对坐标的曲线积分的概念二对坐标的曲线积分的计算法三两类曲线-.pptx

本节要点本节要点一、对坐标的曲线积分的概念一、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法三、两类曲线积分的联系三、两类曲线积分的联系 在第一节中在第一节中,讨论的是对弧长的曲线积分讨论的是对弧长的曲线积分,这是一种这是一种 1.有向曲线有向曲线一、第二类曲线积分的概念一、第二类曲线积分的概念无方向的曲线积分无方向的曲线积分.例如曲线的弧长、转动惯量等等例如曲线的弧长、转动惯量等等,均与方向无关均与方向无关.在这一节中在这一节中,我们讨论与我们讨论与“方向方向”有关有关的的曲线积分曲线积分.例如对单位圆例如对单位圆 给定一条曲线给定一条曲线,如果规定了其中的一个走向作为曲线如果规定了其中的一个走向作为曲线的的“方向方向”,则此曲线称为则此曲线称为有向曲线有向曲线.若规定其方向若规定其方向为逆时针方向（即当参数为逆时针方向（即当参数 由由 变为变为 时曲线上动点时曲线上动点的移动方向）的移动方向）,则则 就成为一条有向曲线就成为一条有向曲线.对非封闭曲线弧对非封闭曲线弧 如果规定它的两个端点中的一个如果规定它的两个端点中的一个（记作（记作 ）为起点）为起点,另一个（记作另一个（记作 ）为终点）为终点,此时有此时有 为为向曲线向曲线量的方向与曲线的方向一致（见下图）量的方向与曲线的方向一致（见下图）.对有向曲线曲线对有向曲线曲线 规定规定 上任一点上任一点 处的切向处的切向故故,单位切向量为单位切向量为例例8.7 设有向曲线设有向曲线求任意一点处求任意一点处 的单位位切向量的单位位切向量.解解 按以上对有向曲线切向量的方向的规定按以上对有向曲线切向量的方向的规定,从图上可从图上可以看出以看出,此曲线在任意点处的切向量为此曲线在任意点处的切向量为 2.变力沿曲线的作功问题变力沿曲线的作功问题 设一质点从点设一质点从点 沿光滑的平面曲线沿光滑的平面曲线 移动到点移动到点 在移在移 分析分析 若力若力 是常力是常力,曲线为直线曲线为直线,则功则功 为为动过程中动过程中,质点受到力质点受到力的作用的作用,其中其中 为为 上的连续函数上的连续函数,求求变力所做的功变力所做的功.由于由于 光滑且很短光滑且很短,可以用可以用 若若 是变力是变力,且质点沿曲线且质点沿曲线 移动移动,我们用定积分的我们用定积分的方法来解决方法来解决.在曲线在曲线 上自上自 至至 取分点取分点有向线段有向线段来近似代替来近似代替.其中其中将曲线将曲线 弧分成弧分成 个小弧段个小弧段.设分点设分点 为为是向量是向量 在在 轴上的投影轴上的投影,是向量是向量 在在 轴上的投影轴上的投影.因函数因函数连续连续,故在故在 上上,可以用任一可以用任一点点 处的力来近似代替处的力来近似代替,即在即在 上有上有于是变力沿有向小弧段于是变力沿有向小弧段 所所做的功做的功 近似于常力近似于常力沿有向线段沿有向线段 所做的功所做的功,即即所以所以将所有小弧段长度的最大者记为将所有小弧段长度的最大者记为 并令并令所得上所得上述和式的极限述和式的极限即为变力即为变力 沿有向曲线沿有向曲线 所做的功所做的功.这种和式的极限在研究其它问题时也会经常遇到这种和式的极限在研究其它问题时也会经常遇到.我我们引入下述定义们引入下述定义.3.