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矩阵分析矩阵分析第一节第一节 线性空间线性空间一：一：线性空间的定义与例子线性空间的定义与例子定义定义 设设 是一个非空的集合，是一个非空的集合，是一个数域，是一个数域，在集和在集和 中定义两种代数运算中定义两种代数运算,一种是加法运算一种是加法运算,用用 来表示来表示;另一种是数乘运算另一种是数乘运算,用用 来表示来表示,并且并且这两种运算满足下列这两种运算满足下列八八条运算律：条运算律：第一章第一章 线性空间和线性映射线性空间和线性映射（1）加法交换律加法交换律（2）加法结合律加法结合律 （3）零元素零元素 在在 中存在一个元素中存在一个元素 ，使得对，使得对于任意的于任意的 都有都有（4）负元素负元素 对于对于 中的任意元素中的任意元素 都存都存在一个元素在一个元素 使得使得 （5）（6）（7）（8）称这样的称这样的 为数域为数域 上的上的线性空间线性空间。例例 1 全体实函数集合全体实函数集合 构成实数域构成实数域 上的上的线性空间。线性空间。例例 2 复数域复数域 上的全体上的全体 型矩阵构成型矩阵构成的集合的集合 为为 上的线性空间。上的线性空间。例例 3 实数域实数域 上全体次数小于或等于上全体次数小于或等于 的多项的多项式集合式集合 构成实数域构成实数域 上的线性空间上的线性空间 例例 4 表示实数域表示实数域 上的全体无限序列组成的上的全体无限序列组成的的集合。即的集合。即在在 中定义加法与数乘：中定义加法与数乘：则则 为实数域为实数域 上的一个线性空间。上的一个线性空间。例例 6 在在 中满足中满足Cauchy条件的无限序列组成的条件的无限序列组成的子集合也构成子集合也构成 上的线性空间。上的线性空间。Cauchy条件是：条件是：使得对于使得对于 都有都有定义定义:线性组合；线性表出；线性相关；线性无关线性组合；线性表出；线性相关；线性无关；向量组的极大线性无关组；向量组的秩；向量组的极大线性无关组；向量组的秩基本性质：基本性质：（1）含有零向量的向量组一定线性相关；）含有零向量的向量组一定线性相关；（2）整体无关）整体无关 部分无关；部分相关部分无关；部分相关 整体相关；整体相关；（3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相量组线性表出，那么含有向量多的向量组一定线性相关；关；（4）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关并不）向量组的秩是唯一的，但是其极大线性无关并不唯一；唯一；（5）如果向量组（）如果向量组（I）可以由向量组（）可以由向量组（II）线性表出，）线性表出，那么向量组（那么向量组（I）的秩）的秩 向量组（向量组（II）的秩；）的秩；（6）等价的向量组秩相同。）等价的向量组秩相同。二：二：线性空间的基本概念及其性质线性空间的基本概念及其性质例例 1 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中，函数组中，函数组是一组线性无关的函数，其中是一组线性无关的函数，其中 为一为一组互不相同的实数。组互不相同的实数。例例 2 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中，函数组中，函数组是一组线性无关的函数，其中是一组线性无关的函数，其中 为一为一组互不相同的实数。组互不相同的实数。例例 3 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中，函数组中，函数组也是线性无关的。也是线性无关的。定义定义 设设 为数域为数域 上的一个线性空间。如果在上的一个线性空间。如果在 中存在中存在 个线性无关的向量个线性无关的向量 使得使得 中的任意一个向量中的任意一个向量 都可以由都可以由 线性表出线性表出则称则称 为为 的一个的一个基底基底；为向量为向量 在基底在基底 下的下的坐标坐标。此时我们。此时我们称称 为一个为一个 维线性空间，记为维线性空间，记为 例例 1 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中向量组中向量组与向量组与向量组 线性空间的基底，维数与坐标变换线性空间的基底，维数与坐标变换 都是都是 的基。