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公司人力资源调配最优方案
第一组：宋书山 霍建昶 张木求
摘 要：公司人力资源的调配关系到公司的运作效率和经济利益，本文根据该公司制定的招工，解雇，再培训，降级使用，超员雇用，半日工等措施及其相应限制条件，在不同精确程度进行假设的基础上，建立了三个人力资源的调配方案模型。针对公司分别提出的两个不同要求（解雇人员最少和费用最少），利用所建立的模型得出了解决问题的最优方案，为公司的人员调配提供了可行有效的方法。
关键词：人力资源调配

一 问题重述：
某公司正经历一系列变化，这要影响到它在未来几年中的人力需求。由于装备了新机器，对于不熟练工人的需求相对减少，对熟练和半熟练工人的需求相对增加；同时，预期下一年的贸易量将减少，从而减少对各类人力的需求。现有人数及对未来三年人力需求的估计数见下表：

分类
不熟练
半熟练
熟练
现有人数
2000
1500
1000
第一年需求
1000
1400
1000
第二年需求
500
2000
1500
第三年需求
0
2500
2000

为此，公司希望为未来三年确定（1）招工，（2）人员再培训，（3）解雇和超员雇用，（4）设半日工的计划方案。
因工人自动离职和瑁其他原因，存在自然减员问题，有不少人在受雇后干不满一年就自动离职；干满一年后，离职的情况就减少了。考虑到这一因素，设自然减员率如下表：

分类
不熟练
半熟练
熟练
工作不满一年
25%
20%
10%
工作一年以上
10%
5%
5%

现在没有招工。所有的现有工人都是已受雇一年以上。
招工: 每年能新招的各类数熟练工和不熟练工个不超过500，半熟练工不超过800名。
再培训: 每年可培训200名不熟练工成为半熟练工，每培训一名费用开支为400元。培训半熟练工成为熟练工，培训一名开支500元；培训人数不能超过所训岗位当时熟练工人的四分之一。
可以将工人降低熟练使用，这虽然不需要公司支付什么费用，但这样的工人有50%将离职。（这一减员要另外加到上述的自然减员上）。
解雇: 解雇一名不熟练工需付他200元。解雇一名半熟练工或熟练工要付500元。
超员雇用：全公司可超需要多雇用150人。额外费用每人每年为：不熟练工1500元；半熟练工2000元，熟练工3000元。
半日工：不熟练、半熟练和熟练工可以各有不超过50名作为半日工，完成半个人的生产任务。这样做公司对其每人每年支付费用为不熟练工500元，半熟练和熟练工为400元。
公司提出的目标为解雇人员最少。为此应如何运转？如果目标为费用最少，能多节省多少费用？导出每年每类岗位所节省的费用。

二 假设：

1．减员、招工、解雇、再培训、设半日工等过程均在每年年初的短时间内进行，招工、降级使用、解雇、再培训、设半日工均在自然减员后进行。
2．每年年初经过调整后能够满足公司的人力需求，在接下来的一年里，人员不会变动。
3．工作满一年以上的工人才能进行再培训。
4．计算工作量的时候，一个半日工就等于0.5个全日工；在计算招工、再培训、降级使用、 解雇和超员解雇的时候，一个半日工为独立一个人计算。
5．低熟练等级使用中，第二类可以降为第一类用，第三类只能降为第二类使用。
6．不熟练工为第一类工人，半熟练工为第二类工人，熟练工为第三类工人。

三 符号说明：

 aij——第i年解雇第j类工人的人数。(以下i,j如果没有特殊说明,则i=1,2,3;j=1,2,3.)
bij——第i年第j类工人培训为第j+1类的人数。
cij——第i年第j类半日工的人数。
dij——第i年招第j类工人的人数。
eij——第 i年把第j+1类工人降级为第j类工人使用的人数。
fij——第i年超雇第j类工人的人数。