第二类曲线积分的定义第二类曲线积分的定义有向曲线弧有向曲线弧,函数函数定义定义8.2 设设 是是 平面上从点平面上从点 到点到点 的一条光滑的的一条光滑的在在 上有界上有界,沿沿 的的方向依次取分点方向依次取分点把把 分成分成 个有向弧段个有向弧段设设并记并记 为所有小弧段长度的最为所有小弧段长度的最大者大者,在在 上任取一点上任取一点如果极限如果极限类似地类似地,如果极限如果极限存在存在,则称此极限为则称此极限为函数函数 在有向线段在有向线段 上对坐上对坐标标 的积分的积分,记为记为存在存在,则称此极限为则称此极限为函数函数 在有向线段在有向线段 上对坐上对坐标标 的积分的积分,记为记为及及即即（8.5）（）其中其中 称为称为被积函数被积函数,及及称为称为被积表达式被积表达式,称为（有向）称为（有向）积分弧积分弧,称为有向弧称为有向弧 的的投影元素投影元素.在应用中经常出现在应用中经常出现这种合并起来的形式这种合并起来的形式.为简单起见为简单起见,记为记为由此由此,变力沿曲线做的功可写成变力沿曲线做的功可写成（8.6）如果曲线如果曲线 是分段光滑的是分段光滑的,则规定函数在则规定函数在 上对坐标上对坐标的曲线积分等于在光滑的各弧段上对坐标的曲线积分的的曲线积分等于在光滑的各弧段上对坐标的曲线积分的和和.当当 连续时连续时,对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分和和总存在（以下总假定总存在（以下总假定 在在 上连续）上连续）.5.积分性质积分性质若若 则则即即:改变曲线方向则积分变号改变曲线方向则积分变号.若若 是是 的反向曲线的反向曲线,则则 因此因此,关于坐标的曲线积分关于坐标的曲线积分,一定要注意积分弧段的一定要注意积分弧段的方向方向.二、第二类曲线积分的计算方法二、第二类曲线积分的计算方法 第二类曲线积分可通过下面的转换方法转换成定积分第二类曲线积分可通过下面的转换方法转换成定积分 若平面定向曲线若平面定向曲线 的方程为的方程为加以计算加以计算.函数函数 在在 上连续上连续,当参数当参数 单调地由单调地由变到变到 时时,点点 从从 的起点的起点 沿沿 移动到移动到 的终的终点点 则有则有（8.7）下面来推导该公式下面来推导该公式.因因在在 上连续上连续,故所给的曲线积分一故所给的曲线积分一定存在定存在.在在 上取取一列点上取取一列点它们对应一列单调变化的参数值它们对应一列单调变化的参数值 由对坐标曲线积分的定义由对坐标曲线积分的定义,有有再由微分中值定理再由微分中值定理,有有其中其中 在在 与与 之间之间,取取并注意到当并注意到当 时时,有有由曲线积分的存在性得由曲线积分的存在性得 而上式右端即为定积分而上式右端即为定积分即有即有同理有同理有两式相加即为（两式相加即为（8.7）值得注意的是值得注意的是,在（在（8.7）式右端的定积分中）式右端的定积分中,下限下限对应于对应于 的起点的起点,对应于对应于 的终点的终点.未必小于未必小于特殊地特殊地,若平面曲线由方程若平面曲线由方程 给出时给出时,其中其中由由 变到变到 则则例例8.7 计算计算解解1 积分曲线如图积分曲线如图.其中其中 为抛物线为抛物线 从点从点到点到点 的一段弧的一段弧.将所给曲线积分化为对将所给曲线积分化为对 的积分的积分,为此将曲线为此将曲线 分为分为 和和 两部分两部分.其中其中从从 变到变到 ;从从 变到变到 .因此因此解解2 将所给曲线积分化为对将所给曲线积分化为对 的积分的积分.由于由于从从 变到变到 ,所以所以例例8.8 求求解解 因因12的直线段的直线段.