的基。是是3维线性空间。维线性空间。例例 2 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中的向量组中的向量组与向量组与向量组 都是都是 的基。的基。是是4维线性空间。维线性空间。例例 3 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中的向量组中的向量组 与向量组与向量组都是都是 的基底。的基底。的维数为的维数为 注意：注意：通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性唯一，但是维数是唯一确定的。利用维数的定义线性空间可以分为空间可以分为有限维线性空间有限维线性空间和和无限维线性空间无限维线性空间。目。目前，我们主要讨论前，我们主要讨论有限维的线性空间有限维的线性空间。例例 4 在在4维线性空间维线性空间 中，向量组中，向量组 与向量组与向量组是其两组基，求向量是其两组基，求向量 在这两组基下的在这两组基下的坐标。坐标。解解：设向量：设向量 在第一组基下的坐标为在第一组基下的坐标为 于是可得于是可得 解得解得同样可解出在第二组基下的坐标为同样可解出在第二组基下的坐标为由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相由此可以看出：一个向量在不同基底下的坐标是不相同的。同的。基变换与坐标变换基变换与坐标变换设设 （旧的旧的）与）与 （新的新的）是是 维线性空间维线性空间 的两组基底，它们之间的关系为的两组基底，它们之间的关系为 将上式将上式矩阵化矩阵化可以得到下面的关系式：可以得到下面的关系式：称称 阶方阵阶方阵是由旧的基底到新的基底的是由旧的基底到新的基底的过渡矩阵过渡矩阵，那么上式可，那么上式可以写成以写成定理定理：过渡矩阵：过渡矩阵 是可逆的。是可逆的。任取任取 ，设，设 在两组基下的坐标分别为在两组基下的坐标分别为 与与 ，那么我们有：，那么我们有：称上式为称上式为坐标变换公式坐标变换公式。例例 1 在在4维线性空间维线性空间 中，向量组中，向量组与向量组与向量组为其两组基，求从基为其两组基，求从基 到基到基 的的过渡矩阵，过渡矩阵，并求向量并求向量 在这两组基下的坐标。在这两组基下的坐标。解解：容易计算出下面的矩阵表达式：容易计算出下面的矩阵表达式向量向量 第一组基下的坐标为第一组基下的坐标为利用坐标变换公式可以求得利用坐标变换公式可以求得 在第二组基下的坐标为在第二组基下的坐标为 第三节第三节 线性空间的子空间线性空间的子空间定义定义 设设 为数域为数域 上的一个上的一个 维线性空间，维线性空间，为为 的一个非空子集合，如果对于任意的的一个非空子集合，如果对于任意的 以及任意的以及任意的 都有都有那么我们称那么我们称 为为 的一个的一个子空间子空间。例例 1 对于任意一个有限维线性空间对于任意一个有限维线性空间 ，它必有，它必有两个两个平凡的子空间平凡的子空间，即由单个零向量构成的子空间，即由单个零向量构成的子空间 以及线性空间以及线性空间 本身。本身。例例 2 设设 ，那么线性方程组，那么线性方程组 的的全部解为全部解为 维线性空间维线性空间 的一个子空间，我们称的一个子空间，我们称其为其为齐次线性方程组的解空间齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组。当齐次线性方程组 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个础解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。数。例例 3 设设 为为 维线性空间维线性空间 中的中的一组向量，那么非空子集合一组向量，那么非空子集合 构成线性空间构成线性空间 的一个子空间，称此子空间为有限的一个子空间，称此子空间为有限生成子空间，称生成子空间，称 为该子空间的生成元。为该子空间的生成元。的基底即为向量组的基底即为向量组 的极大线性无关组，的极大线性无关组，的维数即的维数即为向量组为向量组 的秩。的秩。