复变函数第二章答案.doc

第二章 解析函数
1．用导数定义，求下列函数的导数：
(1)
解: 因

当时,上述极限不存在,故导数不存在；当时,上述极限为0,故导数为0.
2．下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析?
(1)
解:

这里

要，当且当而均连续，故仅在处可导，处处不解析.
(2)
解: 这里

四个偏导数均连续且处处成立,故在整个复平面上处处可导,也处处解析.
3．确定下列函数的解析区域和奇点,并求出导数.
(1)
解: 当时，除外在复平面上处处解析, 为奇点,

当时，显然有，故在复平面上处处解析，且.
4.若函数在区域内解析,并满足下列条件之一,试证必为常数.
(1) 在区域内解析;
(2)
(3) 在内为常数;
(4)
证 (1) 因为在中解析,所以满足条件

又也在中解析,也满足条件

从而应有恒成立,故在中为常数, 为常数.
(2) 因在中解析且有,由条件,有

则可推出,即(常数).故必为中常数.
(3) 设,由条件知,从而
计算得
，
化简,利用条件得

所以同理即在中为常数,故在中为常数.
(4) 法一：设则求导得

由条件

故必为常数,即在中为常数.
设则,知为常数,又由条件知也必为常数,所以在中为常数.
法二：等式两边对求偏导得：，由条件，我们有
，
而，故，从而为常数，即有在中为常数.
5.设在区域内解析,试证:
证: 设

而

又解析,则实部及虚部均为调和函数.故

则

6.由下列条件求解解析函数
(1)
解: 因所以

又 则
.故

(2)
解: 因由解析,有

又而所以则
故
(3)
解: 因由的解析性,有

又而所以则

故

由得推出即

7.设求的值使为调和函数,并求出解析函数
解: 要使为调和函数,则有即

所以时,为调和函数,要使解析,则有

所以

即故

8．试解方程：
(1)
解:

故

(2)
解:
9．求下列各式的值。
(1)
解
(2)
解:

(3)
解:

(4)
解:

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