函数求值域方法之值域换元法.pdf

函数求值域方法之值域换元法函数求值域方法之值域换元法 求值域的方法有很多，在众多的方法中，换元法是比较常用且非常有效的求解值域的办法，这里，给大家总结五种常见的换元方法，欢迎大家补充。五种常见换元办法：一般换元法；三角换元法（难度较大）；三角换常值换元法；双换元法；整体换元法类型一：一般换元法类型一：一般换元法形如：形如：y=ax+bdcx方法：方法：本形式下，部分函数在取值区间内，单调性确定，所以可以直接使用单调性判断，单调性无法确定的时候，本题可使用一般换元的思路，令 t=，用 t 表示 x，带入原函数得到一个关于 t 的二次函数，求解值域即可。dcx例例 1 1：求函数：求函数的值域的值域1)(xxxf分析：分析：本题，在取值区间内，x 单调增，单调增，两个单调增),1 x1x的函数相减无法直接判断单调性，所以单调性无法确认，考虑使用一般换元。解：解：另（），则，1xt0t12 tx 代入得（）)(xf1)(2ttxf0t本题实求二次函数在指定区间内的范围当，0t43)(xf所以),43)(xf变式：求函数变式：求函数的值域的值域1)(xxxf分析：分析：本题，在取值区间内，x 单调增，单调增，两个单调增),1 x1x的函数相加，所以整个函数在取值区间上单调递增所以即可)1()(fxf答案：答案：),1)(xf由于一般换元法相对来说比较简单，这里就不赘述，留一道练习由于一般换元法相对来说比较简单，这里就不赘述，留一道练习练习：求练习：求的值域的值域1332)(xxxf类型二：三角换元类型二：三角换元记住一句话：三角换元 一个大原则，三个常用公式A、一个大原则：有界，换成xcos,sin 无界，换成xtanB、三个常用公式：遇到，且前面系数为，常用2x11cossin22 遇到，且前面系数为 1，常用2x22tan1cos1 巧用万能公式：2tan12tan2sin2 2tan12tan1cos22三角换元时，尤其注意确定好的取值范围，下面用具体的例题跟大家说明。例例 2 2：求：求的值域的值域21)(xxxf分析：分析：本题若使用一般换元法，则只能得到与之间的关系，操作起来比较2x2t麻烦，换元法本身的目的就是要使得题目变得更为简单便捷，所以一般换元法失灵，考虑使用三角换元，因为前面的系数是-1，所以使用公式换元2x解：解：令，sinxQ012 x 1,1x 1,1sin另另（原因：方便后面化出来的（原因：方便后面化出来的，不用讨论正负性了），不用讨论正负性了）2,2cos代入，得=)(xf2sin1sin)(xf|cos|sin，Q2,2cossin)(xf辅助角公式，合一变形得：（）)4sin(2)(xf2,2，43,442,1)(xf变式：求变式：求的值域的值域22)(xxxf分析：分析：另即可 sin2x答案：答案：2,2例例 3 3 ：求：求 的值域的值域11)(2xxxf分析：分析：本题前面的系数是 1，所以考虑使用公式2x解：解：1,01012xxx，Q另U)4,2(,tanx)24(，)4sin(21cossin1coscossincos11tan1tan)(22xf U U，U U）（4,2Q)2,4()0,4(4)4,0(U U22,()(xf),1(变式：变式：求求的值域的值域112)(2xxxxf分析：分析：1111,20,1,022xxxxxxx或或 ，使用三角公式0,1111但x 具体过程问群主哟答案：答案：2,1 1,2)(xf例例 4 4：求：求的值域的值域42321)(xxxxxf分析：分析：本题是高次式求值域，通过常规的解法很难操作，因而我们通过转化，进行三角换元，再求解值域。解：解：1x11)1()1()(222222xxxxxxxf 到这一步以后，自然而然想到我们的第三个三角公式万能公式 2tan12tan2sin22tan12tan1cos22 对 f（x）再进行转化 令)2,2(,tanRxx 4sin41)2cos(2sin211tan1tantan1tan221)(222xf 41,41)(),2,2(4xf类型三：三角换常值换元法类型三：三角换常值换元法本类型主要是三角函数求值域下的一类，由于涉及换元，所以在本专题下讲解，222111221)(xxxxxf此类题目主要是针对分式形式的三角函数，用到的换元方法是万能公式的逆向应用。由于，可令，则就转化cos2tan12tan1,sin2tan12tan22222tantcos,sin成了关于 t 的函数，再根据一般函数求解值域的办法求解（在另外专题中讲解）例例 5 5：求：求的值域的值域xxxfcos2sin)(分析：分析：本题解法颇多，这里主要讲解两种方法。利用万能公式我们可以把正余弦转发为关于 t 的函数；当然本题也可用斜率的相关知识求解。解：方法一：万能公式法解：方法一：万能公式法xxxxxxxxxf2tan312tan22tan12tan122tan1tan2cos2sin)(2222令，但是，有范围要求虽然xxRxxtx2tan,0cos2,2tan QRx整体2tanRt，当，分母是对勾函数，应2312)(ttxfttxftxft132)(0,0)(0时，时，用对勾函数的相关性质，可得值域33,33)(xf方法二：斜率法（联系方法二：斜率法（联系 群主群主 要哦）要哦）类型四：双换元法类型四：双换元法例例 6 6：求：求的值域的值域31)(xxxf分析：分析：本题含有两个根号，使用一次换元，无法把根号去掉。有根号的题目，要么换元，要么平方，要么分子分母有理化。本题介绍两种解法。解：方法一：平方法解：方法一：平方法322432231)(222xxxxxxxf1303,01xxxQ本题实求在时，的取值范围，二次函数求范围 1,3x322xx，43202xx8,4)(2xf22,2)(xf方法二：双换元法方法二：双换元法令13,3,1xxnxmQ20,20nm43122xxnm本题等价于：已知，求422nmnmxf)(接下来有两种思路：思路一：