例例 4 实数域实数域 上的线性空间上的线性空间 中全体中全体上三角上三角矩矩阵集合，全体阵集合，全体下三角下三角矩阵集合，全体矩阵集合，全体对称对称矩阵集合，矩阵集合，全体全体反对称反对称矩阵集合分别都构成矩阵集合分别都构成 的子空间，的子空间，问题问题：这几个子空间的基底与维数分别时什么？：这几个子空间的基底与维数分别时什么？第一章第一章 第一节第一节 函数函数一、子空间的交一、子空间的交(intersection)与和与和(sum)定理定理定理定理1 1 1 1 设设 是数域是数域 上线性空间上线性空间 的两个的两个子空间，则它们的子空间，则它们的交交交交 也是也是 的子空间。的子空间。定理定理定理定理2 2 2 2 设设 是数域是数域 上线性空间上线性空间 的两个的两个子空间，则集合（称为子空间，则集合（称为 与与 的的和和和和）也是也是 的子空间。的子空间。第一章第一章 第一节第一节 函数函数（i)i)交换律交换律 （ii)ii)结合律结合律 根据归纳法可知，根据归纳法可知，和和 都是都是 的子空的子空间。间。交与和满足以下运算律交与和满足以下运算律第一章第一章 第一节第一节 函数函数例例 3 3 设设 是线性空间是线性空间 的子空间，且的子空间，且则则第一章第一章 第一节第一节 函数函数例例 4 4 设设 求求 的基与维数。的基与维数。第一章第一章 第一节第一节 函数函数 所以可令所以可令 设设 ，则，则 故故解：解：这是关于这是关于 的齐次方程组，即的齐次方程组，即第一章第一章 第一节第一节 函数函数第一章第一章 第一节第一节 函数函数 因此因此所以所以 的基为的基为 ，维数为，维数为 解关于解关于 的齐次方程组，得的齐次方程组，得第一章第一章 第一节第一节 函数函数 由由例例 3 3 知知由前得由前得即即 由于由于 线性无关，这样线性无关，这样 是是 的极大无关组，所以它也是的极大无关组，所以它也是 的基，故的基，故第一章第一章 第一节第一节 函数函数定理定理定理定理5 5 5 5 （维数公式维数公式维数公式维数公式）设设 是数域是数域 上线性空上线性空间间 的两个有限维子空间，则它们的的两个有限维子空间，则它们的交交交交 与与和和和和都是都是有限维的，并且有限维的，并且注意到例注意到例 4 中中这并不是偶然的。这并不是偶然的。第一章第一章 第一节第一节 函数函数定理定理定理定理 5 5 5 5 的证明：的证明：所以所以取取 为为 的基，并分别扩充成的基，并分别扩充成 的基，即的基，即第一章第一章 第一节第一节 函数函数设设则有则有又又所以所以从而可令从而可令则则第一章第一章 第一节第一节 函数函数由于由于 线性无关，所以线性无关，所以因此因此即即 从而从而 线性无关，线性无关，所以是所以是 的一组基。于是维数公式成立。的一组基。于是维数公式成立。由于由于 线性无关，所以线性无关，所以再由再由 线性无关，所以线性无关，所以第一章第一章 第一节第一节 函数函数二、子空间的直和二、子空间的直和(direct sum)定义定义定义定义6 6 6 6设设 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间 的两的两个子空间，如果个子空间，如果 则称则称 为为 与与 的的直和直和直和直和，记作，记作显然显然直和的概念可以推广到多个子空间的情形。直和的概念可以推广到多个子空间的情形。在维数公式中，显然和空间的维数不超过各子空间的在维数公式中，显然和空间的维数不超过各子空间的维数之和。那么何时等号成立呢？维数之和。那么何时等号成立呢？第一章第一章 第一节第一节 函数函数定理定理定理定理7 7 7 7设设 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间 的两个的两个子空间，则下列命题是等价的：子空间，则下列命题是等价的：（1 1）是直和；是直和；（2 2）；（3 3）和和 中中零向量的表示法唯一零向量的表示法唯一，即若，即若 则则（4 4）和和 中中每个向量的表示法是唯一的每个向量的表示法是唯一的。第一章第一章 第一节第一节 函数函数证明：证明：根据维数公式显然成立。根据维数公式显然成立。根据维数公式根据维数公式所以所以 设存在向量设存在向量 ，有，有由于由于从而从而所以所以由于由于所以所以第一章第一章 第一节第一节 函数函数 对任意向量对任意向量 ，有，有根据（根据（3），零向量的表示是唯一的，因此），零向量的表示是唯一的，因此 显然成立。