1、1例例第一节第一节 不定积分的概念不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义定义不定积分又称不定积分又称反导数反导数,它是求导运算的逆运算它是求导运算的逆运算.本章所讲的内容就是导数的逆运算。本章所讲的内容就是导数的逆运算。2原函数存在定理：原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数简言之：连续函数一定有原函数.问题：问题：(1)原函数是否存在？原函数是否存在？(2)是否唯一？是否唯一？因此初等函数在其定义域内都有原函数因此初等函数在其定义域内都有原函数。(但原函数不一定是初等函数但原函数不一定是初等函数)3唯一性唯一性？说明：说明：4任任意意常常数数积积分分号号
2、被被积积函函数数被被积积表表达达式式积积分分变变量量记为记为定义定义 5例例1 1 求求解解解解例例2 2 求求6由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知结论结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是互逆互逆互逆互逆的的.或或或或7实例实例启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？二、二、基本积分表基本积分表8(k是常数是常数);说明：说明：基基本本积积分分表表9基基本本积积分分表表(k是常数是常数);10基基本本积积分分表表11例例3 3 求积分求积分解解根据积分公式（根据积分公式（2）12例例4 4 设曲线通过点设曲线通过点(1,3),且其
3、上任一点处的切线且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解 设曲线方程为设曲线方程为根据题意知根据题意知由曲线通过点由曲线通过点(1,3)所求曲线方程为所求曲线方程为-2-1O12x-2-112 yyx2+2yx2(1,3)13练习：练习：P198 习题习题5-11.(2)(3)4.6.14证证等式成立等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）第二节第二节 不定积分的运算法则不定积分的运算法则15例例1 1例例2 2例例3 3直直接接积积分分法法16例例4 4例例5 517例例6 6例例
4、7 7三角变换：三角变换：18例例8 8例例9 9例例101019训练：求下列不定积分训练：求下列不定积分20练习：练习：P201 习题习题5-21.(1)(5)(6)(9)(10)(11)(13)(16)(17)(19)21问题问题第三节第三节 换元积分法换元积分法一、第一类换元法一、第一类换元法(凑微分法凑微分法)凑微分凑微分22一般地，凑微分法步骤如下：一般地，凑微分法步骤如下：23常用凑微分公式：常用凑微分公式：等等等等.24例例1 1例例2 2例例3 325训训练练26例例4 4例例5 5例例6 6类似地，类似地，27例例7 7例例8 828例例9 9例例101029例例1111另：
5、另：例例1212类似地，类似地，30例例1313训训练练31例例1414例例1515或解或解32例例1616例例1717例例181833例例1919解法解法1解法解法2解法解法334例例202035训练：求下列不定积分训练：求下列不定积分36二、第二类换元法二、第二类换元法回代回代,得得 37称为称为第二换元法第二换元法38例例1 1解解回代回代39例例2 2解解40例例3 3 求求解解 令令41例例4 4解解42例例5 5解解43例例6 6解解44说明说明：以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换,目的是化掉根式目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被
6、积函数中含有可令可令可令可令可令可令 但是否一定采用三角代换并不是绝对的但是否一定采用三角代换并不是绝对的,有时有时可灵活采用别的方法可灵活采用别的方法.45例例7 7解解或解：或解：倒倒数数代代换换46例例8 8解解或解：或解：47基基本本积积分分表表4849例例9 9例例101050例例1111例例121251训练：求下列不定积分训练：求下列不定积分5253练习：练习：P218 习题习题5-32.双号双号 去掉去掉(46)(52)54凑微分凑微分分分部部积积分分公公式式问题问题解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.第四节第四节 分部积分法分部积分法分部积分的
7、过程：分部积分的过程：55例例1 1注注积分更难进行积分更难进行.例例2 256例例3 3例例4 4分部积分法可多次使用分部积分法可多次使用.练习练习57例例5 558例例6 659例例7 760例例8 8例例9 9练习练习61训练：求下列不定积分训练：求下列不定积分62例例101063例例101064例例111165所以所以例例121266训练：求下列不定积分训练：求下列不定积分移项移项,得得67例例1313分部积分法与换元法结合分部积分法与换元法结合:解解68例例141469例例151570训练：求下列不定积分训练：求下列不定积分71解解例例1616由题意由题意,72练习：练习：P225
8、习题习题5-41.双号双号 2.73第五节第五节 几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分一、有理函数的积分一、有理函数的积分74假定分子与分母之间没有公因式假定分子与分母之间没有公因式有理函数是有理函数是真分式真分式；有理函数是有理函数是假分式假分式；利用多项式除法利用多项式除法,假分式可以化成一个假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和多项式和一个真分式之和.例例要点要点 将有理函数化为将有理函数化为部分分式之和部分分式之和.以下只考虑真分式的积分以下只考虑真分式的积分.75（1）分母分母中若有因式中若有因式 ，则分解后有，则分解后有有理函数化为部分分式之和的一般规律：有理函数化为部分
9、分式之和的一般规律：特殊地：特殊地：分解后为分解后为76（2）分母分母中若有因式中若有因式 ，其中，其中则分解后有则分解后有特殊地：特殊地：分解后为分解后为77真分式化为部分分式之和的真分式化为部分分式之和的待定系数法待定系数法例例1 178代入特殊值来确定系数代入特殊值来确定系数例例2 279例例3 380真分式可分为以下四种类型的分式之和：真分式可分为以下四种类型的分式之和：这四类分式均可积分这四类分式均可积分,且原函数为初等函数且原函数为初等函数.因此因此,有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.81例例4 4例例5 582例例6 6例例7 783例例8 8灵活运用其它
10、方法：灵活运用其它方法：例例9 984二、三角函数有理式的积分二、三角函数有理式的积分万能代换公式：万能代换公式：化为有理函数的积分化为有理函数的积分.85例例1010 求积分求积分解解86或解或解所以所以87万能代换不一定是最佳方法万能代换不一定是最佳方法,三角有理式积分的三角有理式积分的计算应先考虑其它手段计算应先考虑其它手段,不得已才用万能代换不得已才用万能代换.例例1111例例121288例例1313例例141489 对初等函数来说对初等函数来说,在其定义域内原函数一定存在其定义域内原函数一定存在在,但原函数不一定是初等函数但原函数不一定是初等函数,如如 等等均不是初等函数等等均不是初
11、等函数.90练习：练习：P234 习题习题5-51.2.5.11.P237 复习题复习题三、双号三、双号91END92习题课习题课本章内容提要本章内容提要一、不定积分的概念与性质一、不定积分的概念与性质 93基基本本积积分分表表(k是常数是常数);94基基本本积积分分表表95基基本本积积分分表表96基基本本积积分分表表97（可推广到有限多个函数之和的情况）（可推广到有限多个函数之和的情况）不定积分的线性性质：不定积分的线性性质：二、第一类换元法二、第一类换元法(凑微分法凑微分法)98常用凑微分公式：常用凑微分公式：等等等等.99回代回代三、第二类换元法三、第二类换元法四、分部积分法四、分部积分法凑微分凑微分100典型例题典型例题例例1 1例例2 2101例例3 3例例4 4102例例5 5103例例6 6104例例7 7例例8 8105例例9 9106例例1010107例例1111108或解或解109补充题补充题1 1.2 2.3 3.4 4.5 5.1101 1.补充题解答补充题解答1112 2.1123 3.1134 4.1145 5.
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