埃尔米特插值精讲.pptx

复复 习习前前面面我我们们已已经经学学过过两两种种插插值值方方法法：LangrangeLangrange插值插值和和NewtonNewton插值插值。共同点共同点1 1）插值条件类型）插值条件类型(函数值函数值)相同，即相同，即xix0 x1xnyi=f(xi)y0y1yn2 2）求一个次数不超过）求一个次数不超过n n的代数多项式的代数多项式3 3、构造方法：、构造方法：采用基函数的思想采用基函数的思想LangrangeLangrange插值法：插值法：NewtonNewton插值法：插值法：注：注：两种方法的结果相同（唯一性）两种方法的结果相同（唯一性）2.4埃埃尔尔米米特特插插值值一、埃尔米特插值多项式一、埃尔米特插值多项式 二、两种简单情形二、两种简单情形三、例题三、例题一、一、HermiteHermite插值多项式的定义插值多项式的定义插插值值条条件件中中除除函函数数值值插插值值条条件件外外，还有还有导数值导数值插值条件插值条件，如，如已知：已知：2 2n+2+2个条件个条件xix0 x1xnyi=f(xi)y0y1yn求求:一一 个个 次次 数数 不不 超超 过过 2 2n+1+1的的 多多 项项 式式H H2 2n+1+1(x x)二、两种简单情形二、两种简单情形 情形情形1.1.已知：已知：3 3个条件个条件xi01yi=f(xi)y0y1求求:一个次数不超过一个次数不超过2 2的多项式的多项式H H2 2(x x)解：解：用用基函数的方法基函数的方法，设，设则可要求则可要求:其中其中 是基函数，满足是基函数，满足（1 1）都是）都是2 2次多项式次多项式；（2 2）无关性）无关性插值余项为插值余项为:仿仿Lagrange 或或 Newton 证明证明情形情形2.2.已知：已知：4 4个条件个条件xix0 x1yi=f(xi)y0y1求求:一个次数不超过一个次数不超过3 3的多项式的多项式H H3 3(x x)自习。注意用基函数的方法自习。注意用基函数的方法插值余项为插值余项为:已知：已知：2n+2个条件个条件则对于一般情况：则对于一般情况：xix0 x1xnyi=f(xi)yi=f (xi)y0y0y1y1ynyn求求:一个次数不超过一个次数不超过2n+1的多项式的多项式H2n+1(x)则可以设：则可以设：插值余项为：插值余项为：Hermite插值的方法：插值的方法：(1)基函数方法基函数方法(2)承袭性方法承袭性方法*（见后例题）（见后例题）注：注：当给出某个点处的函数值及当给出某个点处的函数值及其各阶导数时，即为泰勒插值其各阶导数时，即为泰勒插值（展开式）（展开式）。作业：作业：习题习题 1414，1616三、例题三、例题例例1 1：给给定定如如下下数数据据表表，求求次次数数不不高高于于3 3次的代数插值多项式。次的代数插值多项式。xi01 f(xi)0011*借助借助承袭性承袭性的思想插值的思想插值:解：本题利用承袭性的思想解：本题利用承袭性的思想首先利用：首先利用：xi01 f(xi)01求出：求出：L1 1(x)增加：增加：0 00 0 xi01 f(xi)001再增加：再增加：1 1 1 1xi01 f(xi)0011例例2 2：给给定定如如下下数数据据表表，求求次次数数不不高高于于3 3次的代数插值多项式。次的代数插值多项式。xi012 f(xi)0001例例3 3：给给定定如如下下数数据据表表，求求次次数数不不高高于于4 4次的代数插值多项式。次的代数插值多项式。xi0123 f(xi)01203例例4 4：给给定定如如下下数数据据表表，求求次次数数不不高高于于5 5次的代数多项式。次的代数多项式。xi-1012 f(xi)10114160.115解：解：先构造插值于四个函数值的插值多项式先构造插值于四个函数值的插值多项式用用NewtonNewton插值法可得：插值法可得：再构造插值于两个导数值的插值多项式再构造插值于两个导数值的插值多项式解出系数解出系数例例5 5：给给定定如如下下数数据据表表，求求次次数数不不高高于于3 3次的代数多项式。次的代数多项式。xix0 x1 f(xi)f(x0)f(x1)提示提示例例6 6：给给定定如如下下数数据据表表，求求首首项项系系数数为为1 1的的4 4次的代数多项式。次的代数多项式。xiab f(xi)0000提示提示xiab f(xi)0000进一步讨论第进一步讨论第2 2列中的列中的“0 0”上移和下移情上移和下移情况下如何求解？况下如何求解？