显然成立。第一章第一章 第一节第一节 函数函数例例 8 8 设设 分别是分别是 阶实对称矩阵和反对称矩阶实对称矩阵和反对称矩阵的全体。显然容易证明阵的全体。显然容易证明 均为线性空间均为线性空间 的的子空间。试证明子空间。试证明证明证明：因为任意实方阵可以分解为一个实对称矩阵：因为任意实方阵可以分解为一个实对称矩阵和一个实反对称矩阵的和，即和一个实反对称矩阵的和，即又实对称矩阵中独立取值的元素个数为又实对称矩阵中独立取值的元素个数为 ，实反对称则是实反对称则是 ，因此，因此 根据定理根据定理7可知结论成立。可知结论成立。第一章第一章 第一节第一节 函数函数定理定理定理定理 9 9 9 9（直和分解直和分解）设设 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间 的一个子空间，则一定存在的一个子空间，则一定存在 的另一个子空间的另一个子空间 ，使得子空间，使得子空间 具有具有直和分解直和分解直和分解直和分解并称并称 和和 是一对是一对互补的子空间互补的子空间互补的子空间互补的子空间，或者，或者 是是 的的补子空间补子空间补子空间补子空间。显然显然直和分解可以推广到多个子空间的情形。直和分解可以推广到多个子空间的情形。第一章第一章 第一节第一节 函数函数注意注意：子空间的补子空间未必是唯一的子空间的补子空间未必是唯一的，也就是说，也就是说线性空间的直和分解未必是唯一的线性空间的直和分解未必是唯一的。例如若。例如若显然，显然，是是 的的 一个子空间，一个子空间，几何上很容易看出，几何上很容易看出，和和 都都 是是 的补子空间。的补子空间。第一章第一章 第一节第一节 函数函数4、线性变换、线性变换(Linear Transformation)的概念的概念定义定义定义定义5 5 5 5设设 是数域是数域 上的线性空间，映射（上的线性空间，映射（未必是未必是双射双射）称为称为 上的上的线性变换线性变换线性变换线性变换或或线性算子线性算子线性算子线性算子(Linear Operator)，如果对，如果对 中的任意两个向量中的任意两个向量 和任意的数和任意的数 ，都有，都有（i)(i)(可加性可加性可加性可加性)(ii)(ii)(齐次性齐次性齐次性齐次性)并称并称 为为 在在 下的下的像像像像（imageimage），而），而 是是 的的原像（原像（原像（原像（inverse imageinverse image）。第一章第一章 第一节第一节 函数函数例例 6 6 由下式由下式确定的映射确定的映射 是线性变换。是线性变换。第一章第一章 第一节第一节 函数函数例例 7 7（标量变换标量变换，scalar transformation）由下式）由下式确定的线性空间确定的线性空间 到其自身的映射到其自身的映射 是线性变换。这里是线性变换。这里 称为称为线性变换线性变换线性变换线性变换 的特征值的特征值的特征值的特征值（eigenvalue)eigenvalue)，非零向量，非零向量 称为称为 的对应的对应的对应的对应于特征值于特征值于特征值于特征值 的特征向量的特征向量的特征向量的特征向量(eigenvector)(eigenvector)。第一章第一章 第一节第一节 函数函数例例 8 8 数域数域 上的所有上的所有无限次可导无限次可导实函数的集合实函数的集合 是一个线性空间。则由下式是一个线性空间。则由下式确定的确定的微商变换微商变换 是是 上的一个线上的一个线性变换。性变换。第一章第一章 第一节第一节 函数函数例例 9 9 闭区间闭区间 上的所有上的所有实连续函数实连续函数的集的集合合 构成构成 上的一个线性空间。则由下式上的一个线性空间。则由下式确定的积分变换确定的积分变换 是是 上的一个线性变换。上的一个线性变换。例例 8和例和例 9表明，表明，微积分的两个基本运算微积分的两个基本运算（微分和积分）（微分和积分），从变换的角度看都是线性变换（或线性算子），由，从变换的角度看都是线性变换（或线性算子），由此可知线性变换在理论与应用中有着广泛的应用。此可知线性变换在理论与应用中有着广泛的应用。