为从为从 到到 从从 到到 故故例例8.8 计算计算其中其中 为为半径为半径为 圆心在原点圆心在原点,按逆时针方向绕行的上半圆周按逆时针方向绕行的上半圆周;从点从点 到点到点 的直线段的直线段.解解 积分曲线如图积分曲线如图.取取 的参数方程为的参数方程为从从 变到变到则则此时此时 为有向线段为有向线段从从 变到变到 所以所以例例8.9 设有一质量为设有一质量为 的质点受重力作用在铅直平面上的质点受重力作用在铅直平面上沿某一曲线弧从点沿某一曲线弧从点 移到点移到点 求重力做的功求重力做的功.解解 取水平直线为取水平直线为 轴轴,轴铅直向上（见下图）轴铅直向上（见下图）.力为常力力为常力 重力在两坐标轴上的投影分别为重力在两坐标轴上的投影分别为因此质点从点因此质点从点 移动到移动到点点 时时,重力所做的功为重力所做的功为 则重则重 上式表明上式表明,重力做的功与质点的路径无关重力做的功与质点的路径无关,仅取决于仅取决于下降的高度下降的高度.对于定义在空间的有向曲线对于定义在空间的有向曲线 上的三元函数上的三元函数,可以类可以类似定义下列三个对坐标的曲线积分似定义下列三个对坐标的曲线积分:而且公式（而且公式（8.7）可以做如下推广）可以做如下推广.若若 由参数方程由参数方程确定确定,则有则有从从 变到变到（）其中其中 对应曲线的起点对应曲线的起点,对应曲线终点对应曲线终点.例例8.10 求求其中其中 为从为从解解 线段线段 的参数方程为的参数方程为的有向线段的有向线段.到到 其中其中 从从 变到变到 相应的积分为相应的积分为例例8.11 由由 确定一力场确定一力场,质点沿柱面质点沿柱面与平面与平面 的交线从的交线从解解 由第二类曲线积分的物理意义由第二类曲线积分的物理意义,得场力所作的功得场力所作的功移动到点移动到点求场力作的功求场力作的功.而在曲线而在曲线 上上,有有为为三、两类曲线积分的联系三、两类曲线积分的联系 设有向光滑曲线设有向光滑曲线 上任一点上任一点 处的单位切处的单位切向量向量的指向与有向曲线的指向与有向曲线的方向一致的方向一致,则则（8.9）我们借助变力做功问题来导出（我们借助变力做功问题来导出（8.9）.设质点在变力设质点在变力的的作用下作用下,沿曲线沿曲线 从点从点 移到点移到点 则力则力 所做的功为所做的功为 现利用对弧长的曲线积分来现利用对弧长的曲线积分来来计算此功来计算此功 设设 上自上自 到到 依次排列的依次排列的分点把分点把 分成分成 个小弧段个小弧段,取取出其中一个代表性的小弧段并记作出其中一个代表性的小弧段并记作（见下图）（见下图）.其中其中 的坐标为的坐标为 该点处的切向量为该点处的切向量为的长度为的长度为 我们用点我们用点 处的有向切处的有向切线段线段来近似代替有向小弧段来近似代替有向小弧段 当质当质从从 移到移到 时时,变力变力 所做的功所做的功近似等于近似等于对上式右端积分对上式右端积分,即得用弧长的曲线积分来计算功的表即得用弧长的曲线积分来计算功的表达式达式.由于计算同一由于计算同一 的两个积分表示式必然相等的两个积分表示式必然相等.此（此（8.9）式成立）式成立.两类空间曲线积分之间有类似的关系式两类空间曲线积分之间有类似的关系式:（）因因 例例8.12 试把第二类曲线积分试把第二类曲线积分解解 切向量为切向量为 单位切向量为单位切向量为故上面的积分为故上面的积分为化为对弧长的曲线积分化为对弧长的曲线积分,其中其中 为曲线为曲线 相应于相应于 从从0到到1的弧段的弧段.