集合知识点总结及习题.pdf

1集合集合123412nxAxBABABAnA（）元素与集合的关系：属于（）和不属于（）（）集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性集合与元素（）集合的分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集（）集合的表示方法：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法子集：若，则，即是的子集。、若集合中有个元素，则集合的子集有个，注关系集合集合与集合00(2-1)23,.4/nAAA B CABBCACABABxBxAABABABABABx xAxBAAAAABBAAB 真子集有个。、任何一个集合是它本身的子集，即、对于集合如果，且那么、空集是任何集合的（真）子集。真子集：若且（即至少存在但），则是的真子集。集合相等：且 定义：且交集性质：，运算,/()()()-()/()()()()()()UUUUUUUUA ABBABABAABx xAxBAAAAAABBAABAABBABABBCard ABCard ACard BCard ABC Ax xUxAAC AAC AAUCC AACABC AC B，定义：或并集性质：，定义：且补集性质：，()()()UUUCABC AC B 一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y(3)元素的无序性:如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合3元素与集合的关系（不）属于关系（1）集合用大写的拉丁字母 A、B、C表示2元素用小写的拉丁字母 a、b、c表示（2）若 a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A,记作 aA;若不是集合 A 的元素，就说 a 不属于集合 A,记作 aA;4.集合的表示方法：列举法与描述法。（1）列举法：将集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法格式：a,b,c,d 适用：一般元素较少的有限集合用列举法表示（2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。格式：x|x 满足的条件例如：xR|x-32 或x|x-32适用：一般元素较多的有限集合或无限集合用描述法表示 注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N=0,1,2,3，正整数集 N*或 N+=1,2,3，整数集 Z，-3，-2，-1，0,1,2,3，有理数集 Q实数集 R有时，集合还用语言描述法和 Venn 图法表示例如：语言描述法：不是直角三角形的三角形 Venn 图:4、集合的分类：(1)有限集 含有有限个元素的集合(2)无限集 含有无限个元素的集合(3)空集 不含任何元素的集合例：xR|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集定义：若对任意的 xA，都有 xB，则称集合 A 是集合 B 的子集，记为（或 BA）BA 注意：有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同BA 3一集合。符号与的区别反之:集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或BA2“相等”关系：A=B 定义：如果 AB 同时 BA 那么 A=B实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”3.真子集:如果 AB,且存在元素 xB,但 xA,那么就说集合 A 是集合B 的真子集，记作 AB(或 BA)4.性质 任何一个集合是它本身的子集。AA如果 AB,BC,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B5.