第一章第一章 第一节第一节 函数函数线性变换的基本性质线性变换的基本性质定理定理定理定理10 10 10 10 如果如果 是线性变换，是线性变换，则则零向量对应零向量零向量对应零向量叠加原理叠加原理负向量对应负向量负向量对应负向量第一章第一章 第一节第一节 函数函数定理定理定理定理11 11 11 11 如果如果 表示表示 上的所有线性变换的集上的所有线性变换的集上的所有线性变换的集上的所有线性变换的集 合合合合，并且对任意并且对任意则可以验证，则可以验证，都是线性变换，因此都是线性变换，因此 也是数域也是数域 上的线性空间。上的线性空间。第一章第一章 第一节第一节 函数函数定义定义定义定义12121212 线性空间线性空间 上的线性变换上的线性变换 称为称为可可可可逆的逆的逆的逆的，如果存在，如果存在 上的线性变换上的线性变换 ，使，使这里这里 表示表示 上的上的恒等变换恒等变换恒等变换恒等变换，即对，即对任意任意 ，有有第一章第一章 第一节第一节 函数函数例例13 13 将线性空间将线性空间 中的所有向量均绕原点中的所有向量均绕原点逆时针逆时针旋转角旋转角 的变换就是的变换就是例例 1 1 中的旋转变换的中的旋转变换的逆变换逆变换。这时像。这时像 与原像与原像 之间之间的关系为的关系为特别地，要使特别地，要使 （几何上表示什么？几何上表示什么？），则角，则角度度 满足满足第一章第一章 第一节第一节 函数函数对任意对任意定理定理1414 设设 是线性空间是线性空间 上的一组基。上的一组基。对于对于 中任意一组向量中任意一组向量 ，必，必存在唯一存在唯一的的线性变换线性变换 ，使得，使得 定义所求变换如下即可：定义所求变换如下即可：特别地，特别地，是是可逆的可逆的当且仅当当且仅当 也也是是 的基。的基。第一章第一章 第一节第一节 函数函数6 线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示 的基的基 映射为映射为 。维线性空间维线性空间 上的线性变换上的线性变换 将将 由于由于 仍然是基仍然是基 的线性组合，所以令的线性组合，所以令 因此因此第一章第一章 第一节第一节 函数函数这里，矩阵这里，矩阵 称为称为线性变换线性变换线性变换线性变换 (在基在基 下下)的矩阵表示的矩阵表示的矩阵表示的矩阵表示。因此线性变换与方阵之间可以建立一一对应因此线性变换与方阵之间可以建立一一对应的关系。的关系。第一章第一章 第一节第一节 函数函数因此因此原像原像原像原像与与像像像像 （在给定基下在给定基下在给定基下在给定基下）的的坐标变换公式坐标变换公式为为对对 中的任意向量中的任意向量 ，显然，显然其在其在线性变换线性变换线性变换线性变换 下的像下的像下的像下的像为为第一章第一章 第一节第一节 函数函数例例 15 15 中的投影变换中的投影变换在基在基 下的矩阵为下的矩阵为第一章第一章 第一节第一节 函数函数例例 16 16 中的微商变换中的微商变换在基在基 下的矩阵为下的矩阵为第一章第一章 第一节第一节 函数函数例例17 17 在矩阵空间在矩阵空间 中定义线性变换：中定义线性变换：求求 在在标准基标准基（I)下的矩阵，这里下的矩阵，这里第一章第一章 第一节第一节 函数函数解：解：第一章第一章 第一节第一节 函数函数 所以所以 在标准基（在标准基（I)下的矩阵为下的矩阵为第一章第一章 第一节第一节 函数函数5.线性变换的值域与核线性变换的值域与核定义定义定义定义21212121 设设 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间 上的线上的线性变换性变换 。令。令称称 是是线性变换线性变换线性变换线性变换 的值域的值域的值域的值域，而，而 是是线性线性线性线性变换的核变换的核变换的核变换的核。的维数称为的维数称为 的的秩秩秩秩，的维的维数称为数称为 的的零度零度零度零度。第一章第一章 第一节第一节 函数函数定理定理 设设 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间 上的线上的线性变换性变换 。令。令 在在 的一组基的一组基 下的矩下的矩阵表示为阵表示为 ，则，则（1 1）和和 都是都是 的子空间；的子空间；（2 2）（3 3）（4 4）第一章第一章 第一节第一节 函数函数如果如果 是线性无关的是线性无关的，则有，则有 ，结论成立。，结论成立。