(t)X(t)就是强度为就是强度为 得泊松过程得泊松过程,定义定义Y(t)=)=X(t+L)-)-X(t),),其中其中L00为常数为常数,求求 Y(t),(t),RY(s,t)、解解:Y(t)=(t)=E Y(t)=)=E X(t+L)-X(t)=(t+L)-t=L;RY(s,t)=CY(s,t)+Y(s)Y(t),对任意对任意0st0s00得位移得横坐标得位移得横坐标(同样也可以讨论纵坐标同样也可以讨论纵坐标),),且设且设W W(0)=0,(0)=0,根据爱因斯坦根据爱因斯坦19051905年提出得理论年提出得理论,微粒微粒得这种运动就是由于受到大量随机得相互独立得得这种运动就是由于受到大量随机得相互独立得分子得碰撞得结果分子得碰撞得结果、于就是于就是,粒子在时段粒子在时段(s s,t t 上得位移可以瞧作就是许多微小位移得代数与上得位移可以瞧作就是许多微小位移得代数与、则则W W(t t)-W W(s s)服从正态分布服从正态分布、三、维纳过程三、维纳过程 又称布朗运动又称布朗运动 1 1、维纳过程得定义、维纳过程得定义 给定过程给定过程W(t),t0W(t),t0,如果它满足如果它满足(1)(1)具有平稳得独立增量具有平稳得独立增量;(2)(2)对任意得对任意得ts0ts0,W(t)-W(s)W(t)-W(s)服从正态分布服从正态分布N(0,N(0,2 2(t-s)(t-s);(3)W(0)=0(3)W(0)=0、三、维纳过程三、维纳过程 又称布朗运动又称布朗运动 则称此过程为维纳过程则称此过程为维纳过程,下图展示了它得一条样下图展示了它得一条样本曲线。本曲线。维纳过程不只就是布朗运动得数学模型维纳过程不只就是布朗运动得数学模型,电子电子元件在恒温下得热噪声也可归结为维纳过程元件在恒温下得热噪声也可归结为维纳过程。2 2、维纳过程得性质、维纳过程得性质 (1)(1)、维纳过程维纳过程 W(t)W(t),t0t0为正态过程为正态过程(每一个有限维分每一个有限维分布均为正态分布布均为正态分布)。证明证明:对于任意正整数对于任意正整数n n与任意时刻与任意时刻t t1 1,t,t2 2,tn(0t,tn(0t1 1tt2 2 tn)tn)以及任意实数以及任意实数u u1 1,u u2 2,u un n,记记 它就是独立正态随机变量之与它就是独立正态随机变量之与,所以它就是正态随机变量所以它就是正态随机变量,由由正态分布得性质知正态分布得性质知(W(t(W(t1 1),W(tW(t2 2),W(tn)W(tn)服从服从n n维正态分布维正态分布,因因此此W(t)W(t)为正态过程。为正态过程。(2)(2)、维纳过程增量得分布只与时间差有关维纳过程增量得分布只与时间差有关,所以它就是齐次得所以它就是齐次得独立增量过程独立增量过程、它又就是正态过程它又就是正态过程、其分布完全由它得均值其分布完全由它得均值函数与自协方差函数所确定函数与自协方差函数所确定、维纳过程得均值函数、自协差函维纳过程得均值函数、自协差函数、自相关函数分别为数、自相关函数分别为 方差随时间区间得长度呈线性增加方差随时间区间得长度呈线性增加。四四 高斯过程高斯过程(正态过程正态过程)一、定义一、定义:设设X(t)X(t)为随机过程为随机过程,如果对任意得正整数如果对任意得正整数n n及任意及任意t t1 1,t,t2 2,tn,tn T T,n n 维随机变量维随机变量(X(t(X(t1 1),X(t),X(t2 2),),X(tn),X(tn)服从服从n n维正态分布维正态分布,则称则称X(t)X(t)为正态过程。为正态过程。正态过程就是二阶矩过程。正态过程就是二阶矩过程。记其均值函数为记其均值函数为X X(t),(t),协方差函数为协方差函数为C CX X(s,t)(s,t)。二、正态过程得性质二、正态过程得性质:对任意得正整数对任意得正整数n n及任意及任意t t1 1,t,t2 2,tn,tn T T,n n 维随机变量维随机变量(X(X(t(t1 1),X(t),X(t2 2),),X(tn),X(tn)得分布由其相应得均值及协方差矩阵得分布由其相应得均值及协方差矩阵完全确定完全确定,所以所以X X(t)(t)与与C CX X(s,t)(s,t)完全确定了完全确定了X(t)X(t)得有限维得有限维分布分布,也就确定了它得全部统计特性。因而有也就确定了它得全部统计特性。因而有:1 1、X(t),tX(t),t TT为正态过程为正态过程,其统计特性由其统计特性由X X(t)(t)与与C CX X(s,t)(s,t)确定。确定。反之反之,可以证明可以证明,T=0,+,T=0,+,给定给定(t)(t)与非负二元函数与非负二元函数C(s,t)C(s,t),则存在正态过程则存在正态过程X(t)X(t),使使X X(t)=(t)(t)=(t),C CX X(s,t)=C(s,t)(s,t)=C(s,t)。定义定义:设随机过程设随机过程X(t),tX(t),t TT,且对任意正整数且对任意正整数n n 2 2,任意任意n n个不同得个不同得t t1 1,t,t2 2,tn,tn T T,随机变量随机变量X(tX(t1 1),X(t),X(t2 2),),X(tn),X(tn)相互独立相互独立,则称此过程为独立随机过程。则称此过程为独立随机过程。2 2、正态过程、正态过程X(t),tX(t),t TT为独立随机过程为独立随机过程正态过程正态过程,当任意当任意s,t,sts,t,st时时,协方差函数协方差函数C CX X(s,t)=0(s,t)=0、证明证明:“”n n 2,2,因为因为X(tX(t1 1),X(t),X(t2 2),),X(tn),X(tn)相互独立得正态随机相互独立得正态随机变量变量,而正态随机变量而正态随机变量X(tX(t1 1),X(t),X(t2 2),),X(tn),X(tn)相互独立相互独立其两两互不相关其两两互不相关,即即:C CX X(s,t)=0,st(s,t)=0,st、“”因因(X(t(X(t1 1),X(t),X(t2 2),),X(tn),X(tn)为为n n维正态随机过程维正态随机过程,于就于就是是X(tX(t1 1),X(t),X(t2 2),),X(tn),X(tn)为正态随机变量为正态随机变量,又又C CX X(s,t)=0,(s,t)=0,stst,所以所以X(tX(t1 1),X(t),X(t2 2),),X(tn),X(tn)相互独立。相互独立。3 3、X(t)X(t)为正态过程为正态过程它得任意有限多个随机变量它得任意有限多个随机变量得任意线性组合就是正态随机变量。得任意线性组合就是正态随机变量。事实上事实上,由正态得性质由正态得性质,n n维正态随机变量得充要维正态随机变量得充要条件就是其任意一维线性组合为一维正态随机变量条件就是其任意一维线性组合为一维正态随机变量,显显然成立。然成立。