不含任何元素的集合叫做空集，记为规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有 n 个元素的集合，含有 2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交 集并 集补 集定 义由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集记作AB（读作A 交 B），I即 AB=x|xA，且IxB由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集记作：AB（读作UA 并 B），即 AB U=x|xA，或 xB)设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集）记作，即ACSCSA=,|AxSxx且韦恩图示AB图 1AB图 2SASA4性性 质质AA=A IA=IAB=BAIIABAI ABBIABAB=AIAA=AUA=AUAB=BAUUABUABBUABAB=BU(CuA)(CuB)=Cu(AB)IU(CuA)(CuB)=Cu(AB)UIA(CuA)=U A(CuA)=UI第一章：集合与函数的概念第一课时：集合1.1 集合的含义与表示1.1.1 集合的含义：我们一般把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。通常用大写字母 A、B、C 等表示集合，用小写字母 a、b、c 等表示元素，元素与集合之间的关系是属于和不属于。元素 a 属于集合 A，记做 aA，反之，元素 a 不属于集合 A，记做 aA。1.1.2 集合中的元素的特征：确定性：如世界上最高的山；互异性：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y；无序性：如集合a、b、c和集合b、a、c是同一个集合。1.1.3 集合的表示方法：列举法；描述法；Venn 图；用数轴表示集合。常用数集及记法有非负整数集（即自然数集）正整数集整数集有理数集实数集NN+或 N*ZQR1.1.4 集合的分类：根据集合中元素的个数可分为有限集、无限集和空集。根据集合中元素的属性可分为数集、点集、序数对等。本节精讲：本节精讲：一一.如何判断一些对象是否组成一个集合：如何判断一些对象是否组成一个集合：判断一组对象能否组成集合，主要是要看这组对象是否是确定的，即对任何一个对象，要么在这组之中，要么不在，二者必居其一，如果这组对象是确定的，那么，这组对象就能够组成一个集合。例：例：看下面几个例子，判断每个例子中的对象能否组成一个集合。（1）大于等于 1，且小于等于 100 的所有整数；（2）方程 x2=4 的实数根；（3）平面内所有的直角三角形；（4）正方形的全体；（5）的近似值的全体；（6）平面集合中所有的难证明的题；（7）著名的数学家；（8）平面直角坐标系中 x 轴上方的所有点。练习：练习：考察下列各组对象能否组成一个集合，若能组成集合，请指出集合中的元素，若不能，请说明理由：（1）平面直角坐标系内 x 轴上方的一些点；（2）平面直角坐标系内以原点为圆心，以 1 为半径的园内的所有的点；（3）一元二次方程 x2+bx-1=0 的根；（4）平面内两边之和小于第三边的三角形5（5）x2,x2+1,x2+2；（6）y=x,y=x+1,y=ax2+bx+c(a0)；（7）2x2+3x-8=0,x2-4=0,x2-9=0；（8）新华书店中意思的小说全体。二有关元素与集合的关系的问题：二有关元素与集合的关系的问题：确定元素与集合之间的关系，即元素是否在集合中，还要看元素的属性是否与集合中元素的属性相同。例：例：集合 A=y|y=x2+1,集合 B=(x,y)|y=x2+1,(A、B 中 xR,yR)选项中元素与集合之间的关系都正确的是（）A、2A，且 2B B、（1,2）A，且（1,2）BC、2A，且（3,10）B D、（3,10）A，且 2B练习：练习：3.1415 Q；Q；0 R+；1 （x,y）|y=2x-3；-8 Z；三有关集合中元素的性质的问题三有关集合中元素的性质的问题：集合中的元素有三个性质:分别是确定性互异性无序性例：例：集合 A 是由元素 n2-n，n-1 和 1 组成的，其中 nZ，求 n 的取值范围。解：解：n 是不等于 1 且不等于 2 的整数。练习练习:1.已知集合 M=a,a+d,a+2d,N=a,aq,aq2,a0,且 M 与 N 中的元素完全相同，求 d 和 q 的值。2.已知集合 A=x，,1,B=x2,x+y,0，若 A=B，则 x2009+y2010的值为 ，A=B=.xy3.(1)若-3a-3,2a-1,a2-4求实数 a 的值；(2)若 m,求实数 m 的值。mm114.已知集合 M=2，a,b,N=2a,2,b2，且 M=N,求 a,b 的值。5.已知集合 A=x|ax2+2x+1=0,aR，(1)若 A 中只有一个元素，求 a 的值；(2)若 A 中至多有一个元素，求 a 的取值范围。