证明证明：（4 4）设）设 ，在，在 中取中取一组基一组基 ，根据，根据扩充定理扩充定理，将它扩充成，将它扩充成 的基的基 ，则，则第一章第一章 第一节第一节 函数函数因为因为 线性无关，所以线性无关，所以事实上，设事实上，设 ，则，则从而从而因此有因此有第一章第一章 第一节第一节 函数函数7、同构映射、同构映射(isomorphism)的概念的概念定义定义定义定义1 1 1 1设设 是数域是数域 上的两个线性空间上的两个线性空间，1-11-1映射映射 称为称为 到到 的的同构映射同构映射同构映射同构映射，如果，如果对对 中的任意两个向量中的任意两个向量 和任意的和任意的 ，都有都有（i)(i)(可加性可加性可加性可加性)(ii)(ii)(齐次性齐次性齐次性齐次性)并称并称 与与 同构同构同构同构（isomorphicisomorphic),记为记为第一章第一章 第一节第一节 函数函数例例 2 2 数域数域 上的上的 维线性空间维线性空间易证易证 是同构映射。是同构映射。根据前面的分析，对映射根据前面的分析，对映射 ，即，即 第一章第一章 第一节第一节 函数函数 同构映射的性质同构映射的性质定理定理定理定理3 3 3 3设设 是数域是数域 上的两个线性空间上的两个线性空间之间的之间的同构映射同构映射同构映射同构映射，则，则（i)(i)(零向量到零向量零向量到零向量零向量到零向量零向量到零向量)(ii)(ii)(负向量到负向量负向量到负向量负向量到负向量负向量到负向量)（iii)(iii)(线性无关组到线性无关组线性无关组到线性无关组线性无关组到线性无关组线性无关组到线性无关组)中的向量组中的向量组 线性无关的线性无关的充要条件充要条件是是 中的向量组中的向量组 线性无关。线性无关。第一章第一章 第一节第一节 函数函数定理定理定理定理4 4 4 4数域数域 上的任意两个有限维线性空间上的任意两个有限维线性空间同构同构同构同构的的充要条件充要条件是它们有相同的维数。是它们有相同的维数。这说明，这说明，维数维数是有限维线性空间的唯一的本质是有限维线性空间的唯一的本质特征。并且在同构的意义下，向量空间特征。并且在同构的意义下，向量空间 并并不只是线性空间不只是线性空间 的一个特殊例子，而是所的一个特殊例子，而是所有的有的 维线性空间的维线性空间的代表代表。第一章第一章 第一节第一节 函数函数 8.线性变换的特征值与特征向量线性变换的特征值与特征向量 定义定义 设设 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间 的一个线的一个线性变换，如果对于数域性变换，如果对于数域 中任一元素中任一元素 ，中中都存在一个非零向量都存在一个非零向量 ，使得，使得 那么称那么称 为为 的一个的一个特征值特征值，而，而 称为称为 的的属于特征值属于特征值 的一个的一个特征向量特征向量。现在设现在设 是数域是数域 上的上的 维线性空间，维线性空间，中取定一个基中取定一个基 ，设线性变换，设线性变换 在这组基下的矩阵是在这组基下的矩阵是 ，向量，向量 在这组基下的在这组基下的坐标是坐标是 ，。那么我们有。那么我们有 第一章第一章 第一节第一节 函数函数由此可得定理由此可得定理：是是 的特征值的特征值 是是 的特征值的特征值 是是 的属于的属于 的特征向量的特征向量 是是 的的属于属于 的特征向量的特征向量 因此，只要将因此，只要将 的全部特征值求出来，它们的全部特征值求出来，它们就是线性变换就是线性变换 的全部特征值；只要将矩阵的全部特征值；只要将矩阵 的的属于属于 的全部特征向量求出来，分别以它们为坐的全部特征向量求出来，分别以它们为坐标的向量就是标的向量就是 的属于的属于 的全部特征向量。的全部特征向量。第一章第一章 第一节第一节 函数函数例例 1 设设 是数域是数域 上的上的3维维线性空间，线性空间，是是 上上的一个线性变换，的一个线性变换，在在 的一个基的一个基 下的下的矩阵是矩阵是求求 的全部特征值与特征向量。的全部特征值与特征向量。解：解：的特征多项式为的特征多项式为第一章第一章 第一节第一节 函数函数所以所以 的特征值是的特征值是 （二重）与（二重）与 。