导数中的“端点效应”问题.doc

导数中的“端点效应”问题
不等式恒成立求参数的取值范围的题目一般形式是：当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。
一般解法主要有两种：一是直接求函数的最值；二是把参数分离出来，得到或的形式，然后再求函数的最值。
纵观近几年的高考试题，利用导数求不等式中某一参数的试题可以考虑使用“端点效应”，即对某个端点进行验证。
基本原理：设函数𝑓(𝑥)含参数𝜆，且，𝑓(𝑥) > 0恒成立的𝜆的取值范围为𝐵。 若，由𝑓(𝑥0 ) > 0 ⇒ ，（此时𝐵 ⊆ 𝐶.） 且当时，𝑓(𝑥) > 0恒成立，则𝐵 = 𝐶.
说明：1.“此时𝐵 ⊆ 𝐶”，是因为∀𝑥 ∈ 𝐴，𝑓(𝑥) > 0恒成立的取值范围是由𝑥取集合𝐴中每一个值使𝑓(𝑥)成立的𝜆的所有取值范围的交集确定.
2.设函数𝑓(𝑥)含参数𝜆，且，𝑓(𝑥) > 0恒成立的𝜆的取值范围为𝐵，则，使得𝑓(𝑥) ≤ 0成立的𝜆的取值范围为；所以特称命题转化为全称命题后，也可以考虑用特殊点效应.
（一）端点效应——给定原始区间的端点效应
例 1.已知9 𝑥 − log𝑎 𝑥 ≤ 2在上恒成立，则实数𝑎的取值范围是______.

例2.已知函数。
（1）讨论函数𝑓(𝑥)的单调性；
（2）若存在，使得成立，求实数𝑚的取值范围.

根据以上分析可知，若不等式具有如下特点：验证端点时，发现有成立，也就是不等式中等号成立的条件恰好是已知区间的一个端点，那么，不等式成立就化为不等式成立，假设函数在上是单调增函数，就可以确定实数的一个恰发的范围，使成立，即找到一个使不等式成立的充分条件。接下来还需要证明，不在这个范围内的实数，不能够满足条件。这时只需要找到一个以为端点的区间，当时，，从而在上是减函数，因此有成立，这与矛盾，而区间的得到只需要通过解不等式。
1.已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是____.

2.函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是____.
3.已知函数，当时，若函数在区间上是单调函数，求的取值范围.
4.【2008江苏】设函数，若对于总有恒成立，则=____.

例3.已知函数。
（1）设，讨论的单调性；
（2）若对任意恒有，求的取值范围。

例4.设函数。
（1）若时，求的单调区间；
（2）若当时，，求的取值范围。
函数在端点处的取值有以下三种情形：
（1） 在区间的端点和处均有定义且
（2） 在区间的端点或处无定义或区间是无限区间；
（3） 在区间的端点或处有或。
（二）端点处的取值有意义且不为0
例5.【2008天津】设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
例6.若在上恒成立，则实数的取值范围是________
【变式1】【2013全国卷】已知函数，当时，，求的取值范围。

【变式2】【2012江西】已知函数在上单调递减，求的取值范围。

【变式3】【2010天津】已知函数，若在区间上恒成立，求的取值范围。

例7. 设函数。
（1）证明：当时，；
（2）设当时，，求的取值范围。
（二）端点处的取值没有意义且趋于无穷
的定义域是，且当趋于0时，趋于负无穷，当趋于时，趋于正无穷，为了后面方便表述，记。然后不管函数在区间的端点处有没有意义，也不管是否为无穷，我们均记为当趋于时的值。这样的记法为了后面的叙述。
例8.【2012新课标】当时，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
例9.【2009江西】已知函数，若对于任一实数，与的值至少有一个为正，则的取值范围是______.
【变式1】不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
（三）变形后验证端点
例10.已知函数，曲线在点处的切线方程为。
（1）求的值；
（2）如果当且时，，求的取值范围。

（四）无端点时选择特殊点验证
例11.已知函数，其中，若对一切求的取值范围。