四集合的表示法：四集合的表示法：三种表示方法练习；练习；1.用列举法表示下列集合。（1）方程 x2+y2=2d 的解集为 ；x-y=0（2）集合 A=y|y=x2-1,|x|2,xZ用列举法表示为 ；（3）集合 B=Z|xN用列举法表示为 ；x18（4）集合 C=x|=+，a，b 是非零实数用列举法表示为 ；aa|bb|2.用描述法表示下列集合。（1）大于 2 的整数 a 的集合；（2）使函数 y=有意义的实数 x 的集合；111xxx（3）1、22、32、42、3.用 Venn 图法表示下列集合及他们之间的关系：（1）A=四边形，B=梯形，C=平行四边形，D=菱形，E=矩形,F=正方形；（2）某班共 30 人，其中 15 人喜欢篮球，10 人喜欢兵乓球，8 人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球的人数为 ，用 Venn 图表示为：。五有关集合的分类：五有关集合的分类：六集合概念的综合问题：六集合概念的综合问题：练习练习61.若，则 t 的值为 _；ttt132.设集合 A=y|y=x2+ax+1，xR,B=(x,y)|y=x2+ax+1,xR,试求当参数 a=2 时的集合 A 和 B；3.已知集合 A=x|ax2-3x+2=0,aR,求（1）若集合 A 为空集，则 a 的取值范围；（2）若集合 A 中只有一个元素，求 a 的值，并写出集合 A；（3）若集合 A 中至少有一个元素，则 a 的取值范围。1.1 课后作业：课后作业：1.判断下列各组对象能否组成集合：（1）不等式的整数解的全体；320 x（2）我班中身高较高的同学；（3）直线上所有的点；21yx（4）不大于 10 且不小于 1 的奇数。2.用符号或填空：（1）2_ （2）_（3）0_N2Q 0（4）_ （5）0_（6）b,a b c*N2 3 _11x x（7）（8）2*3_1,x xnnN21,1 _ y yx（9）21,1 _,x yyx3.写出下列集合中的元素（并用列举法表示）：（1）既是素数又是偶数的整数组成的集合（2）大于 10 而小于 20 的合数组成的集合4.用适当的方法表示：（1）(x1)20 的解集；（2）方程组的解集；01yxyx（3）方程 3x2y10 的解集；（4）不等式 2x10 的解集；（5）奇数集；（6）被 5 除余 1 的自然数组成的集合。5.集合1，a2中 a 的取值范围。1.2 集合间的基本关系1.2.1 子集：一般地，两个集合 A 和 B，如果 集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记做 AB（或 BA）,读作“A 包含于 B”（或“B 包含 A”）。如右图示。比如说，集合 A=1、2、3，集合 B=1、2、3、4、5，那么，集合 A中的元素 1、2、3 都属于集合 B，所以，集合 A 为集合 B 的子集，记做 AB（或 BA）。1.2.2 集合相等：如果集合 AB 且 BA 时，集合 A 中的元素与集合 B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合 B 相等，记做 A=B。或 AB。71.2.3 真子集：如果集合，但存在元素，且，我们称集合 A 是集合 B 的真子集。记作：记作：BA BxAxAB（或 BA）也可记作：记作：（或）BA AB 1.2.4 空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记做，并规定：空集是任何非空集合的子集（当然是真子集）一一 集合间的包含与相等的问题集合间的包含与相等的问题:对于集合相等，我们要从以下三个方面入手：若集合 AB 且 BA 时，则 A=B；反之，如果 A=B，则集合 AB 且 BA。这就给出了我们证明两个集合相等的方法，即欲要证明 A=B，只需要证明 AB 和 BA 都成立就行了。两个集合相等，则所含元素完全相同，与集合中元素的顺序无关。要判断两个集合是否相等，对于元素较少的有限集合，可以用列举法将元素列举出来，看看两个集合中的元素是否完全相同；若是无限集合，则因从“互为子集”两个方面入手。例：例：若集合|Ax xa，|250Bxx，且满足AB，求实数a的取值范围.练习：练习：1.已知2|0Ax xpxq，2|320Bx xx且AB，求实数p、q所满足的条件.2.若21,2|0 x xbxc，则（）.A.3,2bc B.3,2bc C.2,3bc D.2,3bc 3.已知集合 Px|x2x60与集合 Qx|ax10，满足 QP，求 a 的取值组成的集合 A。