四 模型的建立与求解：

1. 问题分析：
公司通过几种方式的运转能达到未来三年人力的需求。分别是（1）招工（2）人员再培训（3）解雇和超员雇用（4）设置半日工。公司希望在这几种方式中找出最优的组合使解雇的人员最少。
现在考虑实施各种措施时所要满足的约束条件。
1.1 招工措施
1） 每年能新招的各类工人数熟练工和不熟练各不超过500，得

2）每年能新招的各类工人数熟练工和不熟练各不超过800，得

1.2 再培训措施
1）每年可培训200名不熟练工成为半熟练工，则得：

2）每年可培训不超过所训岗位当时熟练工人的1/4的半熟练工成为熟练工，则得：

其中gi为第i年熟练工人的人数
1.3 降级措施、解雇措施
因为都没有限制它们涉及到的人员的数量，所以分别得：

1.4 超员雇用
全公司可超需要多雇用150人，则得：

2.求解问题一
2.1 模型一的建立与求解
现在从公司的计划中知道公司未来三年的人力需求人数，但因为运转的方式较多，考虑起来比较麻烦，为了简化模型先只考虑招工、超员雇用和解雇，不考虑自然减员、人员再培训、降级使用和半日工设置，从而得出：
2.1.1 模型一 ：

2.1.2 求解模型一：
由上面的模型利用Lindo软件求出解雇人数最少为：

2.2 模型二的建立与求解：
在模型一中考虑的因素太少，跟公司的实际情况出入较大，现在把所有的措施都考虑进去，试图找出一种通过招工、再培训、降级使用、解雇、超员雇用、招半日工等措施来达到解雇人员最少的目的的方法。下面我们将对上面提到的众多措施进行一一分析。
2.2.1 下面考虑满足公司在未来三年对人力需求时要满足的约束条件。
1） 第i年第j类工人的增加数=第i年第j类的招工数（dij）+第i-1年第j类再培训的人数(b(i-1j)+从第i年第j+1类降级使用的人数(eij))
2） 第i年第j类工人的减少数=第i年第j类的解雇数（aij）+ 第i年第j类不满一年工人的自然减员(kij))+第i年第j类满一年工人的自然减员(qij) +第i年第j+1类被降级使用的人数(ei(j-1)))
其中：kij=第i-1年第j类的招工数（d(i-1)j）*L1j

3） 第i年第j类工人未调整前的数量+第i年第j类工人增加数-第i年第j类工人减少数-0.5cij-第i年第j类工人的需求量=第i年第j类工人的超过量
其中: -0.5cij是因为一个半日工只能完成半个人的工作量.
说明:假设当变量的下标超过界限时,该变量的值为0.如:a(i-1)j当i=1的时候,i-1=0超过最底界限1,所以令:a(i-1)j=0.

总结以上三点的讨论得:

其中:
2.2.2. 模型二的建立：
将题中数据代入(1)式,加上(2)-(9)的约束条件以及目标函数得：

2.2.3 模型二求解：

利用lindo软件求解模型二得最少解雇人数为：

相应符号参数的值如下表：

第一年第一类
第一年第二类
第一年第三类
第二年第一类
第二年第二类
第二年第三类
第三年第一类
第三年第二类
第一年第三类
解雇数
463
0
0
274
0
0
12
0
0
再培训数
250
0

200
60

200
85

半日工数
50
50
50
50
0
0
50
0
0
招工数
0
0
0
0
492
500
0
552
500
降级数

0
175

0
0

0
0
超雇数
113
38
0
0
0
0
150
0
0

3 求解问题二。
公司提出的另一个目标为费用最少，基于上面的分析与讨论，我们建立出另一个目标函数：
约束条件跟模型二的约束条件是一样的。我们利用lindo软件求解问题二得最少费用为 398400元，
相应符号参数的值如下表：

第一年第一类
第一年第二类
第一年第三类
第二年第一类
第二年第二类
第二年第三类
第三年第一类
第三年第二类
第一年第三类
解雇数
813
0
0
402
0
0
388
0
0
再培训数
0
0