对于特征值对于特征值 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组得到一个基础解系：得到一个基础解系：第一章第一章 第一节第一节 函数函数从而从而 的属于的属于 的极大线性无关特征向量组是的极大线性无关特征向量组是于是于是 的属于的属于 的全部特征向量是的全部特征向量是 这里这里 为数域为数域 中不全为零的数对。中不全为零的数对。对于特征值对于特征值 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组得到一个基础解系：得到一个基础解系：第一章第一章 第一节第一节 函数函数从而从而 的属于的属于 的极大线性无关特征向量组是的极大线性无关特征向量组是于是于是 的属于的属于 的全部特征向量的全部特征向量这里这里 为数域为数域 中任意非零数。中任意非零数。相似矩阵的性质相似矩阵的性质：相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征第一章第一章 第一节第一节 函数函数值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱。有相同的谱。矩阵的特征值与特征向量的性质矩阵的特征值与特征向量的性质：（1）阶矩阵阶矩阵 的属于特征值的属于特征值 的全部特征向量的全部特征向量再添上零向量，可以组成再添上零向量，可以组成 的一个子空间，称之为矩的一个子空间，称之为矩阵阵 的属于特征值的属于特征值 的的特征子空间特征子空间，记为，记为 ，不难，不难看出看出 正是特征方程组正是特征方程组 的解空间。的解空间。（2）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。属于不同特征值的特征向量是线性无关的。第一章第一章 第一节第一节 函数函数（3）设设 是是 的的 个互不同的特征个互不同的特征值，值，的几何重数为的几何重数为 ，是对是对应于应于 的的 个线性无关的特征向量，则的所有这个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量些特征向量仍然是线性无关的。仍然是线性无关的。（4）任意一个特征值的几何重数不大于它的代数任意一个特征值的几何重数不大于它的代数重数。重数。第一章第一章 第一节第一节 函数函数（5）一个特征向量不能属于不同的特征值。）一个特征向量不能属于不同的特征值。第一章第一章 第一节第一节 函数函数9.线性变换的不变子空间（线性变换的不变子空间（Invariant subspace）定义定义定义定义25252525 设设 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间 上的线上的线性变换性变换 ，是是 的子空间。如果对任意向量的子空间。如果对任意向量 都有都有 ，则称，则称 是是 的的不变不变不变不变子空间子空间子空间子空间。并且称线性变换。并且称线性变换 为为 在在 上的上的限制（限制（限制（限制（restrictionrestriction)，即，即第一章第一章 第一节第一节 函数函数例例2626 线性空间线性空间 和和零子空间零子空间零子空间零子空间 都是都是 上的上的线性变换线性变换 的的（平凡）不变子空间（平凡）不变子空间（平凡）不变子空间（平凡）不变子空间。例例27 27 线性空间线性空间 上的线性变换上的线性变换 的像的像 和核和核 都是都是 的不变子空间。的不变子空间。第一章第一章 第一节第一节 函数函数例例 28 28 线性空间线性空间 上的线性变换上的线性变换 的对应于某的对应于某个特征值个特征值 的所有特征向量加上零向量的所有特征向量加上零向量 组成组成的集合的集合也是也是 的子空间，称为的子空间，称为 的的特征子空间特征子空间特征子空间特征子空间(eigenspace)(eigenspace)。进一步，。进一步，也是也是 的不变子空间。的不变子空间。第一章第一章 第一节第一节 函数函数定理定理定理定理29292929 线性变换线性变换 的不变子空间的的不变子空间的交交交交与与和和和和仍然仍然是是 的不变子空间。的不变子空间。定理定理定理定理30303030 线性空间线性空间 上的线性变换上的线性变换 有有非平凡的非平凡的不变子空间不变子空间的的充要条件充要条件充要条件充要条件是是 在在 的一组基下的的一组基下的矩阵表示为矩阵表示为块上三角矩阵块上三角矩阵，即形如，即形如有不变子空间的线性变换，其矩阵表示是否有什么特有不变子空间的线性变换，其矩阵表示是否有什么特殊形式呢？