二二 有关子集以及子集个数的问题：有关子集以及子集个数的问题：例例 1：判定以下关系是否正确(1)aa (2)1，2，33，2，1 (3)0 (4)00 （5）=0 （6）0 例例 2：列举集合1，2，3的所有子集例例 3：已知a、bAa、b、c、d,则满足条件集合 A 的个数为_例例 4：设集合 Ax|x54aa2，aR，By|y4b24b2，bR，则下列关系式中正确的是 。AAB BABCAB DAB 8例例 5：已知集合 A2，4，6，8，9，B1，2，3，5，8，又知非空集合 C 是这样一个集合：其各元素都加 2 后，就变为 A 的一个子集；若各元素都减 2 后，则变为 B 的一个子集，求集合 C练习：练习：10012001在以下五个写法中：，2120 01x|x12，写法正确的个数有 A1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个2A=(xy)|yx=1B=(xy)|y=x集合，与，的关系是 AA=BB ABCABDAB301M01234满足条件，的不同集合的个数M是 A8 个 B.7 个 C.6 个 D.5 个4设 I=0，1，2，3，4，5，A=0，1，3，5，B=0,则:0_A 0_B CIA_CIB1C B C A ABII5已知 A=x|x=(2n1)，nZ，B=y|y=(4k1)，kZ，那么 A 与 B 的关系为 6.已知集合 A=1,3，a,B=1,a2-a+1,且 AB，求 a 的值。7已知集合 A=xR|x23x3=0，B=yB|y25y6=0，APBP，求满足条件的集合 8已知集合 A=x|x=a21，aN，B=x|x=b24b5，bN，求证：A=B。课后作业：课后作业：A A 组组1.写出集合1，2，3的所有子集，并指出哪些是它的真子集。2.下列命题：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若，则。其中正确的有（）AAA、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个3.设，则 A，B 的关系是123),(,23),(,xyyxBxyyxARyx_4.已知，求实数的取值范围。52xxA121axaxBAB a95.已知集合,集合，若，则实数的值。12,3,1mA2,3 mB AB m6.设集合，若 A 是 B 的真子集，求实数的取值范围。31xxA0axxBa7.用适当的符号填空：_cbaa,_0_02xx012xRx N_1,0 xxx2_0 023_1,22 xxx8.判断下列两个集合之间的关系：,是 8 的约数 _4,21，A xxB，_NkkxxA,3NzzxxB,6,是 4 与 10 的公倍数 _NmmxxA,20 xxB 9.设集合，若，求实数的042xxxARxaxaxxB,01)1(222AB a值。10.下列选项中的 M 与 P 表示同一集合的是（）A、，001.02xRxM02xxPB、，RxxyyxM,2),(2RyyxyxP,2),(2C、，RxxyyM,12RyyxxP,1)1(2D、，ZkkyyM,2ZkkxxP,2411.试写出满足条件的所有集合 MM210，12.写出满足条件的所有集合 MM0210，13.已知，求 x,16,1,122xxx14.已知集合,，若 A=B，求的值。babaaA2,2,acacaB c15.已知集合,，求满足AB的实数的取值范围。21axxA11xxBa16.设集合,且 BA，求的值。aA,8,243,22aaBaB 组1.下列命题：空集没有子集；任何集合至少有两个子集；空集是任何集合的真子集；若A，则其中正确的是（）AA、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个2.已知集合，且 A 中至少含有一个奇数，则这样的集合 A 有（）4,3,2,1A10 A、13 个 B、12 个 C、11 个 D、10 个3.设集合，则（）ZkkxxM,42ZkkxxN,24 A、M=N B、MN C、D、NMNM 4.已知集合,，且 BA，则实数的取值范围是23xxA1212kxkxBk_。5.已知集合,若集合 A 有且仅有 2 个子集，则的取值是（）RaaxaxxA,022a A、1 B、C、0，1 D、，0，1116.设，集合，则（）Rba,bababa,0,1 ab A、1 B、C、2 D、127.已知,则_4,3,2,1U 3,1AACU8.已知,则_ 3,1U 3,1AACU9.