0
45

15
100

半日工数
0
0
0
0
0
0
0
0
0
招工数
0
0
50
0
717
500
0
800
500
降级数

21
0

0
0

0
0
超雇数
0
0
0
0
0
0
0
0
0

把满足第一个目标函数（解雇人员最少）的各个符号参数的值代入第二个目标函（费用最少），可得出原计划所需费用为 1170750 元，能省772350 元。

每年各岗位原来（解雇人数最少时）所需费用（单位：元）分别为：

分 类
第一类
第二类
第三类
第一年
366250
220000
20000
第二年
159750
30000
0
第三年
332250
42500
0

每年各岗位现在（费用最少时）所需费用分别为：

分类
第一类
第二类
第三类
第一年
162500
0
0
第二年
80250
22500
0
第三年
83150
50000
0

每年各岗位所节省的费用为：

分类
第一类
第二类
第三类
第一年
203750
220000
20000
第二年
79500
7500
0
第三年
249100
-7500
0

五 模型检验：

在满足解雇人数最少的方案中，由于不熟练工人的需求相对减少，对熟练和半熟练工人的需求相对增加，为减少解雇人数，只在第一类工人进行减员在第二第三类进行招工，结果显然是合理的；设半日工同样可以减少解雇人数，并且半日工越多可以减少的解雇人数就越多，所以在可以设半日工的地方均取最大值50。
在满足费用最少的方案中，由于半日工只能减少解雇人数，而且会增加额外费用，所以半日工人数全部为0；同样超员雇用也只会增加额外费用，所以在各年各类工人中没有出现超员雇用。

六 模型的改进：

在模型二中，我们把所有的变动都假设在年初的一个短时间里完成（比如招工的处理是把前一年招的人归入工作满一年以上的，把今年招的人归入工作不满一年的，但这些工作都是在同一段时间里完成的），但实际上公司的所有变动都是在一年当中慢慢变动的，假设公司在上半年变动比较少，在下半年变动很大，那我们假设在年初里完成所有变动，这样误差就比较大，如果假设在下半年变动，那么就会更接近实际情况。基于这个思想，我们不具体确定变动的时间，而是设一个变动点P，这个P在一年的任何时间点都有可能，具体取值留给熟悉公司情况的公司管理层人士。从而我们得到第三个模型，我们假设是在一年当中的i/j个时间点进行变动，如果j取天数，即365，那么i就取在(0————365)的范围内。如果j取月数，即12，那么i就取在（0———12）的范围内。下面我们假设j取12进行计算，得到模型三：

（第一年）
其它两年的方程以此类推可以得到。
从模型三中解出各个i 值所对应的最少解雇人数的值如下：

i 值
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
最优值
740
750
759
769
779
789
799
810
820
831
842
852
874

从上面的结果知道最优值是随着月份逐渐增加的，这很好解释，因为我们原先就是假设所有变动都是在一个时间点里完成的，因此忽略了后面的一系列变化，现在随着时间点的向后移动，时间点前面考虑的因素就多了起来，不能忽略的因素加多，所以最优值就会呈现单调变化，现在又结果知道这个结果是单调递增的。而0月份考虑的因素最少，12月份考虑的因素最多，所以0月份的值最小为740，而12月份的值最多为874。

七 模型评价
模型一虽然简单，但是其计算结果可以作为模型二和模型三计算结果的一个参考对象。模型二教好的考虑了招工、减员、解雇、超雇用、再培训、设半日工等措施之间的协调关系，通过建立线形规划模型，使用数学软件（lindo,matlab）对模型进行求解，得出了较为合理的结果。模型三则修正了模型二调整点只能在年初的不足，模型三可以将调整点放到某个月的月初进行计算，通过计算，可以得到分别以1-11月为调整点时的最少解雇人数和节省的费用，使模型具有动态性。文中模型也有需改进的地方，如可以考虑让工作未满一年的工人参加培训，熟练工可以降级为不熟练工使用等。

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