殊形式呢？第一章第一章 第一节第一节 函数函数证明证明：充分性充分性。设设 在在 的一组基的一组基 下下的矩阵的矩阵 为块上三角矩阵为块上三角矩阵其中其中 。由。由知，对知，对 ，有，有第一章第一章 第一节第一节 函数函数令令 ，则，则 是是 的一个的一个 维子空间。并且维子空间。并且 。因此对因此对 中的任意向量中的任意向量有有根据定义，并注意到根据定义，并注意到 ，所以，所以 是是 的的非平凡不变子空间。非平凡不变子空间。第一章第一章 第一节第一节 函数函数证明证明：必要必要性性。设设 是是 的一个的一个 维子空间，维子空间，并且并且 ，则，则 。将。将 中的一中的一组基组基 扩充成扩充成 的一组基的一组基因为因为 ，则，则第一章第一章 第一节第一节 函数函数因此因此第一章第一章 第一节第一节 函数函数其中其中证毕。证毕。第一章第一章 第一节第一节 函数函数定理定理定理定理31313131 线性空间线性空间 上的线性变换上的线性变换 在在 的一的一组基下的矩阵表示为组基下的矩阵表示为块对角矩阵块对角矩阵的的充要条件充要条件充要条件充要条件是是 可以分解为可以分解为 的的不变子空间的直和不变子空间的直和这里这里 为为限制限制 在相应基下的矩阵表示。在相应基下的矩阵表示。第一章第一章 第一节第一节 函数函数推论推论推论推论 维线性空间维线性空间 上的线性变换上的线性变换 在在 的某个基下的矩阵表示为的某个基下的矩阵表示为对角矩阵对角矩阵的的充要条件充要条件充要条件充要条件是是 可以可以分解分解为为 的的 个个一维特征子一维特征子空间空间的直和的直和这里这里 为为 的的两两不同两两不同的特征值。的特征值。第一章第一章 第一节第一节 函数函数例例 32 32 求求 中矩阵中矩阵 所对应的线性变换所对应的线性变换 的的所有非平凡不变子空间，其中所有非平凡不变子空间，其中第一章第一章 第一节第一节 函数函数解解：的三个特征值为的三个特征值为 对应的全部特征向量为对应的全部特征向量为 对应的全部特征向量为对应的全部特征向量为不全为零。不全为零。因此因此 的所有不变子空间为的所有不变子空间为 和和 ，这里，这里 10.矩阵的相似对角化矩阵的相似对角化定义定义 数域数域 上的上的 维线性空间维线性空间 的一个线性的一个线性变换变换 称为称为可以对角化的可以对角化的，如果，如果 中存在一个基中存在一个基底，使得底，使得 在这个基底下的矩阵为对角矩阵。在这个基底下的矩阵为对角矩阵。我们在我们在 中取定一个基底中取定一个基底 ，设，设线性变换线性变换 在这个基下的矩阵为在这个基下的矩阵为 ，那么可以得，那么可以得到下面的定理到下面的定理定理定理：可以对角化可以对角化 可以对角化。可以对角化。定理定理：阶矩阵阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是可以对角化的充分必要条件是 有有 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。定理定理：阶矩阵阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。每一个特征值的代数重数等于其几何重数。例例 1 判断矩阵判断矩阵是否可以对角化？是否可以对角化？解解：先求出先求出 的特征值的特征值于是的特征值为于是的特征值为 （二重）（二重）由于由于 是单的特征值，它一定对应一个线性是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑无关的特征向量。下面我们考虑于是于是 从而从而不可以相似对角化不可以相似对角化。例例 2 设设 是数域是数域 上的上的3维维线性空间，线性空间，是是 上上的一个线性变换，的一个线性变换，在在 的一个基的一个基 下下的矩阵是的矩阵是判断是判断是 否可以对角化？否可以对角化？解：解：根据前面例题的讨论可知根据前面例题的讨论可知 有有3个线性无关个线性无关的特征向量的特征向量:因此因此 可以对角化，可以对角化，在这组基下的矩阵是在这组基下的矩阵是由基由基 到基到基 的过渡矩阵是的过渡矩阵是于是有于是有