已知集合,，若且 BA，求实数的值。21，A022baxxxBBba,10.如果数集中有 3 个元素，那么不能取哪些值？2,1,0 xx11.不等式组的解集为，试求及063012xxARU AACU12.已知集合,52xxA121mxmxB （1）、若，求实数的取值范围。AB m （2）、若，求 A 的非空真子集的个数。Zx1.3 集合的基本运算1.3.1 并集：一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集合 A 与 B 的并集,记作AB,(读作“A 并 B”).即 AB=x|xA,或 xB。如图 1-3-1 所示。例如，设 A=4,5,6,8,B=3,5,7,8,求 AB.设集合 A=x|-1x2,集合 B=x|1x2，则 AB 等于()Ax|2x3 Bx|x1 Cx|2x25设集合 Ax|1x2，Bx|xa，若 AB，则 a 的取值范围是()Aa2 Ba2 Ca1 D1a26(08山东文)满足 Ma1，a2，a3，a4，且 Ma1，a2，a3a1，a2的集合 M 的个数是()A1 B2 C3 D47(09全国理)设集合 Ax|x3，BError!，则 AB()A B(3,4)C(2,1)D(4，)8设 P、Q 为两个非空实数集合，定义集合 PQx|xab，aP，bQ，若 P0,1,2，Q1,1,6，则 PQ 中所有元素的和是()A9 B8 C27 D269已知集合 Ax|x2k1，kN*，Bx|xk3，kN，则 AB 等于()AB BA CN DR10当 xA 时，若 x1A，且 x1A，则称 x 为 A 的一个“孤立元素”，由 A 的所有孤立元素组成的集合称为 A 的“孤星集”，若集合 M0,1,3的孤星集为 M，集合 N0,3,4的孤星集为 N，则MN()A0,1,3,4 B1,4 C1,3 D0,3二、填空题11若集合 A2,4，x，B2，x2，且 AB2,4，x，则 x_.12已知 Ax|x2pxqx，Bx|(x1)2p(x1)qx1，当 A2时，集合B_.13(胶州三中 20092010 高一期末)设 Ax|x2px150，Bx|x2qxr0且 AB2,3,5，AB3，则 p_；q_；r_.三、解答题14已知 Ax|axa3，Bx|x1 或 x5(1)若 AB，求 a 的取值范围(2)若 ABB，a 的取值范围又如何？15设集合 M1,2，m23m1，N1,3，若 MN3，求 m.16已知 A1，x，1，B1,1x(1)若 AB1，1，求 x.(2)若 AB1，1，求 AB.12(3)若 BA，求 AB.13当 x 时，AB1，1121217某班参加数学课外活动小组的有 22 人，参加物理课外活动小组的有 18 人，参加化学课外活动小组的有 16 人，至少参加一科课外活动小组的有 36 人，则三科课外活动小组都参加的同学至多有多少人？18已知集合 Ax|3x70，Bx|x 是不大于 8 的自然数，Cx|xa，a 为常数，Dx|xa，a 为常数(1)求 AB；(2)若 AC，求 a 的取值集合；(3)若 ACx|x3，求 a 的取值集合；73(4)若 ADx|x2，求 a 的取值集合；(5)若 BC，求 a 的取值集合；(6)若BD中含有元素 2，求a的取值集合二二有关全集、补集、空集的问题有关全集、补集、空集的问题例例 1 判定以下关系是否正确(1)aa；(2)1，2，33，2，1；(3)0；(4)00例例 2 列举集合1，2，3的所有子集例已知，则满足条件集合 的个数为3 abAabcdA_例设 为全集，集合、，且，则4 UMNUNM 例例 5 设集合 Ax|x54aa2，aR，By|y4b24b2，bR，则下列关系式中正确的是 14AAB BABCAB DAB M 与 P 的关系是 AMUPBMP CMP DMP例例 7 下列命题中正确的是 AU(UA)ABABBABCA122A若 ，则若，则DA123Bx|xAAB若，则 例例 8 已知集合 A2，4，6，8，9，B1，2，3，5，8，又知非空集合 C 是这样一个集合：其各元素都加 2 后，就变为 A 的一个子集；若各元素都减 2 后，则变为 B 的一个子集，求集合 C例例 9 设 S1，2，3，4，且 MxS|x25xp0，若SM1，4，则 p_例例 10 已知集合 S2，3，a22a3，A|a1|，2，SAa3，求 a 的值例 11例年北京高考题 集合，11 (1993)Mx|xkZNk24x|xkZ，则k42 AMNBMNCMNDM 与 N 没有相同元素三有关集合综合运算的问题四学习利用 Venn 图求解集合的运算五有关集合新定义运算的问题